广东省佛山市石门中学2025-2026学年高二下学期数学期中考试模拟卷

石门中学2027届高二数学期中考试模拟卷 组卷：卢广艺审核：黄志平 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S。=100,ao=19,则S0=() A.320 B.400 ·C.480 D.560 2.2016年某高校艺术类考试中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生，现这6名 考生依次出场进行才艺展出，如果3位男生中任何2人都不能连续出场，且女生甲不能排 第一个，那么这6名考生出场顺序的排法种数为（) A.108 B.120 C.132 D.144 3.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、 辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十 二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支 纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、、癸酉、甲戌、己亥、丙子、…癸 未、甲申、乙酉、丙成、…、癸已、，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已 知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2022年是“千支纪年法”中的（') A,庚子年 B.己亥年 C.壬寅年 D.戊戌年 4.若数列a,}满足a=3,a-日（aeN),则a,=（） A月 c D.3 1 5.设a=i血1，b=2sim7c=3sin学则（) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 6e+号)a+的展开式中d6的系数为() A.50 B.100 C.150 D.300 .已知数f冈(-+分，则1(/品6++0器》/82图）-() A.2026 B.2025 C.1013 D.202 2 试卷！页：共4页 8、已知了)=e-有两个极值点，x,且，≥3x,则实数a的取值范围为《) a9时a9c699时】 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是() A.5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 B.5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54 种 C.5名同学排成一排，甲乙丙按从左到右的顺序，则不同排法共有20种 D.若将5名同学分配到3个班进行宜讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班， 则有150种不同的分配方案 10.函数f因=r2-(a+3x+红在x=号处取得极大值，则a的值可以是()户 A.-1 B.0 C.3。分D.4 山.已知数列{a},{色，}满足am= a,+n为奇数 2a,为偶数，4=1,6=a,8为数列a,}的前n 项和(neN),则() A.b2=5 B.数列{也，+1}为等比数列 C.a10=3-20-1 D.S21=92--3n-5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.直线y=:c+1与曲线y=x2+a+b相切于点A(,2),则b-a=一 13.若将函数fx)=x表示为f(x)=a+a,(1+x)+a2(1+x)2+a(1+x)3+a,1+x),其中 ao,a,a2,a,a,为实数，求a= 4.在数别a}中，4=1，且au-g-（, 若存在正整数n,使得 2-(a1+a)t+a,-an<0成立，则实数t的取值范围为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(满分13分).、： 在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系 数的和为2，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处问题中，解决下面两个问题. 已知(2x-l)”=a+ax+a2x2+ax+…+a,x(neN),若(2x-1)的展开式中， 、 (1)求展开式中二项式系数最大的项： (2)在(1+x+1+x)°+…+(1+x)”的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）. 16.(满分15分) 已知函数f(x)=(x2-2x+2a)e. (1)若f()在[2,7]上单调递增，求a的取值范围： (2)试讨论函数∫(x,)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。 17.(满分15分) 已知等差数列(o,}的前n项和为3，且a,=4,数列化，}的前n项之积为工，么-行，且 ,=log5(C). (1)求工： @)令=会，求正整数a使得6=6+cm”与“6是c,的等差中项”同时成 立 8)设d.=2a+7,6-曰少4+2，求数列6，}的前2n项和飞. d,d 试卷第3页，共4页 18.(满分17分) 已知函数f(x)=a2x2-3 axnx,,a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在（山，∫(）处的切线方程： (2)讨论f(x)的零点个数： (3)当a>时，证明f()>2sinx。 2 19.(满分17分) 从1,2,3，，n(n∈N,n≥4)中任取3个不同的数，且这3个数从小到大构成一个等差数列， 这样的等差数列共有A个，这A个等差数列的所有项之和为S。· (1)写出A,4,S4,S的值： (2)求An: (3)求S. 试卷第4页，共4页 石门中学2027届高二数学期中考试模拟卷 参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A 0 D ACD AB 题号 11 答案 ABD 1.B【分析】根据给定条件，列式求出首项及公差，再求出前20项的和. 【详解】由30=100，得108=10，而a,=19,解得4=1，公差d=凸=2， 2 10-1 所以3=204+2020-d=40.故选：B 2 2.C【分析】先排女生的站位，然后再插空排男生，注意到，当女生甲排在第一位时，必 须安排一个男生排在女生甲前面，其余两个男生插孔排列即可。当女生甲不排在第一位时， 对3位男生直接进行插孔排列即可，最后将这两类排法相加即可得到结果. 【详解】先排3个女生，若女生甲排在第一个，3个女生有2种排法，则甲前面的空位必须 排1个男生，另2个男生从其余3个空位选2个，此时有24=36种排法；若女生甲不排 在第一个，3个女生有4种排法，3个男生从4个空位选3个，此时有4=96种排法， 所以这6名考生出场顺序的排法种数共有36+96=132种故选：C. 【点晴】本题考查排列组合的知识，注意特殊元素优先处理，属中档题 3.C【分析】根据题意可得，干支纪年法的周期为60，且天干是以10为公差的等差数列， 地支是以12为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】解：由题意可知：干支纪年法的周期为.60，则从1894年到2022年经过128年， 则128=12×10+8，则2022年与1902年的纪年相同.又天千是以10为公差的等差数列，地 支是以12为公差的等差数列，且1894年为“甲午年，顺次依次为乙未、丙申、丁酉、戊戌、 己亥、庚子、辛丑、壬寅则2021年为壬寅年.故选：C 4.B【分析】由递推式判断数列的周期性，进而确定a6, 1=3,… 【详解】由a3,25-2a6=，a五2 2 所以{@，}是周期为3的数列，则，=4=号故选：B 5.A【解析】先研究函数y=加单调性，再比较大小 【详解】：y=血z:y=cosx-si,令1=x0osx-5inx,则=-xsinx x 因此当xe(0,)时t<0,t<0,y<0,即y=xsinx在(0，牙)上单调递减， 因为1>>1 >>,所以a<b<c,选A 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题， 6.D【分析】写出展开式通项，令a的指数为3，求出参数的值，代入通项即可得解。 【详解】(2a+b)°的展开式通项为I=C%(2a).b=C2t.a(k=0,12,…,6), 因为a+号）2a+6时=aa++号2a+f. 在aC%2a6=C2-a-6(（k=0,l,2,,6)中，令7-k=3可得k=4, 在C2.6=C2ab(=01,26列中，令5-r=3可得r=2, 因此，展开式中a2b的系数为C%22+C?2=15×4+15×16=300.故选：D. 7.D【分析】由已知可得∫(x)+∫(1-x)=1,利用倒序相加求和即得答案. 空台：列，共8页 【详】因为(-+分》 以r+--+-合1 =(-+1=1,即：e+0-1, 2024 2025 2026 （2026 则S=f ++品 2 所以25=2025，所以S=2025」 2 8.D【分析】根据题意，先求"(x),则'(x)=0有两个不同的根x,x2,再将∫'(x)=0分 离参数得到a=宁，可以找到相应的两个函数)=“和g)=寺，则这两个函数的图象有丙 个不同的交点，这两个交点的横坐标，，再利用8)=二的增减性求出8)的最大值， 利用图象得到的取值范围及，的范围，再将，代入a=专中，得到，的双变量的 等式a各各，通过换元，设1冬，由之3得到≥3，得到名=，从而得到片 e t-1 构流函数0一，利用0的单调性求出0的最大直，即得到的取值范图马≤学 再利用)兰在(。，)上是增函数，得到a的最大值，从而得到：的取值范图 【详解】f钊=a心-，f八)=a心-，f()=ae-方有两个极值点。 “了()=ae-x=0有两个不同的根无，，ae-x=0变形为a=总 设=a,8因-，则两个函数y=a和g因=总有两个不同的交点，：8()=寺 :g树=c--二，g=号>0解得x<1,g因在(-®)上是增函数： e2r ~g倒=二<0解得x>1,“8)在L+m)上是减函数：“g)在x=1处取得最大值， ÷g()的最大值为g0=。当x=0时，80)=0：当x→-0时，8)→0：当x>1时， 8=吉>0恒成立：当x→m时，g四0，“两个函数)=a和8（闭=言有两个不同的交 点，0<a<-: 在直角坐标系中画出y=a和g()=。的图象。 g(x)= 结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是x,x2,又，2≥3x,则0<￥<1<， 答案第2页，共8页 台倍受-e,学%2= en,岩设0=岩02,0= 1-lnt,设m0=la, Γ0-02 m0=只，≥3,0=号<0,0在B+o)上是减函数。 m05m6)=1写h3子-h3<0,0<0,A的在o上是减通最 k的5p)空.S里，8阅产在@)上是增函数。 ,血3 In3In3 a=语时0取最大值，且0的最大值为 -三5n3,综上可知 2 6 e2 0<asB3故选：D 6 9.ACD【分析】由捆绑法，插空法即可判断A,由特殊元素优先法即可判断B,由倍缩法 即可判断C,先分组再分配然后代入计算，即可判断D. 【详解】对于A,AAA=24,故A正确， 对于B,最左端排甲时，有A=24种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲， 则有AA=18种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有24+18=42种，故B不正确，： 对于C,甲乙再旋从左到右的原群排别的排法有袋=20种，故c正瑰， 对于D,将5名同学分为3,1,1或2,2,1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有CA+SAg=150种，D正确.故选：ACD A 10.AB【分析】通过分类讨论，对函数的单调性进行研究，从而得到符合题意的a的取值 范围，即可得到答案 【详解】f(x)=3ax2-2(a+3)x+4=(ax-23x-2),xeR. 当=0时，令f因=0，子：引>0，单调递猫，作 f因0。网单调递减。则因在x号处取得授大恤 当0时，令f因=0导，名=子 当<0时引>0，网单满递绵，在（得0，九网 单调递减，则f八)在x=二处取得极大值： 2 当>0时活子即>，在得0，单运端引 f9<0,单流则/四在：号处取得板小值，不合题意，舍去：若子子即 g=时，了似20恒立，单消适增，不合愿意，會去：者子>号，甲0<a时，在 ✉引治f回>0，四单通造第，x传铝引/回o,/回单调造减则网 答案第3页，共8页 在x=处取得极大值：综上所述：口<3时，函数因在x=子处取得极大值故选：B 31 11.ABD【分析】应用分段数列计算判断A,分项数为奇数及偶数结合等比数列定义计算判 断B,C,应用分组求和及等比数列求和公式计算判断D. a,+l,n为奇数 【详解】因为数列0，}亿，}满足a-2a,为偶数 所以4，=1，b=a=a,+1=2a2+1=2(a,+1)+1=5,A选项正确： 当项数为偶数时，a2,=a21+l=2a2-2+1,所以6.=2b+1,所以b1=2b.+1, t1_2边+1+_2他+=2，且么+1=a,+1=(a++1=3,所以数列他，+是以3 b.+1b,+1.b,+1 为首项，以2为公比的等比数列，B选项正确： b+1=3×2,所以an=b,=3×2-1,所以ao=3x2”-1,C选项错误： 当项数为奇数时，41=2an=2b。=3×2”-2, S2=(4+g+a+…+a)+(a2+a+a6+…+a-2) =32°+2+22+…+2-）-2n+32°+2+22+…+2-）-(n-l) =号-2a+-=3-小aer- 1-2 =9×2-3n-5,D选项正确：故选：ABD. 12.5【分析】根据点A在直线上求出k的值，解方程1=3×1+a,2=1-2+b,即得解. 【详解】解：直线y=a+1与曲线y=x+ax+b相切于点4(1,2)， 则点A在直线上，k+1=2→k=1,又y=3x2+a,即1=3x1+a→a=-2, 又点A在曲线上，则2=1-2+b→b=3.故b-a=5.故答案为：5 13.4【分析】由题意可知，x=[x+)-,然后利用二项式定理进行展开，使之与 f(x)=a+a,1+x)+a2(1+x)}+41+x)3+a,(1+x)进行比较，可得结果 【详解】解：由题可知：fx)=x=[(x+1)-1 =C8x+1)°+C4(x+10'(-1)+Cx+1)(-)2+C(x+1(-13+C(-1), 而f(x)=a+a,(1+x)+a21+)}2+g1+x'+a,1+x)°， 则4=C×(-)=4,故答案为：4. 4(仔【分行】先利用累加法结合等比数列球和味出数列口}的通项公式，再将一元 次不等式因式分解，结合数列{a,}的奇偶项单调性，确定不等式对任意n∈N*恒成立时t的 取险题【详解根据意，8=46-46-4小6-小-叫得+ 即，=号”a2.当=1时，4=，符合上式 所以a=号对”，因为-(+a加+0<0，整理可得--小k0, 所以mi{a,an}<t<max{a,a,} 当为数时，%单调递减且%>号，最大值为4=1：当为偶数时品，单调递增且0，<号 最小做为=子名行·所以传行剖 15.解：(1)选①，因为只有第6项的二项式系数最大，则n=10,-3分 所以二项式系数最大的项为：了=C。(2x'(-l=-8064x.-6分 答案第4页，共8页 选②，因为第4项与第8项的二项式系数相等，则C=C?,解得n=10,-3分 所以二项式系数最大的项为：工，=C(2x)'(-1)°=-8064x.-6分 选③，因为所有二项式系数的和为2°，则2”=2，解得n=10,3分 所以二项式系数最大的项为：了=C(2x)'(-'=-8064x.-6分 (2)依题意，C+C=,l n! =(n-k+l):n4k.n! k:m-k)!k-10n-k+1)！k(n-k+10月 (n+0！ =Ca… =xa+0- 所以C+C++C2=Cg+C时+C+…+C昭-1=C+C号+C++C2-l =Cg+Cg+Cg++C-1==C%-l-285.-13分 16解：(1)f(x)=(x2-2x+2aje+(x2-2x+2ac)=(x2+2a-2e,-2分 因为f(x)在[2，]上单调递增，所以f"(x)=(x2+2a-2e20,xe[2,7]恒成立.-4分 即x2+2a-2≥0，x∈[2,7]恒成立. 所以2-2a≤x2,x∈[2,7]恒成立，所以2-2a≤4→a2-1--7分 (2)因为f(x)=(x2+2a-2e,由fx)>0→x2+2a-2>0. 若2a-2≥0即a≥1，则x2+2a-2≥0恒成立，所以f(x)在(-0，+o)上单调递增，无极值： --9分 若2a-2<0即a<1,由x2+2a-2≥0→x<2-2a或x>V2-2a, -10分 所以f)在(-o,2-2@和N2-2a,+o)上单调递增，在(-√2-2a,v2-2a上单调递减， 所以函数的极大值为：f(√2-2a=2+V2-2a7 极小值为f(2-2a=21-2-2ae-14分 综上可得：当a≥1时，f(x)在(-o,+o)上单调递增，无极值： 当a<1时，fx)在(-∞，-√2-2a和(2-2a,+∞)上单调递增，在(2-2a,V2-2a上单 调递减，函数的极大值为：f(-2-2@)=21+W2-2a)e 极小值为小2-2a)=21-2-2a]e -15分 17解：(1)由S=1og5(T）, 令n=1,得a=5=lg影（)=2g,6)=2o8写-2，即4=-2，一-2分 设等差数列{a,}的公差为d,由a=a+3d=4,解得d=2,-3分 所以a,=-2+2a-=2n-4,所以3-色*a_2+2n-2-3n,5分 2 2 所以o8(G)=-3,即Z.一6分 (2)存在，理由如下：由1)可得7=（W5。 所以当≥2政则z-何-矿…，可得会-阿产- 当n=1时，4-=号也满足上式，所以6，=3(eN).一3分 所烈子，若5+时2=，则=4 3-寸 32+ 答案第5页，共8页 此时子6-子9号满足：20=55：即6为，6的等花中项 所以存在n=4符合题意.一10分 (3)dn=2a,+7=2(2n-4)+7=4n-1, 影器g品ag写 24n-14n+3 烈远据品品“+司 1-1 -引)品品-s分 18解：【小问1详解】 当a=1时，f(x)=x2-3xhx,f)=1.f(x)=2x-3hx-3,f'(0=-1. 所以曲线y=f()在(，f()处的切线方程为y-1=-1(x-1),即x+y-2=0. 曲线y=f(x)在(1，f()处的切线方程为x+y-2=0一3分 【小问2详解】 因为a>0,x>0,令f)=a2x2-3 axlnx=0,得mr-3hx=0,即a=3nx 令8因-3x>0,所以问的学直个数等价于y=8问与y=a的图象交点的个 数又因为g因=3-=h,当0<x<e时.g>0:当x>e时，g<0, x2 所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 且80=0，有极大值也是最大值g⊙)=，如图 e 3 y=) y=a 由图可知，当a>子时，函数y=g)与y=a的图象无交点： 当a=3时，函数y=g()与y=a的图象有1个交点： 当0<a<2时，函数y=g)与y=a的图象有2个交点 e 综匙，a>是时。心的零点个数为0：a2时，e钊的平点个数为 0<a<2时，f)的零点个数为2一9分： 【小问3详解】 ①当x21时，f'(x)=2a2x-3a(tnx+l)=a(2ax-3x-3);-10分 令h()=2ar-3hx-3,h)=2a-3-2ar-3 答案第6页，共8页 因为≥L0>0,所以2m≥2a,而a>号即2am≥2a>32m-3>0,州>0， 所以h(x)在区间[，+∞)上单调递增，所以h(x)2h()=2a-3>0,即f'(x)>0, 所以f(钊在区同肌o)上单调道单，所以了2f刊=G>?>2sx-B分 ②当0<x<1时，令u(x)=x-sinx,t(x)=l-cosx>0,所以u(x)单调递增， 所以u(x)>u(O)=0,即x>sinx. 又因为f(x)-2x=a2x2-3 axinx-2x=x(a2x-3alnx-2), 令m(=ar-3anx-2,mrld=a2_3a_aar-】 当时，m<0.刻举调戏 当（很.因>0，茶a 当x=3时，m()的极小值为m 2 a 021,a>3,则n(目)-6a-2小3a咖子0，所a>0, 若子1，母子<a<3,则（在区同0上单福适流 所以m(x)>m()=a2-2>0.所以f(x)-2x>0,即f()>2x>2simx. 综上可得，f(凶>2six-17分 19.解：【小问1详解】当n=4时，等差数列为{L,2,3},{2,3,4}.所以A=2, 当n=5时，{包2,3}，{2,3,4{3,4,5{1,3,5}所以4=4 所以S4=6+9=15,S,=6+9+12+9=36.-4分 【小问2详解】对n的奇偶性进行分类讨论： 当n为偶数时，设n=2k(kEN):集合中共有k个奇数和k个偶数从中任取2个 同奇或2个同偶的数，方法数为： 4=C+G=2x---)将-号代入得 2 46-小a3到，分 4 当n为奇数时，设n=2k-1(k∈N）:集合中共有k个奇数和k-1个偶数从中任 取2个同奇或2个同偶的数，方法数为： Aca-4,-9号--t-y 2 将=空空嘉人-（供a少-分 竺安笛？而。而 [n(n-2 n为偶数 综上所述：A= 4 -10分 n-12 4 n为奇数. 【小问3详解】设所有满足条件的等差数列构成的集合为2，由第(2)问可知集合2中 共有A,个元素对于任意一个等差数列(a,b,c)eD,由于1≤a<b<c≤n, 且2b=a+c(设公差为d). 构造数列(n+1-c,n+1-b,n+1-a),显然有： 1≤n+1-c<n+1-b<n+1-a≤n 且(n+1-a）+(n+1-c)=2n+2-(a+c）=2n+2-2b=2(n+1-b) 即新数列也是公差为d的等差数列，故（n+1-c,n+1-b,n+1-a)∈2 原数列各项和为a+b+c,对称数列各项和为 (n+1-c)+(n+1-b)+(n+1-a=3(n+1)-(a+b+c). 将集合Ω中的等差数列按此对称性求和（对集合遍历两次），可得： 2S.=∑(a+b+c)+∑[3(n+1)-(a+b+cJ (a.b.e)en (a,b,e)en 2,=360+0=30a+04所以8=3+刊4 (a,b,c)en 2 n(n-2) 结合第(2)问的结论：当n为偶数时，4，=4 1.3n(n+1(n-2） ,则S, 8 当n为奇数时，4=a=少，则8-3n+a= 44 8- 3n(a+a=2,为民数 式在大布爱后刻家洞 S,= 3(n+1)(n-)2 n为奇数 综上所述： 8 .-17分32痘+8