精品解析：四川凉山州西昌市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025—2026学年度下期期中质量监测评估 高二数学 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 4.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知函数的导数为，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 年意大利米兰冬奥会期间，组委会选派名翻译志愿者分别承担汉语、英语、日语、韩语四个不同语种的翻译工作（名翻译志愿者均精通汉语、英语、日语、韩语），则不同的选派方案共有（） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 144种 6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 若，下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的最大值为 C. D. 当时， 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的单调递增区间是，则__________. 13. 某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________. 14. 已知不等式对一切都成立，则的最小值是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 17. 从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人. （1）项目组有多少种不同的选派方案？ （2）现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案. 18. 已知函数. （1）若，求的最值； （2）讨论的单调性； （3）当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且. 19. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）若函数存在两个不同的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下期期中质量监测评估 高二数学 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 4.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 已知函数的导数为，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故. 2. 年意大利米兰冬奥会期间，组委会选派名翻译志愿者分别承担汉语、英语、日语、韩语四个不同语种的翻译工作（名翻译志愿者均精通汉语、英语、日语、韩语），则不同的选派方案共有（） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】第个语种（汉语）可以从名志愿者中选人，有种选择； 第个语种（英语）从剩下的名志愿者中选人，有种选择； 第个语种（日语）从剩下的名志愿者中选人，有种选择； 第个语种（韩语）只能选剩下的名志愿者，有种选择， 所以总的选派方案数是． 3. 下列函数中，在区间上单调递减，且图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，是幂函数，图象关于轴对称，不符合题意； 对于B，是由函数向上平移一个单位长度得到的， 因为的图象关于原点对称， 所以的图象不关于原点对称，不符合题意； 对于C，，为偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； 对于D，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 令，则， 因为，所以图象关于原点对称，符合题意. 4. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】， 所以． 5. 为倡导绿色出行，某小区计划新增3个不同的新能源汽车充电区和2个不同的电动自行车充电区．现有5个空位（排成一排）可供选择，要求2个电动自行车充电区不相邻，则不同的安装方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法，先安装3个不同的新能源汽车充电区，再将2个不同的电动自行车充电区插入到4个空位中即可． 【详解】先安装3个不同的新能源汽车充电区，则有种， 再将2个不同的电动自行车充电区插入到4个空位中，则有种， 所以不同的安装方案共有种． 故选：C 6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得； 函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立. ，，在上恒成立，即. ，，； ，当且仅当，即时等号成立； ，即； 实数的取值范围是. 8. 定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集 【详解】为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求， 当时，设，， 所以为偶函数，， 时，，， 故在上单调递增， 当时，， 又，故，所以，故， 为偶函数，故在上单调递减， 时，， 又，所以，故， 所以不等式的解集为 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【详解】由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确； 函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确. 10. 若，下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列数、组合数的计算公式逐项分析即可判断ACD，再由组合数的性质判断B得解. 【详解】A，因为，故A正确； B，由组合数的性质知，，故B错误； C，因为，故C正确； D，由，故D正确. 故选：ACD 11. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的最大值为 C. D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意列出方盒体积方程为，化简方程，对方程进行求导即可判断选项AB； 选项C为对称轴性质，没有对称轴； 选项D，当时，可以得出，由对称中心性质即可得出结论. 【详解】， ，令，解得，因为， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 则在处(唯一极大值点)取得极大值，也是最大值，无极小值点. ，故A错误，B正确； ，故C错误； 当时，可以得出，所以，…… 一共有9组和为2的数对，再加上，则，故选项D正确. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的单调递增区间是，则__________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为函数的对称轴为，则其单调递增区间为， 依题意可得，解得. 13. 某社区开展“垃圾分类知识竞答”活动，题库中有6道“易回收”题和3道“有害垃圾”题.系统随机抽取2道题作为一次挑战，则抽到的题目中至少有一道“有害垃圾”题的概率是__________. 【答案】 【解析】 【详解】要求至少有一道“有害垃圾”题的概率，可以先求一道“有害垃圾”题都没有的概率. 总抽法数种，一道“有害垃圾”题都没有的抽法数. 故所求概率为. 14. 已知不等式对一切都成立，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，求出导数，分类讨论进而得到，可得，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值. 【详解】令， 不等式对一切都成立等价于对一切都成立， 因为， ， 若， 则恒成立，即时函数单调递增，无最值； 若， 令得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以函数在时处取得极大值，也为最大值，为， ， ， ， 令， ， 令得， 在上，， 函数单调递减， 在上，，函数单调递增， 当时 ，， 所以的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）本小问主要考查导数的减法运算法则和基本初等函数求导公式，对每一项分别求导，再相减即可； （2）本小问主要考查导数的商的运算法则与复合函数的导数，代入求导公式计算即可； （3）先将函数表达式进行化简，再根据导数加法运算法则及复合函数的导数，进行求导即可. 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由， 所以. 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值，极小值． 【解析】 【分析】（1）先求函数在处的函数值与导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程． （2）先求导并因式分解，根据导数的正负判断函数单调性，再结合单调性确定极大值点、极小值点，代入原函数计算极值． 【小问1详解】 由，得， 因为，， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，得或，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，取极大值，当时，取极小值． 17. 从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人. （1）项目组有多少种不同的选派方案？ （2）现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案. 【答案】（1）60 （2）660 【解析】 【分析】（1）结合题意分选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师两种情况求解即可； （2）结合（1）分两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师， 若选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 若选派4人中可以有2名工程师和2名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 综上：项目组有60种不同的选派方案. 【小问2详解】 若选派4人中有1名工程师和3名数据分析师， 若3名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若3名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 若选派4人中有2名工程师和2名数据分析师， 若2名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若2名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 综上：有种不同的分配方案. 18. 已知函数. （1）若，求的最值； （2）讨论的单调性； （3）当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且. 【答案】（1）函数的最小值为，无最大值； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，进而求最值； （2）求导，分类讨论判断导数正负，求单调区间即可； （3）由（2）可得，利用单调性和零点存在性定理可得在上存在唯一零点；可得，得，，构造函数，，利用导数求出最值，得证. 【小问1详解】 当时，，则， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以函数的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 由， 当时，，所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，得或， 当时，，有，即在R上单调递增； 当时，， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增； 当时，， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 因为，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 依题意，， 又，，，， 所以在上存在唯一零点，且， 解得，两边取自然底数的对数，， 所以，， 令，，则， 故在上单调递减，则， 故. 19. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）若函数存在两个不同的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （2）（i）根据函数极值的定义，利用转化法进行求解即可；（ii）根据函数极值的定义，结合对数的运算性质，利用构造函数法、二次求导法进行求解运算证明即可. 【小问1详解】 ， 因为是的极值点， 所以 ，即， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以是的极小值点，符合题意； 【小问2详解】 （i）， 函数的定义域为， 令， 设， 因为函数 存在两个不同的极值点， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点， ， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， ，当时，，且当时，， 当时，，且当时，，函数的图象如下图所示： 要想直线与函数的图象有两个不同的交点， 只需， 所以实数的取值范围为； （ii）因为函数 存在两个不同的极值点， 所以不妨设， 且， ， 于是有， ， 因为，所以令， 所以有 要想证明，只需证明， 所以只要证明 在上恒成立， 即 在上恒成立， 设 ， 令， 因为，所以，因此函数在上单调递增， 于是当时，， 即，因此函数在上单调递增， 于是当时，， 因此在上恒成立， 所以 在上恒成立， 因此 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $