江西省九江市庐山外国语学校2024-2025学年高一下学期数学期中测试卷

数学期中测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．与都是奇函数 B．与都是偶函数 C．是奇函数，是偶函数 D．是偶函数，是奇函数 3．已知向量，，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 4．为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移2个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移2个长度单位 D．向左平移1个长度单位 5．已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 6．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．若向量与的夹角为，，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 8．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 10．下列说法正确的是（   ） A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B．已知中，点P为边AB的中点，则必有 C．若，则P是的垂心 D．若G是的重心，则点G满足条件 11．已知函数,则下列描述正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．是函数图象的一个对称轴 C．是函数图象的一个对称中心 D．若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,则为奇函数 三、填空题 12．已知，则 13．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 14．已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 . 四、解答题 15．比较下列各组函数值的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 16．已知函数，. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围. 17．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 18．已知向量，满足，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，求与的夹角． 19．如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．    (1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？ (2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《数学期中测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D A C C A BD BC 题号 11 答案 ACD 1．D 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较正弦值的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据，得到，即，，，从而判断出大小关系. 【详解】因为，所以0<，且， 所以，，，所以. 故选：D. 2．D 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求正弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】利用诱导公式化简两个函数，由此判断出函数的奇偶性. 【详解】依题意，为偶函数，为奇函数. 故选：D. 3．A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】有题意可得，根据向量平行可得其坐标间关系，即可求得答案. 【详解】由题意得：，因为向量与向量共线， 所以，解得. 故选：A 4．D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求解即得. 【详解】显然， 因此函数的图象可由的图象向左平移1个长度单位而得，D正确，ABC错误. 故选：D 5．A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 6．C 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】设与夹角为，利用求出，在利用夹角公式计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 由， 所以， 即， 设与夹角为， 则， 又，所以， 故选：C. 7．C 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得. 【详解】因为 ， ，解得（负根舍去）. 故选：C 8．A 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可． 【详解】设，则，则， 则， 故选：． 9．BD 【知识点】求函数的零点、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用周期公式可判断A；代入验证可判断BC；由正弦函数值域可判断D. 【详解】由周期公式知，A正确； 因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误； 因为，所以是函数的零点，C正确； 由正弦函数的值域可知，的最大值为2，D错误. 故选：BD 10．BC 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】对A，根据基底向量不共线判断即可；对B，根据基底向量的运用判断即可；对C，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D，由重心可得，即可判断 【详解】对A，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误； 对B，根据平面向量基本定理可得中，点P为边AB的中点，则必有，故B正确； 对C，由可得，即，故，同理，，故P是的垂心，故C正确； 对D，若G是的重心，则点G满足条件，则，故D错误； 故选：BC 11．ACD 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】对于A根据最小正周期公式求解即可;对于B,C,求解的值即可判断;对于D,先根据条件得到平移后的函数解析式,再利用奇偶性定义判断即可. 【详解】函数的最小正周期,故A正确; ,所以关于对称,故B错误; ,所以是函数图象的一个对称中心,故C正确; 根据题意, 则,所以为奇函数,故D正确. 故选:ACD. 12．/0.5 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案. 【详解】由题意得：. 故答案为：. 13．/ 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 14． 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的定义，列出关于的方程，最后求解方程得出答案. 【详解】由得，，解得. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【知识点】诱导公式一、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小、比较正切值的大小 【分析】利用三角函数的诱导公式化简各三角函数值，再利用三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， ， 而在上单调递增，故， 所以. （2）因为 ， ， 而当时，单调递减，故， 所以，则. （3）因为， ， 而，所以， 则. 16．（1）；（2） 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）先求出函数的义域为或，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于在R上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解. 【详解】（1）若，, 函数的定义域为或， 由于函数是定义域上的增函数， 所以的单调递减区间等价于函数或的减区间， 或的减区间为， 所以函数的单调递减区间. （2）由题得在R上恒成立， 当时，2＞0恒成立，所以满足题意； 当时，，所以. 综合得 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 17．(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 18．(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算 【分析】（1）先算出 ，再按照数量积的公式计算即可 （1）根据得到，计算出，再根据 即可 【详解】（1），所以， 所以 （2）因为，所以， 所以，所以 ， 令 所以， 因为，所以 故与的夹角为． 19．(1) (2)或 【知识点】已知函数值求自变量或参数、求正弦（型）函数的最小正周期、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【详解】（1）设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面的高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； （2）由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$