精品解析：四川省凉山州西昌市2024-2025学年高二下学期期中检测数学试题

西昌市2024—2025学年度下期期中检测 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一、单项选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1. 已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（　　） A 1 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据通项公式，逐项判断即可得出结果. 【详解】因为， 若，则，即是的项； 若，则，即是的项； 若，则，即是的项； 若，则，即不是的项； 故选D 【点睛】本题主要考查数列中的项，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B． 3. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为、，且， 因为. 故选：C. 4. 已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性及单调性，进而确定其图象. 【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确. 故选：D 5. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，求导可得，令，可求得，可求切线方程. 【详解】令，可得，即，解得， 由，可得， 令，可得，解得， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 6. 函数的单调递减区间是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的导函数，因为有单调递减区间，所以；再根据与，求出的单调递减区间为，最后根据题目给出的条件得出最后答案即可. 【详解】由题可知，因为函数有单调递减区间，所以； 令，则，又，故， 即的单调递减区间是，可得. 故选：A. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 8. 已知定义域为函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式. 【详解】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小. 二、多项选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多个选项正确，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错或不选得0分） 9. 数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据即可判断A；由等差数列通项公式求得，即可判断B；令求解即可判断C；根据等差数列的函数特性即可判断D． 【详解】对于A，由得，，所以是递减数列，故A错误； 对于B，由得，数列是等差数列， 所以， 所以，故B错误； 对于C，令，即，解得，故C正确； 对于D，，对称轴为， 所以当或4时，取得最大值，故D正确； 故选：CD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 B. 若，则函数在处无切线 C. 曲线在处切线方程为，则 D. 已知函数，则是函数的极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用切线的概念可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用导数的几何意义和导数的概念可判断C选项；利用函数极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数切线与函数的图象可以有两个公共点， 例如函数在处的切线，由得， 且，则函数在处的切线方程为， 由可得，解得或， 所以，函数在处的切线与函数的图象还有一个公共点， 函数在处的切线与函数的图象有两个公共点，A对； 对于B选项，若，则函数在处的切线斜率为，B错； 对于C选项，曲线在处的切线方程为，则， ，C对； 对于D选项，已知函数，则对任意的恒成立， 当且仅当时，等号成立，则函数在上单调递增，无极值点，D错. 故选：AC. 11. 已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ） A. a的范围是 B. a的范围是 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出，分、讨论，利用导数求出极值可判断AB；利用可判断CD． 【详解】， 令，解得或， 当时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，， 此时函数只有一个零点，不符合题意； 当时， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，要使有三个不同的零点， 则，解得，即的取值范围是，故A错误，B正确； 因为函数有且仅有三个不同的零点分别为， 则 ， 即有，，，则，故CD正确； 故选：BCD． 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列是等比数列，且，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质即可求解． 【详解】，则， 故答案为：4． 13. 已知曲线，则曲线过原点的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义可得切点以及斜率，根据点斜式即可求解. 【详解】由，则， 设切点为， 所以，解得， 所以切点为，切线的斜率 所以过原点的切线方程为：，即. 故答案为： 14. 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对，，使得成立，只需求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时，，当时，， 所以， 因为开口方向向下， 所以在区间上的最小值的端点处取得， 所以要使对，，使得成立， 只需，即或， 即或， 解得， 所以a的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，根据已知列出方程组求解，再根据等差数列通项公式即可求解； （2）由等差数列的求和公式求得，由得，求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为d， 由得：，∴， 由得：， 解得（舍）或， ∴， 数列的通项公式为：． 【小问2详解】 由等差数列的前n通项公式可得：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又n为正整数，故n的最小值为5． 16. 已知函数，，为函数的导函数． （1）求函数的单调性； （2）若任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论时和时，的正负即可求解单调区间； （2）由题得在恒成立，进而得出恒成立，构造函数利用导数即可求解． 【小问1详解】 因为，且定义域为， 所以，令，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，得到， 令，得到， 故函数在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）得， 因为对于任意，恒成立， 所以恒成立， 化简得恒成立，故恒成立， 令，则恒成立，， 令，则， 得到在单调递增，即， 故，在单调递增，而， 即，故． 17. 已知正项等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q，则，根据条件求出公比q，然后求的通项公式即可； （2），用分组求和法结合错位相减法，即可求的前n项和 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，则， 所以，整理可得， 因为，解得，故． 【小问2详解】 由（1）知， ……① ……② 由①②得： , 所以． 18. 已知关于的函数，其图象与直线相切. （1）求的值； （2）证明：； （3）设数列，的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可求出切点的横坐标，即可得出切点的坐标，由此可求得实数的值； （2）利用导数求出，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，结合不等式的基本性质得出，由此得出，然后利用放缩法可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的图象与轴相切， 则，得，代入可得， 所以，切点坐标为，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则，得，，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，得证. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，所以，， 即当时，， 当时，，所以，， 则，，所以，即， 累加得， 所以. 故对任意的，. 19. 已知函数． （1）当，时，求的单调递减区间； （2）当时，若有两个极值点． （ⅰ）求b的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，解不等式求出单调递减区间. （2）（ⅰ）把代入，求出导数并换元，借助一元二次方程求出范围；（ⅱ）结合（ⅰ）求出所证不等式左边的表达式，再构造函数，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 当，时，， 由，得，解得， 所以单调递减区间为. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，令，即， 令，，则，是方程的两个正根， 于是，即，又，，解得， 所以b的取值范围为：． （ⅱ）当时， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 又，， 则存在，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递减增， 因此， 又，函数在上单调递减， ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西昌市2024—2025学年度下期期中检测 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一、单项选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确） 1. 已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（　　） A. 1 B. C. 3 D. 2 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间是，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A B. C. D. 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多个选项正确，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错或不选得0分） 9. 数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 B. 若，则函数在处无切线 C. 曲线在处的切线方程为，则 D. 已知函数，则是函数的极值点 11. 已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ） A. a的范围是 B. a的范围是 C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列是等比数列，且，则______． 13. 已知曲线，则曲线过原点切线方程为______. 14. 已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 16. 已知函数，，为函数的导函数． （1）求函数的单调性； （2）若任意，恒成立，求a的取值范围． 17. 已知正项等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，的前n项和． 18. 已知关于的函数，其图象与直线相切. （1）求的值； （2）证明：； （3）设数列，的前项和为，证明：． 19. 已知函数． （1）当，时，求单调递减区间； （2）当时，若有两个极值点． （ⅰ）求b取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$