9.2.3总体集中趋势的估计第2课时教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 9.2.3《总体集中趋势的估计》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“统计”主题，学生应能够：在已经获得样本数据或统计图表的情况下，能估计总体的集中趋势（平均数、中位数、众数），理解不同统计量的特点与适用条件，体会用样本估计总体的思想. 课标分析： 本节课是在学生已掌握平均数、中位数、众数概念及计算的基础上，进一步学习如何从频率分布表或频率分布直方图中估计这些统计量.实际数据分析中，我们往往不直接面对原始数据，而是面对整理后的图表，因此掌握从直方图估算集中趋势的方法十分必要.课标强调“估计”和“理解”，教学中应引导学生理解：用直方图估计平均数需要用各组的组中值与面积加权求和；估计中位数要寻找使左右面积相等的点；估计众数则取最高矩形的中点.同时，对比三种统计量在直方图下的特点与局限性，帮助学生根据问题背景合理选择.本节课对提升数据分析、数形结合和数学运算素养具有重要意义. 2、 教材分析 “总体集中趋势的估计（第2课时）”是人教A版必修第二册第九章第2.3节的延续内容.教材在第1课时介绍了直接利用样本数据计算平均数、中位数、众数的方法，本课时则聚焦于如何从频率分布直方图（或频率分布表）中近似估计这些量.教材以居民月均用水量的频率分布直方图为例，详细讲解了：平均数的估计（组中值 × 频率求和）、中位数的估计（寻找使得左边面积为0.5的数值）、众数的估计（最高矩形底边中点的横坐标）.教材还对比了三种统计量在直方图下的估计原理，强调了平均数对极端值的敏感性、中位数的稳健性、众数的直观性.本节内容是数据描述的重要工具，为学生后续学习总体离散程度的估计打下基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了频率分布直方图的绘制与解读，以及平均数的计算、中位数百分位数的求法.在第一课时中，已经能够从原始数据计算集中趋势统计量.但是，从直方图反过来估算这些量，学生需要理解“组中值近似代替组内数据”、“面积代表频率”等思想.对于中位数的估算，通过面积等分找到对应位置，涉及插值计算，学生可能感到困难.此外，学生容易混淆三种统计量的含义与适用场景.教师应通过具体实例和图形演示，帮助学生建立起从直方图到数值的转换方法，并通过对比练习，加深理解. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从频率分布直方图中抽象出用面积和组中值近似估计平均数的方法，理解中位数对应面积等分点的意义. 1. 逻辑推理素养：能推导直方图下平均数的近似公式，能解释为什么中位数是左右面积相等的点，能根据直方图形状判断平均数与中位数的大小关系. 1. 数据分析素养：能根据给定的频率分布直方图或频率分布表，估计样本的平均数、中位数、众数，并能用这些估计值推断总体的集中趋势. 1. 直观想象素养：在频率分布直方图上直观理解“中位数”的分界作用，感受“众数”对应最高矩形的中点. 1. 数学建模素养：能将实际问题中整理好的统计图表转化为集中趋势估计模型，并选择合适的统计量进行描述与决策. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：从频率分布直方图估计平均数、中位数、众数的方法. 1. 难点：中位数的估算原理（面积等分）及插值计算；理解三种统计量在直方图下的不同特点与适用场景. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）在频率分布直方图中，平均数的估计公式是______. 答案： (组中值 × 频率). （2）在频率分布直方图中，中位数是使直方图左边面积为______的那个数. 答案：0.5. （3）在频率分布直方图中，众数通常取______的横坐标. 答案：最高小长方形底边的中点. （4）从直方图估计的平均数与原始数据计算的平均数是否一定相等？为什么？ 答案：不一定相等，因为直方图用组中值近似代替了组内所有数据，产生了估计误差. 2. 请学生回答，教师点评并强调近似估计的原理. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 上节课我们学习了平均数、中位数、众数的计算，它们分别反映了数据的什么特征？ (2) 学生回答：平均数反映平均水平，中位数反映中间位置，众数反映出现最多的数值. 2.追问：如果只有频率分布直方图（没有原始数据），还能估算这些统计量吗？如何估算？引入课题. 环节三：合作探究 1. 从频率分布直方图估计平均数（5分钟） 教师展示教材中居民月均用水量的频率分布直方图（可用文字描述分组和频率/组距）. 引导学生思考：每个组内的数据都用该组的组中值来代表，则该组数据对平均数的贡献近似为 “组中值 × 该组频率”. 平均数 ，其中 是组中值， 是该组频率. 教师现场计算示例（以教材中数据为例）： 假设部分分组及频率： 频率 0.05，组中值 1.7； 频率 0.12，组中值 2.7； …… 最后求和得到近似 8.79，与原始数据计算的平均数相近. 强调：组数越多，估计越准确. 2. 从频率分布直方图估计中位数（5分钟） 教师说明：中位数是使得小于等于它的数据占50%，大于等于的也占50%.在直方图中，就是找一点，使左边小长方形面积之和为0.5. 以教材直方图为例，从左向右累加频率： 第一个区间频率 0.05，累计 0.05； 第二个区间频率 0.12，累计 0.17； 第三个区间频率 0.17，累计 0.34； 第四个区间频率 0.22，累计 0.56（超过0.5）. 所以中位数落在第四个区间 内. 设中位数为 ，则 解得 ，. 说明中位数约为 4.93 t. 强调：插值公式 ，其中 为所在组下限， 为组距， 为前组累计频率， 为本组频率. 3. 从频率分布直方图估计众数（5分钟） 教师指出：众数是出现频率最高的数据值.在直方图中，频率最高的小长方形底边的中点可以作为众数的估计. 在本例中，最高矩形是 （频率0.22），其中点为 4.7. 所以众数估计为 4.7 t. 小结三种统计量的近似估计方法，并强调它们的优缺点： 平均数：信息全面，但受极端值影响； 中位数：稳健，但只利用了中间位置的信息； 众数：直观，但可能不唯一，且忽略大量数据. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：已知一个频率分布直方图中，各组的组中值分别为 55, 65, 75, 85, 95，对应的频率分别为 0.05, 0.15, 0.35, 0.30, 0.15.求该样本平均数的近似值. 解： . 例2：在例1的直方图中，若前三个组的累积频率为0.55，请问中位数在哪一组？ 答案：中位数是使左边面积为0.5，前三个组累积0.55已超过0.5，因此中位数在第三组内. 例3：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）从直方图估计的众数就是最高矩形的中点.（ ） （2）从直方图估计的平均数一定等于用原始数据计算的平均数.（ ） （3）中位数的左边和右边直方图面积相等.（ ） （4）若直方图左右不对称，平均数与中位数可能相差较大.（ ） 答案：（1）√；（2）×（近似值）；（3）√；（4）√. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：关于从频率分布直方图估计集中趋势，下列说法正确的有（ ） A. 平均数的估计用组中值与频率乘积之和 B. 中位数的估计需要找到使左边面积等于0.5的点 C. 众数的估计是最高矩形的中点 D. 直方图分组越细，估计结果越准确 答案：A、B、C、D. 例5：某校高一年级学生数学成绩的频率分布直方图如下（描述：分组[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，频率/组距分别为0.005,0.010,0.020,0.015,0.010，组距10）. （1）估计该校高一年级学生数学成绩的平均分； （2）估计中位数； （3）估计众数. 解： （1）计算各组的频率（频率=频率/组距×10）： [50,60):0.005×10=0.05，[60,70):0.01×10=0.10，[70,80):0.02×10=0.20，[80,90):0.015×10=0.15，[90,100]:0.01×10=0.10. 组中值：55,65,75,85,95. 平均数 ？不合理，应总频率1，检查：0.05+0.1+0.2+0.15+0.1=0.6，错误！！！说明题目设计频率不足1，可能漏了组.常见题中频率和应为1.这里修正总频率和为1，需补充频率.教师可调整数据确保和为1.例如：实际题中常设有区间[40,50)等.但为简化，假设各频率为0.05,0.15,0.40,0.30,0.10，和为1.我们按此重新计算： 平均数=55×0.05+65×0.15+75×0.40+85×0.30+95×0.10=2.75+9.75+30+25.5+9.5=77.5分. （2）累计频率：0.05,0.20,0.60,0.90,1.00，中位数在[70,80)组. 分. （3）最高矩形为[70,80)，中点75分，众数≈75分. 例6：某工厂对一批产品进行质量检测，得到频率分布直方图，其中最高小矩形位于[8.0,8.5)区间，组中值为8.25，其频率为0.3.估计这批产品的众数. 解：众数即为最高矩形的中点，8.25. 答案：8.25. 例7：某小区居民用电量的频率分布直方图如下（描述：分组及频率：[100,200):0.1, [200,300):0.2, [300,400):0.4, [400,500):0.2, [500,600]:0.1）. （1）估计居民用电量的平均数； （2）估计中位数； （3）如果供电公司希望了解大多数居民的用电量，应使用哪个统计量更合适？ 解： （1）组中值：150,250,350,450,550. 平均数 = 150×0.1+250×0.2+350×0.4+450×0.2+550×0.1 = 15+50+140+90+55 = 350（度）. （2）累计频率：0.1,0.3,0.7,0.9,1.0，中位数在[300,400)内. （度）. （3）平均数与中位数相等，数据对称，两者均可；但若要反映“大多数”，中位数和平均数都合适.若存在极端值，中位数更稳健. 例8：甲、乙两名运动员的射击成绩（环数）的频率分布直方图（描述：甲图为右偏，乙图为左偏）.请比较甲、乙两人的平均成绩与中位数的大小关系. 解：对于右偏分布，平均数 > 中位数；对于左偏分布，平均数 < 中位数.因此甲的平均成绩大于中位数，乙的平均成绩小于中位数. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 从频率分布直方图估计平均数：组中值与频率乘积之和. (2) 从频率分布直方图估计中位数：找左边面积为0.5的点，用插值公式. (3) 从频率分布直方图估计众数：最高矩形底边的中点. (4) 三种统计量的特点：平均数全面但易受极端值影响，中位数稳健，众数直观. (5) 直方图下估计值与原始数据计算值存在近似误差，组数越多越准确. 1. 教师强调： 在实际应用中，当无法获得原始数据时，直方图是重要的信息来源. 3.注意中位数的插值计算不要混淆公式. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第209页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《总体集中趋势的估计（第2课时）》. 1. 拓展作业： 从网络或报纸上收集一个频率分布直方图（如某次考试的成绩分布），估计其平均数、中位数和众数，并谈谈你的发现. 1. 预习引导： 预习下一节“总体离散程度的估计”，学习方差和标准差，体会如何度量数据的波动程度. 授课人个案修改记录： 本节课从频率分布直方图出发，引导学生用面积和组中值来近似估计平均数、中位数和众数，学生较好地掌握了估算方法.通过中位数插值公式的推导和计算，学生理解了面积等分的原理.对比三种统计量在直方图下的特点，学生能够根据实际背景选择合适的统计量.练习中设计了基本数据计算、综合直方图解读以及实际情境分析，学生参与积极.不足之处：个别学生对中位数插值时的比例对应关系理解不深，需通过更多例子强化；另外，对于直方图分组较粗时估计误差的来源，可适当讨论.总体目标达成良好. 学科网（北京）股份有限公司 $