精品解析： 湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年湖北省武汉市武昌区拼搏联盟 八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，为勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. 5，6，7 C. ，， D. ，， 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个边长为4的正方形和一个平行四边形如图所置，则图形中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ） A. 点A、点B、点D B. 点A、点C、点G C. 点B、点E、点F D. 点B、点G、点E 9. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：___________． 12. 已知最简二次根式与能合并，则______． 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为______． 15. 如图，菱形的周长为32，面积为36，P是对角线上一点，分别作P点到直线的垂线段，则等于_____ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点E、F分别在，上，且，连接，，求证：． 20. 如图，在中，，M、N分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫作格点三角形，请在如图所示的正方形网格中 ①作出三边分别为，，的格点的三角形， ②直接写出三角形的面积______． ③用刻度尺作出的中点（保留作图痕迹）． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段______；______；______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 23. 如图①，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N． （1）求证：； （2）如图②，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，，两点坐标分别为，． （1）若，直接写出，两点坐标； （2）在（1）的条件下，如图1，为延长线上一点，的平分线交轴于点，若，求的长． （3）如图2，、分别为、上的点，若，试探究、、之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省武汉市武昌区拼搏联盟 八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法， 根据二次根式的乘法法则，逐一验证各选项的正确性，即． 【详解】解：因为，结果应为而非，所以A不正确； 因为，结果应为而非，所以B不正确； 因为，结果应为而非，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． 4. 下列各组数中，为勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. 5，6，7 C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，9，40，41是勾股数，故此选项符合题意； B、，5，6，7不是勾股数，故此选项不符合题意； C、，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； D、，，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由平行四边形中，，，可求得与的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选C． 6. 一个边长为4的正方形和一个平行四边形如图所置，则图形中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，找出面积额等量关系是解题的关键．分别求出正方形的面积和平行四边形的面积列出式子即可得出结果． 【详解】如图可知，正方形边长为， 正方形的面积为， 平行四边形的面积为， 图形中空白部分的面积为． 故选：A． 7. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理逐一分析选项． 【详解】解：因为，，而与是邻角而非对角， 所以无法推出四边形为平行四边形，则A不符合题意； 因为，，而仅说明邻边相等，可能形成筝形（对称四边形）， 但无法保证对边平行或相等，不符合平行四边形的判定条件，则B不符合题意； 因为，，知一组对边平行且另一组对边相等， 不能判定为平行四边形,例如等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，所以C不符合题意； 因为，，由两组对边分别相等的四边形是平行四边， 所以选项D正确． 故选：D． 8. 如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ） A. 点A、点B、点D B. 点A、点C、点G C. 点B、点E、点F D. 点B、点G、点E 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，不符合题意； C、，可以构成直角三角形，符合题意； D、，不可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明即可． 【详解】∵点分别在轴，轴正半轴上，点分别在轴，轴负半轴上， ， ∵四边形都是矩形，， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义，求36的算术平方根即可． 【详解】因为， 所以． 故答案为：6． 12. 已知最简二次根式与能合并，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：最简二次根式与能合并， ， 解得 故答案为： 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．设B点的坐标为，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：设B点的坐标为， 平行四边形三个顶点坐标分别为，，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为： 15. 如图，菱形的周长为32，面积为36，P是对角线上一点，分别作P点到直线的垂线段，则等于_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等积法求线段的长，连接，根据菱形的性质，求出菱形的边长，推出，再根据等积法进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的周长为32，面积为36， ∴，， ∵分别作P点到直线的垂线段， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边在右侧作等边三角形，连接EG，过点O作于点H，利用全等三角形的性质证明，推出点E在过定点G且与垂直的直线上运动，求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵在矩形中，, 且， ∴ ， 以为边在右侧作等边三角形， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E是在过定点G且与垂直的直线上运动， 过点O作于点H， ∵， ∴， 则， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 三、解答题：本题共8小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法和除法运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据二次根式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，点E、F分别在，上，且，连接，，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质推出，，判定四边形是平行四边形，得到，即可证明． 本题考查平行四边形的判定和性质，关键是判定四边形是平行四边形． 【详解】略 20. 如图，在中，，M、N分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、N分别是、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是等边三角形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由M、N分别是AD、BC的中点，得，，，则，即可求证； （2）连接DN，由，，得，，则，因为，所以是等边三角形，则，，所以，则，求得，则，再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 的长是 21. 三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫作格点三角形，请在如图所示的正方形网格中 ①作出三边分别为，，的格点的三角形， ②直接写出三角形的面积______． ③用刻度尺作出的中点（保留作图痕迹）． 【答案】①如图，即为所求； ②； ③如图，点D即为所求． 【解析】 【分析】①利用数形结合的思想作出图形即可； ②把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； ③作出线段的中点D即可． 本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：①略 ②的面积， 故答案为：； ③略 22. 如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段______；______；______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1），，或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意分别列出代数式即可； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，①当Q运动到E和C之间，②当Q运动到E和B之间，分别列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ，， 或， 点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ， ； 点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ， 若点Q与点E重合，则， 解得：； 若点P与点D重合，则， 解得：， 当时，则； 当时，则， 故答案为：，，或； 【小问2详解】 ，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ， 当时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形， 当，且时，则， 解得：； 当，且时，则， 解得：； 综上所述，当或时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用、列代数式、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 23. 如图①，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N． （1）求证：； （2）如图②，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． （1）取的中点H，连接，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，即可证明是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等腰三角形； 证明：如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，，两点坐标分别为，． （1）若，直接写出，两点坐标； （2）在（1）的条件下，如图1，为延长线上一点，的平分线交轴于点，若，求的长． （3）如图2，、分别为、上的点，若，试探究、、之间的数量关系并证明． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式非负性，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）根据二次根式有意义，求出即可； （2）取与交点，中点，中点，由（1）可得，由可得，，由中位线可得，即可证明得到，再在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）构造夹半角模型全等，由矩形可得，，设，则，，，，过向下作，且，过作于，过作于，可证明，，在中利用勾股定理找到，，的等量关系，即可找到． 【小问1详解】 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，，； ∴，, ∵， ∴， ∴， 如图，取与交点，中点，中点，则， ∴是中位线， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的平分线交轴于点， ∴， ∵, ∴ ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， 解得 【小问3详解】 ，证明如下： ∵四边形是矩形，，两点坐标分别为，， ∴，， 设，则， ∵ ∴，， ∴， 过向下作，且，过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ 在中， ∴， 整理得， ∵，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $