上海市格致中学2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学试卷

格致中学二○二五学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，考试后交答题卷） 一、填空题：（本题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. 已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______. 2. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 3. 设圆方程为，则圆的半径为____________． 4. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______． 5. 把点的极坐标化为直角坐标是______． 6. 若正整数满足，则______. 7. 若，则______. 8. 直线与圆相交所得的弦长为______． 9. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 10. 在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 11. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 12. 设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 二、选择题：（本题共4小题，13-14每题3分，15-16每题4分，满分14分） 13. 在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 16. 椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，. （1）证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积. 18. 第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. （1）求所抽取的“青年人”的人数； （2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 19. 如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成.已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为. （1）如图，已建立适当的直角坐标系，请写出该部分抛物线的方程（注意的范围）：在该封闭图形上截取一个矩形，其中点C、D在线段上，点在抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； （2）过抛物线焦点作相互垂直的两条直线，，交抛物线于两点，交抛物线于两点，求证：为定值，并求出该定值. 20. 如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. （1）已知，求的值，并写出椭圆和双曲线的离心率，； （2）已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）已知，过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 格致中学二○二五学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，考试后交答题卷） 一、填空题：（本题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】##0.6 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】1或3 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题：（本题共4小题，13-14每题3分，15-16每题4分，满分14分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 【17题答案】 【答案】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC， 在中，，，，满足：， 由勾股定理逆定理得，即， 又，平面，所以平面， 因为平面，故，得证. （2）； 【18题答案】 【答案】（1） （2）不独立，理由： 中年人（）总人数：， 老年人（）总人数：， 分层抽样抽取人，抽样比为， 因此抽取得到：青年人人，中年人人，老年人人，总选法：， 事件为“人均为中年人”，，因此， 事件为“2人中至少1人为男性”，对立事件为“2人均为女性”， ，因此， 为“人均为中年人，且至少人为男性”， ，因此， ， 显然，因此事件与事件不独立. 【19题答案】 【答案】（1） （2）定值为 【20题答案】 【答案】（1），， （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $