上海市海事大学附属北蔡高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

2025学年第二学期海大附中高二年级期中教学质量检测（数学） 命题人：王霞审题人：郭雪山、顾佳越 (满分100分时间90分钟) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、填空题（每题3分，共36分） 1.4和10的等差中项是 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a=3,则S。= 3.已知数列{an}的首项a1=2,满足an1=3an-2,则a,=」 4.己知正整数n满足P=6C?,则n= 5.首项为1的无穷等比数列{a,小，满足8a+4,=0,则2a,= 6.从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为 1.1 7.用数学归纳法证明1+2京+京++7 2可22e州时，第步粥要 1 验证的不等式为 8.在数列{an}中，a,=1,a1-an=2”,则a。= 9.五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念， 若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有一种。 10.一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0一9中选取，且各位数字互不相同，已知 密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有个，（用数字作答） 11.设数列{an}为等差数列，前n项和为Sn,已知a,+a4+a,=150,a2+a,+a=120,若对 任意正整数，都有Sn≤S成立，则k的可能值为 12.定义：若数列{b,}中存在连续三项之和为4的倍数，则称该数列为“4性数列”：反之， 则称其为“非4性数列”.己知数列{an}满足a=1,a2=2,且对任意整数n≥3，都有an等于a 与a-2之和除以4的余数.若从数列{an}的前40项中任选两项a、a,(i<),将数列{a}中a, 到4，之间（包含a,和a,)的所有项取出，接原来的顺序构成一个新的数列，则取出的所有 新数列中，不同的4性数列的个数为 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 二、单选题（每题3分，共12分） 13.在掷骰子试验中，记事件A:朝上面的点数为3点，则该事件为() A.必然事件 B、不可能事件C.随机事件 D.以上答案都不对 .11 14、利用数学归纳法证明不等式+分十兮+2一<f0)）(m≥2，且neN)的过程，由 1 n=k到n=k+1时，左边增加了() A.2项 B.2*项 C.k-1项 D.k项 15.有编号分别为1,2,3,4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得 张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为() A.24 B.36 C.64 D.72 16.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借 一当二”，二进制数(a44.a2(kN,k2≥1)对应的十进制数记为m,即 mg=a×2*+a,×2-+…+a41×2+a×2°，其中a=1,a,∈{0,1}(i=l2,3.,k),则在 ao,a,a2.a中恰好有2个0的所有二进制数(aa1a)2对应的十进制数的总和为（) A.1910 B1990 C.12252 D.12523 三、解答题(8分+8分+11分+14分+11分，共52分) 17.在3x-1 的展开式中。 (1)求展开式中常数项的值：（本小题4分） (2)求展开式中所有项的系数之和.（本小题4分） 18.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？（用数字作答）（本小题4分） (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调 查工作，求共有多少种不同的选派方法？（用数字作答）（本小题4分） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为4，a2, 4),女同学2名（记为4，b2)、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛 (每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序)， (1)写出这个随机试验的样本空间：（本小题4分） (2)设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件A所对应的子集，并求出事件A发 生的概率；（本小题4分） (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率.（本小题3分） 20.已知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=an+2n2-2. (1)求{an}的通项公式：（本小题6分） 2若，=上工=bh2+b中++h,五，4，求7.（本小题4分） a ()已知数列6，)是公比大于1的等比数列，且6=1，S=25,d,=学-c,若数列 {d}是严格减数列，求实数1的取值范围.（本小题4分） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 21.若数列{an}满足：对任意neN(n≥3)，总存在，jeN,使得an=a,a,(i≠j,i<n,j<n),八 则称{a}是融积数列.已知数列{an}是融积数列，且a=2,a2=4. (1)求4的取值；（本小题3分） (2)若对任意n∈N(n之2)，an>a1,求a4,a的所有可能取值；（本小题4分） (3)在(2)的条件下，记Sn为数列{an}的前n项和，证明：对任意n∈N,有Sn<2a.·本 小题4分) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF《2025学年第二半期高二年级期中测试（数学）》参考答案 题号 13 14 15 16 答案 c B B D 1.t20 【分析】利用等比中项的意义直接求解 【详解】4和10的等比中项是±√4×10=2√0 故答案为：±20 2.27 【详解1依题意，，=98+31=9a,=9×3=27. 2 3.28 【详解】因，=2，由a,=3an-2可得a2=3a,-2=3×2-2=4, 0,=3a2-2=3×4-2=10,a,=3a,-2=3×10-2=28 4.5 【分析】按组合数、排列数公式列出等式求解即可. 【详解1由题意得n≥3，且nn-1n-21=6×”1,得n-2=3,即n=5. 2 故答案为：5. 5.日 【分析】根据给定条件，求出数列()的公比，再利用无穷递缩等比数列所有项和的公式 计算即得 【详解】设等比数列(a,)的公比为9，由a,=1,8a,+a,=0,得8g+q=0,而q≠0，解 得9=-1 2 1-93 2 故答案为： 6.10.5 2 【分析】根据古典概型的概率公式求出甲被选中的概率，结合对立事件的概念即可求解 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 【详解】甲被选中，只需从其余3人中.再选1人，即有C,种方法。 从4人中选2人，共有C:种方法， 所以甲被选中的概率为P= -1 c2 11 所以甲未被选中的概率为1-二= 22 故答案为：2 7.1+1 3<2、1 2 22-1 【分标】因1+2+++ 1 1 7<2- (2”-1)22”-1 (n22,neN),故第一步需要验证的是n=2 时的不等式，代人整理即得. 【详解】用数学归纳法证明1+子+ 223++1 ,7<2、1 (2”-1)32”-1 (n22.n∈N)“时， 1 第一步需要验证，当n=2时，不等式1+ 1<2-1 +2-1) 2+37<2- 11 2-2-1,即1 2”一7成 立， 1.1 1 故答案为：1+2京+了<2 22-1 8.2”-1 【分析】根据给定条件，利用累加法求出通项公式. 【详解】在数列(a)中，a=1,an-a。=2”, 当n22时，an=a,+(a2-a,)+(a-a2)+…+(a。-a。-,)=1+2+22+…+2-1 =120 =2”-1,而8，=1满足上式， 1-2 所以a。=2”-1. 故答案为：2”-1 9.24 【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的 一人共“2人“排列，再插空排丙和丁. 答案第1页，共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有A}=2种， 再与丙和丁外的1人排列有A;=2种. 再排丙和丁有=6种、 故共有2×2x6=24种排法. 故答案为：24. 10.328 【详解】第一类：首位排奇数先排首位有C,种排法，接着排末位有C,种排法，再排中间位 有C,种排法，故共有c,c,C}=5×5×8=200种排法， 第二类：首位排偶数先排首位有c,种排法，接着排末位有c!种排法，再排中间位有C,种 排法，故共有：ccc!=4×4×8=128种排法， 由分类加法计数原理满足条件的密码共有200+128=328个 11.8或9 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解，利用二次函数的图像求最大值即可得解。 【详解】a,+a,+a,=150,a2+a,+a,=120, :0,+a+3d+a+60=150 a,+d+a,+4d+a,+7d=120 9,80 d=-10’ 5.=na+o(n-1) d=80n+nn- 2×(-10)=-5n2+85n, 2 2 85=17 对称轴为0=2x12,开口向下。 neN°，.n=8或n=9时，Sn取最大值， ·对任意n∈N',都有Sn≤S成立， .S为Sn的最大值，k=8或k=9,:k的可能值为8或9. 故答案为：8或9. 12.207 答案第1页，共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 【分析】由题意得该数列周期为T=6,在前8项中符合4性数列条件的有 1e,8,日，)=(31,0)和a.a,a,)=11,1,2),同样满足条件的还有(a.3,3,1,. (·a,8),共有12个三元数组，再考虑取出的数列长度进行分类求解。 【详解】a,=1,a,=2,a=3,a.=1,日，=0,8，=1,8，=1,4，=2，… 可以看出该数列周期为T=6, 在前8项中符合“4性数列”条件的有(a,a,a,)=(3,1,0)和(a,a,8)=(1,1,2), 同样满足条件的还有(a.a1o,a,),…,(a6,a,a),共有12个三元数组。 考虑符合条件的取出的数列长度L,3≤L≤40. 若L=3,共有2个： 若L=4,共有4个， 若5≤L≤35，各有6个， 当36≤L≤40时，各有5、4、3、2、1个， 所以总计2+4+31×6+5+4+3+2+1=207个. 故答案为：207 13.C 【分析】根据随机事件的概念判断 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件A:朝上面的点数为3点，为随机事件。 故选：C 14.B 【分析】根据给定条件，探讨n从k变到k+1不等式左边增加的部分即可得解， 【详解】当n=kk22kEN时，不等式左边为1++++ 1 23 2*-11 当n=k+1时，不等式左边为1++++1+1+1 1 23 2-122*+1 21-1 大1-土7三7 1 增加的项为2+2中十…+2一7+2中1++2+2一共有2项 1 一十…十1 故选：B 15,B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 【分析】利用不平均分组分配问题的解法即可得解 【详解】依题意，4张电影票分成21,1三组，有C:种分法， 再分配给甲、乙、丙3个人，有A;种分法， 所以不同分配方法的种数为CA}=6×6=36. 故选：B. 16.D 【分析】利用等比数列前项和以及组合数问题可解 【详解】根据题意得m,=1×2+a,×2+a,×2°+..+a,×2°，因为在a,.a,a,…a,中恰好 有2个0的有c=28种可能，即所有符合条件的二进制数(a。a,a2…a,),的个数为28 所以所有二进制数(a。a,a2…a,),对应的十进制数的和中，2出现c=28次，2’，2,2， 2°均出现c=21次，所以满足a。.a,a,…a。中恰好有2个0的所有二进制数(a,a,a2…a,)2 对应的十进制数的和为C(2?+2°++2+2°)+C2°=21×255+28×256=12523 故选：D. 17.(1)-12 (2)16 【分析】(1)根据题意，利用二项展开式的通项赋值计算即可， (2)对于该二项式只需取x=1计算即得展开式中所有项的系数之和， 【详解】(1)因为3x- 的通项为7=c3r)（=13e n=4,由题知r=3时，常数项为T=(-1)3c=-12。 2由(0知，今1，得到r-八=19-1=10， 则展开式中所有项的系数之和为16. 18.(1)120 (2)360 【分析】(1)利用组合计数，求选择的方法数， (2)利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数。 然宁竹1而什7而 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 【详解】(1)从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实我活动. 选择方法数为C,。=120种。 (2)从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有CC:=60种. 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从率经济、文化和民生方面的问卷调查工作的选派 方法数为CCA;=360种 19.(1)答案见解析 2)A=b.b,月、10 月 【分析】(1)列举法写出样本空间，得到样本点个数： (2)由题意写出4，根据古典概型求概率， (3)根据题意写出8，根据古典柢型求概率， 【详解】(1)从5名同学中选取2名同学参赛，这个随机试验的样本空间 2=(a.a2)(a.a,(a,b)(a,b2)(a2,a)(a2,b).(a2.b)(8.b)(a.b(6.b (2)由事件A为参赛的2名同学都是女同学“知，A=(b,b》,共1个样本点， 所以PA=d (3)设B=“参赛的2名同学中怡好1名男同学和1名女同学“， 则B=(a,b)(a,b)(a2,b).(a2.b)(a,.b)(a,.b月，共6个样本点、 所以P(8)=5=3 105 20.(1)a。=2n-1 (2)17 (3)1>3 S.n=1 【分析】(1)利用an= 5。-9n≥2的关系式，进一步可得到(a,)通项 (②)写出数列(b.b】的通项公式，利用裂项相消法求得(b.b)的前n项和，依题解不等 式即得正整数n的最小值即可. (3)由数列的单调性进行求解。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App L 【详解】(1)Sn=n2,当n22时，4=$.-5，=2n-1, 又a,=S=1满足上式，所以a,=2n-1. gnan-g2品 ∴bb,+b,b+…+bb= 非) 0,,解得n>10, 即正整数n的最小值为17. (3)因为(c)是严格增数列，所以对任意正整数n,有c-c,>0恒成立， 即” >0恒成立， 2n+12n-1 其中2>0且1≠1，所以”>0， 化简得到2>2n+1 恒成立， 2n-1 2n-1 -1+,2在nEN,n>0时严格减， 2n+1 2n-1 所以，当n=1时，取到 爱大值为3， 所以1>3. 21.(1)8 a,=16, ,=32, ②四日=32或2，=64.或，=128.支1 ，=64，或a=128,或a,=256 (3)证明见解析 【分析】(1)根据融积数列则a=a,a,=2×4=8, (2)因为。>a1,所以数列为递增数列，再结合融积数列的定义分类求解即可： (3)结合融积数列的定义和(2)的结果，可得an≥2a,所以a,22*a,k∈N`,利用 放套法得到S≤品+品+品++2品++受+⊙，再利用等比数列求和证明得到 2n-★ 2 S<2a. 【详解】(1)由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设</. 8,=a,a2=2×4=8, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (2)若对任意n∈N(n22),a,>a,则a,=a,a=2×8=16,或a,=a,a,=4×8=32, ①若a,=16,则a,=a,a,=2×16=32,或a,=a,a,=4×8=32, 或a,=a,a,=4×16=64,或a,=a,8=8×16=128, ②若a,=32,则8，=8，a,=2×32=64,或日，=日，日，=4×32=128， 或a,=a,日，=8×32=256， a4=16, 8,=32, 综上， 8=32,或a,=64,或，=128.或 a,=64,或a,=128,或a,=256 (3)因为a,=2,a2=4=22,且对任意neN(n23),总存在，/EN, 使得an=a,a,(i≠i.i<n,j<n), 所以数列(，)的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， 又因为对任意n∈N(n之2)，a,>a,所以a,22a1, 所以an之2a,≥22an22…22-‘a,k∈N, 所以 Sn=a+a2+a++a.…+a1+an 21 2m2 2++号+a 2 -圓.gn 7 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP