精品解析：宁夏回族自治区银川市第六中学2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

银川市第六中学2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试卷 闭卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组表示运动项目的图标中，能看作由其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移“形状、大小、方向都不变，仅位置改变”的性质，对选项依次判断． 【详解】解：选项：两个图形可通过前后、上下平移得到，正确； 选项：两个图形是通过轴对称得到，不符合平移的要求，不正确； 选项：两个图形大小不同，不符合平移的要求，不正确； 选项：两个图形是通过旋转得到，不符合平移的要求，不正确． 2. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．各项利用不等式的基本性质判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3. 若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； C、∵， ∴设，则， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； D、∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，此项符合题意； 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法，逆命题和真命题，三角形三边关系，等腰三角形．根据反证法，三角形三边关系，等腰三角形以及逆命题和真命题的定义求解即可． 【详解】A. 用反证法证明“”时，应假设，正确； B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题，正确； C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，不正确； D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15，正确． 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解： 解不等式①得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 8. 如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，平行线的判定．设与相交于点，先利用角平分线的性质可得，从而可得，再根据等式的性质可得，从而可得，进而可得是的垂直平分线，然后根据，可得不一定平行，再根据三角形的面积公式可得，即可解答． 【详解】解：设与相交于点， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 不一定平行， 的面积，的面积，， ， 上面四个结论，其中正确的是①②④， 故选：A． 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 将点先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点B，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点平移的规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，计算即可得到点的坐标． 【详解】解：点，先向左平移个单位，横坐标变为，得到点， 再向上平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为． 10. 如图，将一块正方体货柜静止放在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若摩擦力与重力G的夹角，则斜面的坡角________度． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意，由平行线的性质得到，根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角， ∴， ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， 11. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】八（或8） 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 12. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打____ 折． 【答案】七 【解析】 【详解】试题分析：设打x折，利用销售价减进价等于利润得到1200•﹣800≥800×5%，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可． 解：设打x折， 根据题意得1200•﹣800≥800×5%， 解得x≥7． 所以最低可打七折． 故答案为七． 13. 如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°． 【答案】55 【解析】 【分析】联结并延长至点，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：联结并延长至点， 点是边、的中垂线的交点， ，， ，， ，， ， 故答案为：55． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 14. 若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 15. 如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，先结合平移的性质得，，，运用面积之间的关系得 ，即阴影部分面积，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵将其沿着点B到C的方向平移到的位置，平移距离为4， ∴，， ∵， ∴ 则， ∴阴影部分面积． 16. 如图，在中，，，，，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，先根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质推导，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，从而运用等面积法求出的长．推导“的最小值即为中边上的高”是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴点D是的中点， ∴垂直平分， ∴，， 由垂线段最短可知，当点C、P、F三点共线，且所在直线垂直时，取最小值6， 此时，且垂直，即是中边上的高， ∴此时，， 即， 解得：． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17. 解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】 ，所有整数解为0，1，2，3 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3. 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某一方向经过一次平移后得到，图中标出了点A的对应点D． （1）画出平移之后的； （2）连接，则这两条线段的数量关系是______，位置关系是______； （3）直接写出平移的距离是______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出； （2）根据平移的性质进行作答即可； （3）利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，； 【小问3详解】 解：由勾股定理，得平移距离为． 19. 下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式：． 解：去分母，得………………………………………① 去括号，得…………………………………………………② 移项、合并同类项，得…………………………………………………③ 两边都除以－7，得…………………………………………………………④ （1）填空：第①步中“去分母”的依据是______；第______步有错误，这一步错误的原因是______； （2）写出该不等式的正确解答过程． 【答案】（1）不等式的基本性质2，④，不等式两边同时除以一个负数，不等式的方向没有改变 （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得 两边都除以，得． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式的步骤，进行求解即可． 【小问1详解】 解：去分母的依据是不等式的基本性质2，第④步出错，原因是不等式两边同时除以一个负数，不等式的方向没有改变； 【小问2详解】 略 20. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】略 21. 某大型景区为积极响应创建文明城市的号召，营造更加干净的卫生环境，计划购买至台扫地机，现从甲、乙两厂了解到同一型号扫地机每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠，各厂家的优惠方案如下：甲厂：第一台按原价收费，其余每台折；乙厂：每台折 （1）设该景区购买台扫地机，购买的费用为元，则在甲厂购买的费用______，在乙厂购买的费用______． （2）通过计算说明该景区选择哪个厂家购买更优惠？ 【答案】（1）元，元； （2）当时，选择乙厂购买更优惠；当时，选择甲、乙两厂购买所需费用相同；当时，选择甲厂购买更优惠 【解析】 【分析】（1）利用总价单价数量，结合甲、乙两厂给出的优惠方案，可用含的代数式表示出、的值； （2）分，及三种情况，求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：在甲厂购买的费用元； 在乙厂购买的费用元； 【小问2详解】 解：∵计划购买至台扫地机， ∴， 若，则， 当时，选择乙厂购买更优惠； 若，则， 当时，选择甲、乙两厂购买所需费用相同； 若，则， 当时，选择甲厂购买更优惠． 答：当时，选择乙厂购买更优惠；当时，选择甲、乙两厂购买所需费用相同；当时，选择甲厂购买更优惠． 22. 如图，在中，，平分交于D点，且D点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中垂线的性质，等边对等角，结合角平分线的定义，得到，根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵平分交于D点，且D点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知：，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1）A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元． （2）购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元”列方程组求解； （2）设A型冰箱贴购进a套（a为整数），根据“总费用不超过2600元”列不等式求出a的取值范围，设销售利润为w元，求出，然后根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A型冰箱贴购进单价为x元，B型冰箱贴购进单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元； 【小问2详解】 解：设A型冰箱贴购进a套（a为整数），则B型冰箱贴购进套， 根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∴， 设销售利润为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， 又， ∴当时，w有最大值，最大值为，此时， ∴购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 24. 【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，关于x的方程的解是______，关于x的不等式的解集是______． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． （4）求图3中的面积（写出计算过程）． 【答案】（1） （2），， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）通过观察图象求解即可； （4）先求出两条直线的解析式，再求出A点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是； 【小问2详解】 解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是； 【小问3详解】 解：由题意，直线与x轴交于点， 观察图象可知，当直线在直线上方，且在轴上方时，； 故关于x的不等式组的解集是； 【小问4详解】 解：把代入，得，解得， ∴； 把，代入，得，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． 25. 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． （1）如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． （2）如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． （3）如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【答案】（1）32（平方厘米） （2）22 （3）16 【解析】 【分析】（1）由、，得；结合点的运动，将的面积转化为以为底、为高的三角形面积计算；利用与等底等高面积相等，推得与面积相等． （2）将两个涂色小长方形的线段平移至大长方形的边；发现大长方形周长恰好等于两个涂色小长方形周长之和，直接求和即可． （3）由对称性得另一梯形与已知梯形面积相等；计算两个梯形总面积，用大正方形面积减去该总面积，得到涂色正方形面积． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∵是以为底，为高，厘米，厘米， ∴（平方厘米）， ∴图2中涂色的面积图1中涂色的面积（平方厘米）． 【小问2详解】 解：通过平移线段可知，原长方形的周长等于两个涂色小长方形的周长之和． 已知两个涂色长方形周长分别为14厘米和厘米， （厘米）； 【小问3详解】 解：当点到点时，如图， 根据平移对称性，两个梯形的总面积为 平方厘米， 涂色正方形的面积平方厘米． 示意图如下： 26. 如图1，已知点，点为轴上一点，连接，和都是等边三角形． （1）如图1，当点落在内部时，求证：； （2）如图2，当点恰好落在上时，求的长及点的坐标； （3）如图3，在（2）条件下，点是线段上的动点（点，除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2） （3） 不变， 理由：如图，连接， ∵ ∵， ∴， 由①知：，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生变化，且的值为6． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）由点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作轴于F，求出结果即可； （3）不会变化，连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵点， ∴，由（1）知， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 过E作轴于F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第六中学2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试卷 闭卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组表示运动项目的图标中，能看作由其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 将点先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点B，则点B的坐标是______． 10. 如图，将一块正方体货柜静止放在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若摩擦力与重力G的夹角，则斜面的坡角________度． 11. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 12. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打____ 折． 13. 如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°． 14. 若不等式组的解集是，则______． 15. 如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 16. 如图，在中，，，，，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 17. 解不等式组，并求出它的所有整数解． 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某一方向经过一次平移后得到，图中标出了点A的对应点D． （1）画出平移之后的； （2）连接，则这两条线段的数量关系是______，位置关系是______； （3）直接写出平移的距离是______． 19. 下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式：． 解：去分母，得………………………………………① 去括号，得…………………………………………………② 移项、合并同类项，得…………………………………………………③ 两边都除以－7，得…………………………………………………………④ （1）填空：第①步中“去分母”的依据是______；第______步有错误，这一步错误的原因是______； （2）写出该不等式的正确解答过程． 20. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 21. 某大型景区为积极响应创建文明城市的号召，营造更加干净的卫生环境，计划购买至台扫地机，现从甲、乙两厂了解到同一型号扫地机每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠，各厂家的优惠方案如下：甲厂：第一台按原价收费，其余每台折；乙厂：每台折 （1）设该景区购买台扫地机，购买的费用为元，则在甲厂购买的费用______，在乙厂购买的费用______． （2）通过计算说明该景区选择哪个厂家购买更优惠？ 22. 如图，在中，，平分交于D点，且D点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的值． 23. 2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 24. 【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，关于x的方程的解是______，关于x的不等式的解集是______． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． （4）求图3中的面积（写出计算过程）． 25. 数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． （1）如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． （2）如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． （3）如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 26. 如图1，已知点，点为轴上一点，连接，和都是等边三角形． （1）如图1，当点落在内部时，求证：； （2）如图2，当点恰好落在上时，求的长及点的坐标； （3）如图3，在（2）条件下，点是线段上的动点（点，除外），过点作于点，于点，当点运动时，的值是否发生变化？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $