第8章 立体几何初步 章末综合检测（三）（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末综合检测（三） （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图所示，是一个平面图形的直观图，斜边，则的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】选D.方法一：由题可得.根据斜二测画法，可得,，且，所以 的面积为. 方法二：由题可得，所以，则. 2．已知，是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】C 【解析】选C.对于A， ， ，则 与 可能平行或异面，A错误；对于B，当 ， 为直三棱柱的两个侧面， 为底面时，满足 ， ，而平面 ， 相交，B错误；对于C，由 ， ，得，C正确；对于D，若，直线 , ，当 时，满足 ， ，而此时平面 ， 相交，D错误.故选C. 3．若正六棱柱的底面边长为1，高为，则直线和所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图，连接，由题意知，则 或其补角即为直线 和 所成的角.因为,,,所以,所以直线 和 所成的角的大小为.故选C. 4．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知正四棱锥的底面边长为米，侧棱长为5米，则其体积为（ ） A. 立方米 B. 24立方米 C. 立方米 D. 72立方米 【答案】B 【解析】选B.如图所示，在正四棱锥 中，米，米，连接,交于点，则 为正方形 的中心，连接，因为 米，所以 米,米.又 米，所以 米.故该正四棱锥体积为 立方米.故所求体积为24立方米.故选B． 5．如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧面积为，则一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.将正三棱柱 沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，依题意，因为侧面积为，所以，则，依题意一质点从A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点 的最短路线为.故选B. 6．已知,是球的球面上的两点, ,点为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.如图所示,当点C位于垂直于平面 的球的直径端点时,三棱锥 的体积最大,设球 的半径为,此时,所以.因此,球 的表面积为 .故选A. 7．如图所示，在四边形中，，，．将四边形沿对角线折成四面体，使平面 平面，则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为 【答案】B 【解析】选B.由题得,若，,, 平面,则 平面，又 平面，所以，与题意矛盾，故A错误；因为平面 平面，平面 平面，， 平面，所以 平面， 又 平面，所以. 由勾股定理，得. 又因为,， 平面，所以 平面，又 平面，所以，所以 ,故B正确；易知 为 与平面 所成的角，为 ，故C错误；，故D错误. 8．在棱长为2的正方体中，为的中点．当点在平面内运动时，有平面，则线段的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图，在正方体 中，,，，，，分别是,，，,，的中点，则,，由 平面， 平面，得 平面，同理有 平面．又 与 相交，， 平面，所以平面 平面，所以平面 内的直线平行于平面.又 平面， 平面，平面 平面，所以 直线，要使 最小，只需．延长，交于，连接,只需求出 的边 上的高即可.由已知可得，则 为边长为 的等边三角形，所以边 上的高为，即 的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 点，到平面的距离相等 D. 点，到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】选.在正方体 中，连接，如图1,由，且，知，A正确；连接，，如图1，因为，所以直线 与直线 所成角即为直线 与直线 所成的角，即，又知 为等边三角形，则直线 与直线 所成的角为 ,B错误；如图2，连接 与 交于点，易知 平面，则点，D到平面 的距离分别为，，又，故点，D到平面 的距离相等，C正确；因为， 平面， 平面,所以 平面，故点B，到平面 的距离相等，D正确． 10．在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】选.取 的中点D，连接，.因为,所以.因为 为 的中点，D为 的中点，所以 且，因为 为棱 的中点，所以，且，所以,所以四边形 为平行四边形，所以，易知 平面，又 平面，所以，又，， 平面，所以 平面，又，所以 平面，又，， 平面，所以，，，故A，C正确；又因为，所以，故B正确；易知 的大小等于 与平面 所成的角的大小，而 的大小不能确定，故无法确定 与平面 所成的角的大小，故D错误.故选. 11．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 直线，为异面直线 B. 二面角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过点，，的平面截正方体的截面面积为9 【答案】BC 【解析】选.对于A，连接，（图略），易知四边形 为矩形，则，因为点，分别是棱，的中点，所以，所以，则，，，四点共面，故直线，不是异面直线，A错误；对于B，连接，交 于点，连接，，（图略），易知 平面,又 平面,所以，又，，， 平面，故 平面，又平面 平面，所以 为二面角 的平面角，易知，，故,B正确； 对于C，连接（图略），易知 平面，故 即为直线 与平面 所成的角，而,，故，C正确； 对于D，连接，，，（图略），易知，且,，所以，且，则梯形 即为过点B，，的平面截正方体的截面，而，，,故等腰梯形 的高为，故等腰梯形 的面积为，即过点B,,的平面截正方体的截面面积为，D错误.故选. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角为 ，上底面半径为，则下底面半径为____________. 【答案】 【解析】由题设，如图所示，，， ， 所以， 则，故， 所以. 13．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,点是上一点,当________时,平面. 【答案】 【解析】连接,设 与 的交点为,连接（图略）.因为四边形 是平行四边形,所以点 是 的中点.因为 平面, 平面，且平面 平面,所以,所以点 是 的中点,此时. 14．如图，在直三棱柱中,，,，，则该直三棱柱外接球的表面积为________；设为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】； 【解析】因为在直三棱柱 中，，所以将直三棱柱 补成长方体，如图1所示，所以直三棱柱 的外接球就是长方体 的外接球.因为，，，所以外接球的直径为，所以外接球的半径为，所以该直三棱柱外接球的表面积为 .在直三棱柱中，侧面与底面垂直，因为， 平面，平面 平面，平面 平面，所以 平面．因为 平面，所以.将 绕 展开至与平面 垂直的位置，则，，，共面，如图2所示，连接，则 的长就是 的最小值.在 中， ，，，则.在 中， ，．在 中，由余弦定理得，所以，所以 的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，正方体的棱长为2，,分别为,的中点. （1） 求证：平面； （2） 过点作正方体的截面使其与平面平行，请给以证明并求出该截面的面积. 【答案】 （1） 证明：取 的中点，连接,,如图.由 且 可得四边形 为平行四边形，则, 由 且 可得四边形 为平行四边形，则，则， 又 平面, 平面， 所以 平面. （2） 解：取 的中点，连接,,,. 因为,, 所以四边形 为平行四边形， 所以， 因为,, 所以四边形 为平行四边形， 所以， 所以，又, 所以平行四边形 即为过点 的正方体的截面，且平面 平面. 证明如下：因为, 平面, 平面， 所以 平面， 因为, 平面, 平面,所以 平面, 又因为，, 平面， 所以平面 平面， 因为, 所以平行四边形 为菱形，连接，，易知，, 所以. 16．（本小题满分15分）如图所示，在四边形中，,,.，为的中点，连接. （1） 将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积； （2） 将绕着线段所在直线旋转一周形成几何体为，若球是几何体的内切球，求球的表面积. 【答案】 （1） 解：因为,，所以四边形 是直角梯形，，. 将四边形 绕着线段 所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示，几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱.故几何体表面积为 ,体积为 . （2） 易知几何体 是圆锥，且圆锥 底面半径为2，母线长为4，则圆锥 的轴截面为边长是4的正三角形.设圆锥 的内切球 的半径为，则，解得, 所以内切球 的表面积为. 17．（本小题满分15分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱，，相互平行，四边形是梯形．已知， 平面，．求证： （1） 平面； （2） 平面 平面. 【答案】 （1） 证明：因为，，相互平行，， 所以四边形 是平行四边形， 所以， 又因为 平面， 平面， 所以 平面. （2） 因为 平面， 平面， 所以， 又因为，，， 平面，所以 平面， 因为 平面,所以平面 平面. 18．（本小题满分17分）试在，，这三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得 平面成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题. 如图，在四棱锥中，，底面为菱形，若  ，且 ，异面直线与所成的角为 ，求二面角的余弦值. 解：若选②：由 平面， 平面 知，又，，， 平面，所以 平面，因为 平面，所以，所以 ，，这与底面 为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③. 下面证明 平面. 因为四边形 为菱形，所以. 因为，，， 平面，所以 平面. 又因为 平面，所以. 因为，为 的中点，所以. 又，， 平面， 所以 平面. 设菱形 的边长为2，. 因为 ，所以，. 所以，. 因为，所以 为异面直线 与 所成的角，所以 . 在 中，由余弦定理得，解得 或（舍去）. 又，，， 所以. 过点 作，垂足为，连接（图略），则，所以 为二面角 的平面角.易得， 在 中，，故二面角 的余弦值为. 19．（本小题满分17分）如图1，矩形中，，，，分别为，边上的点，且，，将沿折起至的位置（如图2所示），连接，，其中． （1） 求证： 平面； （2） 在线段上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； （3） 求点到平面的距离. 【答案】 （1） 证明：连接（图略），由题意知，,， 在 中，，所以. 易得, 在 中，，所以. 又，， 平面， 所以 平面． （2） 解：存在，当 为 的三等分点 靠近点 时，平面.理由如下： 因为,，所以， 又 平面， 平面, 所以 平面． （3） 由（1）知 平面，连接（图略），则 为三棱锥 的高． 设点 到平面 的距离为，由等体积法得， 即. 又,, 所以, 即点 到平面 的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $