第二章 相交线与平行线 习题课件 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线 第1课 两条直线的位置关系(1)—— 对顶角、补角和余角 　　 　　1． 在如图所示的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是 （　C　） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 C 　　2．已知∠α＝35°30′，则它的余角为（　B　） A． 35°30′ B． 54°30′ C． 125°30′ D． 144°30′ 　　3． 若∠A＝34°，则∠A的补角为 ⁠． B 146° 　　4.如图，直线AB与CD相交于点O. 若∠1＋∠2＝80°，则∠3的度 数是（　C　） A． 100° B． 120° C． 140° D． 160° C 　　 　　5． 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互补的摆放 方式是（　D　） A． B． C． D． D 　　6．如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围 墙，该如何测量呢？请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理． 　　解：方法一：如图，延长AO到点C，测量∠BOC，利用等量关系 ∠AOB＋∠BOC＝180°，求∠AOB． ∠AOB＝180°－∠BOC． 　　方法二：如图，延长AO到点C，延长BO到点D，测量∠DOC，利 用对顶角相等求∠AOB． ∠AOB＝∠DOC． 　　 　　7． 如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE. 　　(1)如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数； 　　解：因为∠COE＋∠DOE＝180°，∠COE＝110°， 　　所以∠DOE＝180°－∠COE＝180°－110°＝70°. 　　因为OB平分∠DOE， 　　所以∠BOD＝∠DOE＝35°. 　　(2)如图2，若∠BOE∶∠COE＝1∶3，求∠AOC的度数； 　　解：因为OB平分∠DOE， 　　所以∠BOD＝∠BOE＝∠DOE. 　　因为∠BOE∶∠COE＝1∶3，所以∠BOD＝∠BOE＝180°×＝36°. 　　因为∠AOC与∠BOD是对顶角， 　　所以∠AOC＝∠BOD＝36°. 　　(3)在(2)的条件下，画射线OF使∠DOF＝90°，请直接写出∠EOF 的度数． 　　解：∠EOF的度数为162°或18°. 　　提示：由(2)，得∠DOE＝2×36°＝72°.如答图1，当OF在直线 CD的上方时，∠EOF＝∠FOD＋∠DOE＝90°＋72°＝162°.如答图 2，当OF在直线CD的下方时，∠EOF＝∠FOD－∠DOE＝90°－72° ＝18°.综上所述，∠EOF的度数为162°或18°. $第二章 相交线与平行线 第2课 两条直线的位置关系(2)——垂直 　　 　　1． 下列选项中，过点P画直线AB的垂线CD，三角尺放法正确的是 （　C　） A B C D C 　　2.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，做法是：过 点C作 CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其 数学道理是 ⁠． 垂线段最短 　　3．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm， PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离（　D　） A． 等于4 cm B． 等于2 m C． 小于2 cm D． 不大于2 cm D 　　4．(人教七下P8习题T4)如图，画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为 E，F. 　　解：如图，AE，CF即为所求． 　　5．如图，直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF， OE⊥CD． 若∠FOA＝30°，求∠BOE的度数． 　　解：因为∠FOA＝30°，OA平分∠COF， 　　所以∠COA＝∠FOA＝30°. 　　因为∠COA与∠BOD是对顶角， 　　所以∠BOD＝∠COA＝30°. 　　因为OE⊥CD，所以∠EOD＝90°. 　　所以∠BOE＝90°－∠BOD＝90°－30°＝60°. 　　 　　6． 如图，AB⊥BC，AB＝6，点D是射线BC上的一个动点，则线 段AD的长度不可能是（　A　） A． 5.5 B． 6 C． 8 D． 15 A 　　7．(易错题)已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的 3倍少40°，则∠A＝ ⁠． 125°或20° 　　8． 如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M，N分别是 位于公路AB两侧的两所学校． 　　(1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车 行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来． 　　解：如图，过点M，N分别作MC⊥AB，ND⊥AB，垂足分别为C， D． 所以当汽车行驶到点C时，对M学校影响最大，行驶到点D时，对N 学校影响最大． 　　(2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两所学校影响越来越大？ 哪一段影响越来越小？哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐 渐增大？ 　　解：如图，在AC段对两所学校影响越来越大，DB段影响越来越 小，CD段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大． $第二章 相交线与平行线 第3课 探索直线平行的条件(1) 　　 　　1． 如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是 （　B　） A． ∠1与∠2 B． ∠1与∠3 C． ∠2与∠3 D． ∠3与∠4 B 　　2．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝55°，下列条件能推出 a∥b的是（　A　） A． ∠3＝55° B． ∠2＝55° C． ∠4＝55° D． ∠5＝55° A 　　3．如图，点P，Q分别是直线EF外两点． 　　(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF. 　　解：(1)如图，直线AB，CD即为所求． 　　(2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ 　　解：(2)AB∥CD． 　　理由：因为AB∥EF，CD∥EF， 　　所以AB∥CD． 　　 　　4． 如图，木棒AB，CD与EF分别在点G，H处用可旋转的螺丝铆 住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与 木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ⁠°. 20 　　5．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝ 180°，则a与c平行吗？为什么？ 　　解：平行．理由如下： 　　因为∠1＝∠2， 　　所以a∥ (同位角相等，两直线平行)． 　　又∠3＋∠4＝180°且∠4＋∠5＝180°， 　　所以∠3＝ (同角的补角相等)． 　　所以b∥c(　 　)． 　　所以 ∥ (平行于同一条直线的两条直线平行)． b ∠5 同位角相等，两直线平行 a c 　　 　　6． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点， GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.试说明：AB∥CD． 　　解：因为GH⊥CD(已知)， 　　所以∠CHG＝90°(垂直定义)． 　　所以∠2＋∠3＝90°. 　　因为∠2＝30°(已知)， 　　所以∠3＝90°－∠2＝60°(等量代换)． 　　因为∠3与∠4是对顶角(已知)， 　　所以∠4＝∠3＝60°(对顶角相等)． 　　因为∠1＝60°(已知)， 　　所以∠1＝∠4(等角的定义)． 　　所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)． $第二章 相交线与平行线 第4课 探索直线平行的条件(2) 　　 　　1． 如图所示，若直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是（　C　） A． 同位角 B． 内错角 C． 同旁内角 D． 对顶角 C 　　2．(兰州中考)如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福 大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（　B　） A． 同位角相等，两直线平行 B． 内错角相等，两直线平行 C． 同旁内角互补，两直线平行 D． 对顶角相等 B 　　3．如图，不能判定a∥b的条件是（　D　） A． ∠1＝∠3 B． ∠2＋∠4＝180° C． ∠4＝∠5 D． ∠2＝∠3 D 　　4．如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠2＝60°，∠1＝120°. 求证：AB∥CD． 　　证明：如图． 　　因为∠2＝60°， 　　所以∠3＝∠2＝60°. 　　因为∠1＝120°， 　　所以∠1＋∠3＝180°. 　　所以AB∥CD． 　　 　　5． 如图，已知三角形ABC，点D在BC边上． 　　(1)过点A作BC的平行线MN；(尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹) 　　(2)过点D作AB的垂线段DF，垂足为F； 比较线段BD与DF的大小：BD DF (填“>”“<”或“＝”)，理由： ⁠； > 垂线段最短 　　解：(1)如图，直线MN即为所求． 　　(2)如图所示，DF即为所求． 　　(3)若AB＝7，AF＝2，则点B到直线DF的距离为 ⁠． 5 　　6． 跨学科(人教七下P20习题T8改编)如图是光线从空气射入水 中，再从水中射入空气的示意图，其中，直线a，b都表示空气与水的分 界线．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3，请你判断光线c与光线d是否平行，为 什么？ 　　解：c∥D． 理由如下： 　　因为∠1＝∠4， 　　∠1＋∠5＝180°， 　　∠4＋∠6＝180°， 　　所以∠5＝∠6. 　　因为∠2＝∠3， 　　所以∠2＋∠5＝∠3＋∠6.所以c∥D． $第二章 相交线与平行线 第6课 平行线的性质(2) 　　 　　1． 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数 为 ⁠． 125° 　　2．(呼和浩特中考)如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝ 130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（　B　） A． 75° B． 105° C． 115° D． 130° B 　　3．如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是 （　D　） A． ∠1＝∠2 B． ∠2＝∠3 C． ∠1＝∠3 D． ∠2＝∠4 D 　　4．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E. 试说明：AD∥BE. 　　解：因为∠1＝∠2，所以BD∥CE. 　　所以∠E＝∠DBE. 　　因为∠3＝∠E，所以∠3＝∠DBE. 　　所以AD∥BE. 　　 　　5． 如图，已知AB∥CD，∠1＋∠2＝180°. 　　(1)请你判断AD与CE的位置关系，并说明理由； 　　解：AD∥CE. 理由如下： 　　因为AB∥CD， 　　所以∠1＝∠ADC． 　　因为∠1＋∠2＝180°， 　　所以∠ADC＋∠2＝180°. 　　所以AD∥CE. 　　(2)若CE⊥AE于点E，∠2＝150°，试求∠FAB的度数． 　　解：因为CE⊥AE，所以∠AEC＝90°. 　　由(1)知AD∥CE. 　　所以∠DAF＝∠AEC＝90°. 　　因为∠1＋∠2＝180°，∠2＝150°， 　　所以∠1＝30°.所以∠FAB＝∠DAF－∠1＝90°－30°＝60°. 　　5． 如图，已知AB∥CD，∠1＋∠2＝180°. 　　6． 【提出问题】(1)平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光 线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB 与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4. 　　①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 ⁠， ∠2＝∠4，依据是 ⁠． 　　②反射光线BC与EF平行，依据是 ⁠． 两直线平行，同位角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行 　　【解决问题】(2)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平 面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则 ∠2＝ ，∠3＝ ⁠. 84° 90° $第二章 相交线与平行线 第5课 平行线的性质(1) 　　 　　1． 如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（　A　） A． 125° B． 135° C． 145° D． 155° A 　　2．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　B　） A． ∠1＝∠2 B． ∠3＝∠4 C． ∠1＋∠3＝180° D． ∠2＋∠4＝180° B 　　3．(盐城中考)小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1 ＝55°，则∠2的度数为（　B　） A． 25° B． 35° C． 45° D． 55° B 　　4．跨学科如图，一束平行光线照射平面镜后反射(∠1＝∠2，∠3 ＝∠4)，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹 角∠4的度数为（　B　） A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° B 　　 　　5. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的 度数为 ⁠． 140° 　　6．如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，且 DE∥BC，点F在线段CD上，且EF∥AB． 　　(1)试说明：∠DEF＝∠B； 　　解：因为EF∥AB，所以∠DEF＝∠ADE. 　　因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B． 　　所以∠DEF＝∠B． 　　(2)若DE平分∠ADC，∠EFC＝60°，求∠B的度数． 　　解：因为EF∥AB，∠EFC＝60°， 　　所以∠ADC＝∠EFC＝60°. 　　因为DE平分∠ADC，所以∠ADE＝∠ADC＝30°． 　　又DE∥BC，所以∠B＝∠ADE＝30°. 　　 　　7． 如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系． 　　(1)如图1，已知AB∥CD，试说明：∠BPD＝∠B＋∠D；(提示：可 过点P作PE∥AB) 　　解：过点P作PE∥AB，如答图1所示． 　　因为AB∥CD，所以AB∥PE∥CD． 　　所以∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE. 　　所以∠BPD＝∠BPE＋∠DPE＝∠B＋∠D． 　　(2)如图2，已知AB∥CD，试说明：∠B＝∠P＋∠D． 　　解：过点P作PE∥CD，如答图2所示． 　　因为AB∥CD，所以∠B＝∠BOD． 　　因为PE∥CD，所以∠BOD＝∠BPE，∠D＝∠DPE． 　　所以∠BPE＝∠BPD＋∠DPE＝∠BPD＋∠D． 　　所以∠BOD＝∠BPD＋∠D． 　　所以∠B＝∠BPD＋∠D． $