精品解析：江西九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷

江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，可得或，又， 所以. 故选：D 2. 设命题且，则的否定为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定知： 命题且的否定为： 且. 故选：D 3. 已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算直接求解得到，再由共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题知， 复数的共轭复数为复数的共轭复数虚部为， 故选：B. 4. 在中,,是边上的一点,且,则的值等于（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】化简可得,再根据三角形中的关系结合数量积公式计算即可. 【详解】由得,所以． 又因为,,所以, 所以. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算以及数量积的计算,属于基础题. 5. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，再由正弦定理求解即可. 【详解】由，，可得，由正弦定理可得，即. 故选：D. 6. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质、对数函数和指数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为函数，定义域为，而且， 所以为偶函数，所以． 由指数函数与对数函数的性质可得，，且． 所以可得. 因为时，在上单调递增， 所以，所以． 故选：C. 7. 关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，构造函数，求导，根据导数求函数的最值. 【详解】由不等式在恒成立， 得在上恒成立， 设，， 设，恒成立， 所以在上单调递增， 且， 所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 又，， 所以， 又在上恒成立， 所以， 故选：B. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，和并分析单调性得出 ，时，，并取特殊值得出 ，根据构造函数单调性分析即可得出结果. 【详解】设，则，在时，，在时，， 所以，即，所以对任意均成立.取， 有，所以. 再取，可得，两边取倒数，即， 所以， 又当时，设，，则， ，即和在均递增， 所以，，即时，，所以 ， 由在单调递增，可得，即. 故选：B 【点睛】方法点睛: (1)对于实数比较大小我们通常观察式子结构，构造出对应的函数，然后利用函数单调性分析. (2)作差法是比较两个数值大小最常用的方法，看其值是正还是负，从而确定所比较的大小. (3)当直接无法比较的时候，往往需要取适当的“媒介”数（通常以“0”，或“1”为媒介）， 分别与要比较的数比较，从而间接得出两数的大小. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 设的内角的对边分别为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 外接圆半径为 B. 面积的最大值为 C. 最大值为 D. 的最小值为32 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理求得，可判定A正确；由余弦定理和基本不等式，可得判定B正确；由正弦定理和两角差的正弦公式化简得到，结合三角函数的性质，可判定C正确；由余弦定理和基本不等式，可判定D错误. 【详解】在的内角的对边分别为，若， 对于A中，由正弦定理得，可得外接圆半径为， 所以A正确； 对于B中，由余弦定理得，即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为，所以B正确； 对于C中，因为，可得，可得， 则 又由正弦定理，可得 ，（其中且）， 当时，取得最大值，最大值为，所以C正确； 对于D中，由余弦定理得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以D错误. 故选：ABC. 10. 在中，内角所对应的边分别是，，点在线段上，且，若，则（ ） A. B. C. 面积的最大值是9 D. 面积的最小值是6 【答案】AC 【解析】 【分析】由，利用正弦定理边化角可得：，然后借助两角和的正弦公式可得：，结合，可得，利用余弦定理及基本不等式可得面积的最大值是9. 【详解】由，可得， 整理得，即， 又，，即， ，所以A正确； 由，得可能相等也可能不等，又，若，则为等边三角形就不会出现C，D求最值了，因此可用排除法，所以B不正确； 由余弦定理可得，又 可得 又且， 可得整理得 又的面积 又，，，当且仅当时等号成立， ，则 所以面积的最大值是9，无最小值. 所以C正确，D不正确. 故选：AC. 11. 在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（ ） A. 存在点，使得面 B. 存在点，使得面 C. 当点不是的中点时，都有面 D. 当点不是的中点时，都有面 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由当点与点重合时，结合线面平行的判定定理即可判断；对于B，一方面若面，则，结合即可判断；对于CD，由线面平行，线面垂直的相关知识判断即可. 【详解】当点与点重合时，由，而面，面，可知面，即A正确. 若面，注意到面，则， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， ， 所以，与矛盾，即B错误. 当不是的中点时，由，且面，面，可知面， 又直线为面与面的交线，则，又面，面，从而可得面，即C正确. 同上，有，又面，面，所以， 又面， 所以面，则面，即D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出异面直线所成的角. 【详解】取点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，0，，，2，，，1，，，1，， ， ，， ， 与所成的角为． 故答案为：． 13. 在中，，，线段上的动点（含端点），则的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】因为，所以， ∴， 又∵，∴， 又，所以，如下图所示， ∴， 则可设，， 则. 14. 定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性并求出在上的最小值，再结合恒成立建立不等式，利用一次型函数性质列式求解. 【详解】对任意，都有， 当时，， 对任意，取，得，函数是奇函数， 设且，则，而当时，， 因此，即，所以函数在上是减函数， 当时，， 由，恒成立， 得，恒成立， 由一次型函数性质得，解得或或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）将图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）首先可通过转化得出，然后根据正弦函数的性质即可得出结果； （2）本题首先可通过图像变换得出，然后根据得出、，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果. 【详解】（1）， 令，则， 故的单调递减区间为. （2）横坐标伸长到原来的倍，得到， 然后向左平移个单位，得到， 因为，所以， 因为，所以，， 故 . 16. 如图，在梯形中，，，，将沿折起，形成四棱锥， （1）若点为的中点，求证：平面； （2）在四棱锥中，，求面与面所成二面角(锐角)的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连，证明四边形为平行四边形，所以，得证线面平行； （2）延长，交于点，则为平面与平面的交线，证明平面，过作，垂足为，连接，证明为二面角的平面角，再在中计算其余弦值． 【详解】解：（1）证明：取中点，连，则，. 又因为，， 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面 所以平面. （2）延长，交于点，则为平面与平面的交线 因为，，所以. 三角形中，因为，为的中点， 所以， 又因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以. 又因为，平面，所以平面. 平面，所以. 在三角形中，过作，垂足为，连接，因为，平面， 所以平面，平面，所以. 所以为二面角的平面角. 在中，，，， 由，所以，所以. 在中，，，. 所以. 即面与面所成二面角(锐角)的余弦值为. 17. 在中，，，对应的边分别为，，，． （1）求A； （2）若为边中点，，求的最大值； （3）奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理即可求解； （2）由余弦定理及基本不等式得出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解； （3）由三维分式型柯西不等式，余弦定理，基本不等式，函数的单调性即可求解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 由余弦定理， 所以，即， 若，等式不成立，则，可得， 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为为边中点，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 【小问3详解】 ， 又， 所以， 由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即时等号成立． 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，则， 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，则在上递减， 当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到）． 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，直线与所成的角的余弦值等于，，点为线段上的动点，是的中点. （1）若直线和相交，求证：； （2）求证：平面平面； （3）当三棱锥的体积最大值时，求此时三棱锥外接球的体积. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，是正方形，则， 由直线和相交，得平面，平面，于是平面， 又平面平面，又平面，所以. （2）证明：取的中点为，连接，由，得， 由，得是直线与所成的角，所以， 由正方形的边长为2，得，，则， 又，于是，即， 而平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）借助异面直线所成角求出，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （3）求出三棱锥体积最大时点位置，再利用球面的性质确定球心位置，求出球半径，进而求出球的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令点到平面的距离为，则， 要三棱锥的体积最大，当且仅当最大，而点为线段上的动点， 则当点与点重合时，取得最大值， 由（2）知，等腰的外心在线段上，该外接圆半径， 则，外接圆圆心为中点，该圆半径， 令三棱锥外接球球心为，则平面，平面， 而平面平面，平面，可得平面， 则，三棱锥外接球半径， 所以所求外接球的体积为. 【点睛】 19. 已知，定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，． （1）若，求实数x的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足：的实数x的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）函数的值域为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义求出范围； （2）利用单调性，结合不等式性质求出值域，利用定义建立不等式并求出，进而解不等式即可. （3）求出函数的值域，再把问题转化为恒成立，分离参数并分段讨论求解. 【小问1详解】 由表示不小于x的最小整数，，得， 所以实数x的取值范围是. 【小问2详解】 函数定义域为， 而函数在上单调递增，值域为， 因此，即， 则函数的值域为，， 由，得，则有， 而时，不等式不成立，则， 必有，即， 因此，解得， 所以实数x的取值范围是． 【小问3详解】 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， ，而 于是在上的值域为，，， 依题意，， 即，， 当时，， 当时，，则， 当时，，而恒成立，则， 所以实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题且，则的否定为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. 已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 在中,,是边上的一点,且,则的值等于（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 5. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 设的内角的对边分别为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 外接圆半径为 B. 面积的最大值为 C. 最大值为 D. 的最小值为32 10. 在中，内角所对应的边分别是，，点在线段上，且，若，则（ ） A. B. C. 面积的最大值是9 D. 面积的最小值是6 11. 在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（ ） A. 存在点，使得面 B. 存在点，使得面 C. 当点不是的中点时，都有面 D. 当点不是的中点时，都有面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______ 13. 在中，，，线段上的动点（含端点），则的取值范围是_____． 14. 定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）将图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值． 16. 如图，在梯形中，，，，将沿折起，形成四棱锥， （1）若点为的中点，求证：平面； （2）在四棱锥中，，求面与面所成二面角(锐角)的余弦值. 17. 在中，，，对应的边分别为，，，． （1）求A； （2）若为边中点，，求的最大值； （3）奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，直线与所成的角的余弦值等于，，点为线段上的动点，是的中点. （1）若直线和相交，求证：； （2）求证：平面平面； （3）当三棱锥的体积最大值时，求此时三棱锥外接球的体积. 19. 已知，定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，． （1）若，求实数x的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足：的实数x的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $