精品解析：湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2025-2026学年八年级数学四月作业质量检验

八年级数学四月作业质量检验 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平行线间的距离处处相等 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 直角三角形斜边中线等于直角边的一半 6. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 16 B. 30 C. 48 D. 60 7. 如图，在中，已知，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在两侧分别交于、两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将长为的矩形纸条对折后沿折痕剪开，将剪开后的纸条交叉叠放在一起，测量得知中间重叠四边形的两条对角线的长分别为和，则原矩形纸条的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 计算：___． 12. 比较大小：_____． 13. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 14. 已知直角三角形的两边a，b满足，则的面积为____． 15. 如图，有一张等腰纸片，，小杰对其进行了操作：选取边上一点，连接，将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则的周长为__________． 16. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）（）． 18. 已知：，，求： （1）； （2）． 19. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 20. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）四边形的周长为________ ； （2）在图1中，先在上画点E，使； （3）在图2中的上画点G，使； （4）在图3中，H是上一点，在上画点M，使． 22. 【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 23. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且满足． （1）直接写出点坐标． （2）如图1，若点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②当 时，四边形是矩形？ （3）如图2将矩形沿着折叠，对应点恰好落在边上，求长； （4）如图3，为边的中点，是任意的一点．当，连接，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学四月作业质量检验 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：D． 2. 的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，可结合三角形三边关系，三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断选项即可. 【详解】选项A：设，，，，， 不满足三角形三边关系，不能构成三角形，A不符合题意； 选项B：，，， 得，，无法确定有直角，B不符合题意； 选项C：，移项得，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，C符合题意； 选项D：，， 最大角，是锐角三角形，D不符合题意. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解题的关键，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；      B、，是最简二次根式，故该选项符合题意；        C、，不是最简二次根式，故该选项符合题意；       D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、乘除、加减运算法则，计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，，该选项不符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平行线间的距离处处相等 B. 菱形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 直角三角形斜边中线等于直角边的一半 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线间的距离、菱形的性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 平行线间的距离处处相等，正确，符合题意； B. 菱形的对角线互相垂直，不一定相等，原说法不正确，不符合题意； C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法不正确，不符合题意； D. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，原说法不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是熟记相关性质，准确进行判断． 6. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 16 B. 30 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查与直角三角形有关的图形的面积问题，熟练掌握勾股定理，找到规律是解题的关键：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理，得到，得到正方形的面积+正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加4，进行求解即可． 【详解】解：如图，把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为． 正方形的面积为，正方形的面积为． 由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边． 正方形的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形的面积+正方形的面积； 图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积，正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积＋正方形的面积． 图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 故选C 7. 如图，在中，已知，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在两侧分别交于、两点，作直线交于点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作交于点，根据作图可知，垂直平分，即可得，，在中，，同理可得，由勾股定理可得，易得，故，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作交于点，如下图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 【点睛】围绕特殊的角度构造直角三角形是常用的辅助线添加方法． 8. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 9. 如图，将长为的矩形纸条对折后沿折痕剪开，将剪开后的纸条交叉叠放在一起，测量得知中间重叠四边形的两条对角线的长分别为和，则原矩形纸条的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，是解题的关键．过点A作于点E，过点A作于点F，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，得出，，，根据勾股定理得出，根据菱形面积求出，得出矩形的宽，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，如图所示： 根据题意可知：，， ∴四边形为平行四边形， 根据矩形的性质可知：， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴原矩形纸条的宽为， ∴原矩形纸条的面积为：， 故选：D． 10. 已知，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 12. 比较大小：_____． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，掌握通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：计算 ，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 13. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 【答案】 【解析】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 14. 已知直角三角形的两边a，b满足，则的面积为____． 【答案】或 【解析】 【分析】将化为，根据非负数的性质得到，，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 当为直角边时， ∴的面积为； 当为斜边时， 第三边 ∴的面积为． 15. 如图，有一张等腰纸片，，小杰对其进行了操作：选取边上一点，连接，将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得，过点作于点，在上取点，连接，使，分别求出，，继而得到，进而可求出的周长． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上， ∴，，， 在和中， ∴， ∴， 如图，过点作于点，在上取点，连接，使， ∴，，是边上的中线，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴ ， ∴的周长为． 16. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作的平行线分别交，于点，，则四边形是矩形，证明得出为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】如图，过点作的平行线分别交，于点，， 则四边形是矩形， ，． 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ． 四边形是正方形， ， ． 四边形是正方形， ，，， ， ， ． ， ，， ， ， 在中，． ， 故答案为：， 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）（）． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）先化简二次根式到最简，再合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先化简二次根式到最简，再合并同类二次根式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知：，，求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 19. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴． 20. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：如图， ∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相关的基本知识． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）四边形的周长为________ ； （2）在图1中，先在上画点E，使； （3）在图2中的上画点G，使； （4）在图3中，H是上一点，在上画点M，使． 【答案】（1）18 （2） 如图，点E即为所求； （3） 如图，点G即为所求； （4） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用格点构造等腰直角三角形，与交点即为所求； （3）利用格点构造等腰三角形，取中点H，连接并延长交于点G； （4）取的中点P，的中点Q，连接，交于点O，连接并延长，交于点M，连接，构造平行四边形，则即为所求． 【小问1详解】 解：由图可知，， 四边形的周长为， 故答案为：18； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：略； 【点睛】本题考查格点作图，涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，掌握格点作图的特点是解题的关键． 22. 【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【解析】 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 23. 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． （1）【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； （2）【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 24. 在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且满足． （1）直接写出点坐标． （2）如图1，若点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②当 时，四边形是矩形？ （3）如图2将矩形沿着折叠，对应点恰好落在边上，求长； （4）如图3，为边的中点，是任意的一点．当，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） ①∵四边形为矩形， ∴，， ∵点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②3秒 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先根据二次根式有意义的条件确定的值，进而可得的值，即可确定点坐标； （2）①证明四边形为平行四边形，易得，再证明四边形为平行四边形，可知，即可证明四边形是平行四边形；②证明，由相似三角形的性质可得，即可解得，然后计算的值； （3）由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理解得的值，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，即可获得答案； （4）连接，取中点，连接，利用勾股定理解得的长度，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，再证明为的中位线，由中位线的性质可得，然后根据三角形三边关系即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，解得， ∴可有，解得， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②四边形为矩形，， ∴，，， 当四边形是矩形时， 可有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴秒． 故答案为：3； 【小问3详解】 ∵四边形为矩形，， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即， 解得， ∴； 【小问4详解】 如下图，连接，取中点，连接， ∵，，， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴在中，可有， 在中，由三角形三边关系可得， ∴当点在同一直线，且点在点和点中间时，如下图， 此时取最小值，最小值为， 当点在同一直线，且点在点和点中间时，如下图， 此时取最大值，最大值为， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、坐标与图形、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、中位线的性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $