精品解析：上海市格致中学2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学试卷

格致中学二○二五学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，考试后交答题卷） 一、填空题：（本题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. 已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由事件与独立可得： ，  代入，， 计算得：. 2. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 3. 设圆方程为，则圆的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 4. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合体积求得球的半径，进而可求球的表面积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以这个球的表面积为. 故答案为：. 5. 把点的极坐标化为直角坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用极坐标转化成直角坐标的公式求解即可. 【详解】， 即直角坐标为， 故答案为: 6. 若正整数满足，则______. 【答案】1或3 【解析】 【详解】由组合数的性质可得或， 即或， ，解得或， 当时，，符合题意；当时，，不满足组合数的定义，故舍去； ，解得（舍去）或， 当时，，符合题意； 综上，或. 7. 若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 8. 直线与圆相交所得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 9. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 10. 在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知以为焦点，则， 又点在双曲线上，由双曲线的定义可得：， 由双曲线的关系：可得， 设在轴上，则双曲线的渐近线方程为， 由可得两条渐近线的倾斜角为和， 根据直线夹角的定义可得两条渐近线的夹角为. 11. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率. 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 12. 设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题：（本题共4小题，13-14每题3分，15-16每题4分，满分14分） 13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案. 【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是, 故选B. 【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题. 14. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件. 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 15. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 16. 椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积. 【答案】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC， 在中，，，，满足：， 由勾股定理逆定理得，即， 又，平面，所以平面， 因为平面，故，得证. （2）； 【解析】 【分析】（1）运用线面垂直的性质定理，由侧棱垂直底面推出侧棱垂直于底面内的直线，再结合勾股定理逆定理证明底面三角形中两边垂直，利用线面垂直的判定定理得出直线垂直于平面，最终由线面垂直的定义证得两直线垂直； （2）利用已证垂直关系确定三棱锥的高与底面直角三角形，代入锥体体积公式完成计算，根据四个面均为直角三角形的结构特征，逐一计算各直角三角形面积并求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，故是三棱锥的高，底面为直角三角形， 其面积， 三棱锥体积： 三棱锥四个面均为直角三角形，则， ， ， 总表面积：. 18. 第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. （1）求所抽取的“青年人”的人数； （2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 【答案】（1） （2）不独立，理由： 中年人（）总人数：， 老年人（）总人数：， 分层抽样抽取人，抽样比为， 因此抽取得到：青年人人，中年人人，老年人人，总选法：， 事件为“人均为中年人”，，因此， 事件为“2人中至少1人为男性”，对立事件为“2人均为女性”， ，因此， 为“人均为中年人，且至少人为男性”， ，因此， ， 显然，因此事件与事件不独立. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，结合题意，可得答案； （2）根据古典概型以及组合数，结合概率计算公式，可得答案. 【小问1详解】 根据频率分布直方图的性质，所有组的频率和为，组距为， 因此：，解得， “青年人”年龄落在，对应的频率为： ， 总人数为，因此“青年人”的人数为. 【小问2详解】 略 19. 如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成.已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为. （1）如图，已建立适当的直角坐标系，请写出该部分抛物线的方程（注意的范围）：在该封闭图形上截取一个矩形，其中点C、D在线段上，点在抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； （2）过抛物线焦点作相互垂直的两条直线，，交抛物线于两点，交抛物线于两点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）定值为 【解析】 【分析】（1）以抛物线顶点为原点建立坐标系，利用已知点确定抛物线方程；引入参数表示矩形顶点，将圆柱体积表示为该参数的函数，利用二次函数即可求得最值； （2）由（1）得出焦点坐标，设直线的方程，根据弦长公式可得，结合两直线垂直条件可得，化简得定值. 【小问1详解】 以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，开口向上，则顶点坐标为， 线段垂直于对称轴，且到顶点的距离为，故所在直线方程为， 由且关于轴对称，得， 抛物线过点，设其方程为，代入得， 所以抛物线方程为即， 设点，则为矩形底边， 点在抛物线上，横坐标为，纵坐标，故， 由矩形性质，与同横坐标、与同纵坐标，即， 圆柱以为母线，侧面由矩形卷成，底面周长等于，底面半径， 圆柱的高即为与的竖直距离：， 圆柱体积， 令，则，该二次函数开口向下，对称轴为， 所以当即时， 取最大值； 【小问2详解】 由（1）得抛物线，焦点坐标， 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，可得， 设， 所以， 所以， 因为，所以直线的斜率为， 同理可得， 所以， 所以该值为定值. 20. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. （1）已知，求的值，并写出椭圆和双曲线的离心率，； （2）已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）已知，过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程可求出，再根据椭圆和双曲线离心率的定义可求得结果； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 因为点在椭圆上，所以，得，所以， 所以的方程分别为， 由椭圆知：，则 ， 所以椭圆的离心率为 ； 由双曲线，，则 ， 所以双曲线的离心率为 ； 【小问2详解】 由（1）可知当时，，设，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 当交点在第一象限且在椭圆上时，且， 所以，所以交点不可能在第一象限的椭圆上， 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为 【小问3详解】 因为斜率为的直线过点，所以设直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学二○二五学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，考试后交答题卷） 一、填空题：（本题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. 已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______. 2. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 3. 设圆方程为，则圆的半径为____________． 4. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______． 5. 把点的极坐标化为直角坐标是______． 6. 若正整数满足，则______. 7. 若，则______. 8. 直线与圆相交所得的弦长为______． 9. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 10. 在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 11. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 12. 设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 二、选择题：（本题共4小题，13-14每题3分，15-16每题4分，满分14分） 13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 16. 椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积. 18. 第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. （1）求所抽取的“青年人”的人数； （2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 19. 如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成.已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为. （1）如图，已建立适当的直角坐标系，请写出该部分抛物线的方程（注意的范围）：在该封闭图形上截取一个矩形，其中点C、D在线段上，点在抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； （2）过抛物线焦点作相互垂直的两条直线，，交抛物线于两点，交抛物线于两点，求证：为定值，并求出该定值. 20. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. （1）已知，求的值，并写出椭圆和双曲线的离心率，； （2）已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）已知，过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $