9.2.3总体集中趋势的估计第1课时教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 9.2.3《总体集中趋势的估计》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“统计”主题，学生应能够：结合具体情境，理解平均数、中位数、众数的统计含义，掌握它们的计算方法，并能用样本估计总体的集中趋势，体会用样本估计总体的思想. 课标分析： 本节课是统计描述的重要环节，在学生已经掌握频率分布直方图、百分位数的基础上，进一步学习用平均数、中位数、众数刻画数据的集中趋势.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应从实际情境（如公司薪酬、校服规格选择）出发，辨析三个统计量的特点与适用条件，特别是平均数易受极端值影响、中位数稳健、众数适用于分类数据等.重点在于三种统计量的计算及其在频率分布直方图中的估算方法，难点是根据数据分布形态合理选择集中趋势统计量.本节课对培养数据分析、数学抽象和数学运算素养具有重要意义. 2、 教材分析 “总体集中趋势的估计”是人教A版必修第二册第九章第2.3节内容.教材以居民月均用水量数据和校服规格选择为例，介绍了平均数、中位数、众数的概念和计算方法.教材强调：平均数反映数据的平均水平，中位数反映数据的中间位置，众数反映数据的出现频率.通过对比对称分布和偏态分布，分析平均数与中位数的大小关系，帮助学生理解数据分布的“尾巴”方向.最后，教材引导学生根据数据类型（数值型或分类型）选择恰当的统计量.本节内容是统计描述的核心，也是后续学习方差、标准差等离散程度指标的基础. 3、 学情分析 学生在初中已经学过平均数、中位数、众数的简单计算，能对一组小样本数据求平均值、找中位数和众数.但是，他们对这三个统计量的统计意义理解不深，容易混淆适用场景.例如，对于偏态数据，平均数可能被极端值拉向一侧，而中位数更稳定；对于分类数据，众数比平均数更有意义.此外，从频率分布直方图中估算平均数、中位数、众数的方法（组中值加权平均、面积等分点、最高矩形中点）对学生来说是新的.教师应通过实例对比和直方图练习，帮助学生建立正确的统计观念. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体数据中抽象出平均数、中位数、众数的概念，理解它们从不同角度刻画数据的集中趋势. 1. 逻辑推理素养：能根据数据分布形态（对称、左偏、右偏）推断平均数与中位数的大小关系，能解释极端值对平均数的影响. 1. 数据分析素养：能计算一组数据的平均数、中位数、众数，能从频率分布直方图中估算这三个统计量，能根据实际问题选择恰当的集中趋势统计量. 1. 数学运算素养：能熟练进行加权平均数的计算，能在排序中准确找出中位数位置，能识别众数. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如薪酬争议、校服规格选择）转化为集中趋势估计模型，并利用统计量做出合理决策. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：平均数、中位数、众数的计算及其统计意义；从频率分布直方图中估算平均数、中位数、众数的方法. 1. 难点：理解平均数对极端值的敏感性；根据直方图形态判断平均数与中位数的大小关系；合理选择集中趋势统计量解决实际问题. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）一组数据中出现次数最多的数叫做______. 答案：众数. （2）将一组数据按从小到大排列，处在最中间的一个数（或中间两个数的平均数）叫做______. 答案：中位数. （3）样本平均数 ______. 答案：. （4）对于右偏（右边拖尾）的分布，平均数______中位数（填“>”、“<”或“=”）. 答案：>. 2. 请学生回答，教师点评并强调平均数易受极端值影响. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 在初中我们学过哪些用来表示数据“集中趋势”的统计量？ (2) 学生回答：平均数、中位数、众数. (3) 追问：请举例说明它们分别反映数据的什么特征？ 2.学生举例后，教师引入课题：如何用样本的集中趋势估计总体的集中趋势. 环节三：合作探究 1. 平均数、中位数、众数的计算与意义（5分钟） 教师以教材中100户居民月均用水量数据（共100个数据）为例，带领学生计算样本平均数. 计算过程：所有数据之和除以100，结果为8.79 t. 然后说明总体平均数通常未知，用样本平均数估计. 中位数：排序后，第50和第51个数据的平均数. 排序后的第50个数据为6.8 t，第51个为7.0 t，中位数 = (6.8+7.0)/2 = 6.9 t. 追问：平均数8.79 t大于中位数6.9 t，说明什么？ 学生回答：数据中有较大的极端值，将平均数拉高. 众数：出现次数最多的数.观察数据，发现5.1、5.5等出现多次，其中5.5出现次数较多（具体可查频数），约为5.5 t. 强调：众数可能不唯一，也可能不存在. 2. 频率分布直方图中估算三个统计量（5分钟） 教师以教材中用水量的频率分布直方图为例（分组、组距、频率/组距），讲解： 平均数：每个小长方形取组中值，乘以该组频率，再求和. 中位数：累积频率达到0.5时所在的组，用插值公式. 众数：最高小长方形（频率最高组）的组中值. 示例：假设直方图中最高组为[4.2,5.2)，组中值4.7，则众数≈4.7 t. 中位数：累积频率到某组达0.5，估算约6.0 t左右. 3. 平均数与中位数的大小关系与分布形态（5分钟） 教师画三种分布草图（口头描述）： （1）对称分布：平均数 ≈ 中位数； （2）右偏分布（右边拖长尾）：平均数 > 中位数； （3）左偏分布（左边拖长尾）：平均数 < 中位数. 解释：极端值拉向哪一侧，平均数就偏向哪一侧. 学生讨论：公司说员工平均年薪11.5万元，但可能大多数员工低于这个数，为什么？ 答：因为可能有少数高管年薪极高，拉高了平均数. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）一组数据中，中位数就是中间的那个数.（ ） （2）众数反映了一组数据中出现频率最高的数值.（ ） （3）平均数比中位数更能反映数据的集中趋势.（ ） （4）若一组数据的中位数大于平均数，则数据可能存在较小的极端值.（ ） 答案：（1）×（当数据个数为偶数时，是中间两个的平均数）；（2）√；（3）×（不一定，各有优劣）；（4）√（左偏时平均数小于中位数）. 例2：某班8名同学的数学成绩分别为：65, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85. （1）求这组数据的平均数、中位数、众数. （2）若增加一个成绩为100分的同学，平均数和中位数会如何变化？ 解： （1）平均数 = (65+70+72+75+78+80+82+85)/8 = 607/8 = 75.875分； 中位数 = (75+78)/2 = 76.5分；没有重复数据，无众数. （2）新增100分后，平均数升高（新平均≈(607+100)/9≈78.56分）；中位数变为第5个数78分（原第4、5为75、78，新排序后第5为78），中位数增加（76.5→78）. 例3：某校高一年级女生校服规格频数分布如下：150（5人）、155（12人）、160（20人）、165（30人）、170（18人）、175（10人）. （1）求众数； （2）应选择哪个规格作为代表比较合适？ 解： （1）频数最高为30，对应规格165，所以众数为165. （2）校服规格属于分类型数据（尽管用数字表示），最适合用众数代表，因此选165作为统一规格较合适. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列关于平均数、中位数、众数的说法，正确的有（ ） A. 平均数反映了数据的平均水平 B. 中位数不受极端值的影响 C. 众数可能不唯一 D. 对于分类型数据，众数比平均数更有意义 答案：A、B、C、D（全部正确）. 例5：某工厂随机抽取10个零件，测量其直径（单位：mm）：15.2, 15.3, 15.1, 15.4, 15.3, 15.2, 15.2, 15.5, 15.3, 15.2. （1）求这组数据的众数和中位数； （2）若又测得一个零件直径为15.9 mm，则新数据的中位数是否会改变？ 解： （1）排序：15.1, 15.2, 15.2, 15.2, 15.2, 15.3, 15.3, 15.3, 15.4, 15.5. 众数 = 15.2（出现4次）；中位数 = 第5和第6个的平均 = (15.2+15.3)/2 = 15.25. （2）增加15.9后，新排序中第6个数为15.3，中位数 = (15.2+15.3)/2 = 15.25，不变（因为插入值大于原中位数，原中间位置仍可能不变）.实际需具体排序：新数列共11个，中位数为第6个数，原前5个为15.1,15.2,15.2,15.2,15.2，第6是15.3，第7-11为15.3,15.3,15.4,15.5,15.9，中位数15.3，比原来的15.25大，所以改变了.纠正：原来中位数=(15.2+15.3)/2=15.25，新增后排序第6是15.3，中位数=15.3，改变了.教师可更正原设计，让学生体会小样本下新增数据可能改变中位数.这里强调：一般地，增加新的数据，中位数可能变也可能不变. 答案：会改变（从15.25变为15.3）. 例6：某校100名学生的一次数学测试成绩的频率分布直方图如下（描述：分组[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，频率/组距分别为0.005,0.015,0.030,0.025,0.010）. （1）估计该次测试的平均分； （2）估计中位数和众数. 解： （1）组中值分别为55,65,75,85,95，频率 = 频率/组距 × 组距（组距10）： [50,60): 0.005×10=0.05，[60,70):0.015×10=0.15，[70,80):0.30，[80,90):0.25，[90,100]:0.10. 平均分 = 55×0.05 + 65×0.15 + 75×0.30 + 85×0.25 + 95×0.10 = 2.75 + 9.75 + 22.5 + 21.25 + 9.5 = 65.75分. （2）众数在最高组[70,80)的组中值75分. 中位数：累积频率到[70,80)前为0.05+0.15=0.20，到[70,80)后为0.50，所以中位数在[70,80)内. 设中位数为 ，则 分？计算：(0.5-0.2)/0.3=1，所以 m=80分.实际上80分正好是上界，但区间是[70,80)，通常80分落在下一组[80,90).这里取80分可行.为精确，更规范做法：取70 + 10*(0.5-0.2)/0.3≈80，说明中位数接近80分. 例7：某校5名教师和20名学生的年收入（万元）如下：教师：12, 12, 12, 12, 12；学生：0.5, 0.6, 0.6, 0.7, 0.7, 0.8, 0.8, 0.8, 0.9, 0.9, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.1, 1.1, 1.2, 1.2, 1.3, 1.5. （1）计算全体人员的平均年收入和中位数； （2）哪个统计量更能反映大多数人的收入水平？请说明理由. 解： （1）全体人数25人，总收入 = 12×5 + (0.5+0.6+0.6+0.7+0.7+0.8+0.8+0.8+0.9+0.9+1.0+1.0+1.0+1.0+1.1+1.1+1.2+1.2+1.3+1.5) = 60 + 19.7 = 79.7万元，平均 ≈ 3.188万元. 排序后第13个数据（中位数）为1.0万元（前12个数据中最大值1.0，第13个还是1.0）. （2）中位数1.0万元更合理，因为少数教师的高收入拉高了平均数，大多数学生收入在1万元左右，中位数更能反映“普通水平”. 例8：某公司对外宣称“员工年平均收入为20万元”.一名面试者调查后发现，该公司只有经理一人年收入200万元，其余9名员工年收入均为5万元. （1）计算该公司员工的实际平均年收入； （2）这个平均收入能否代表普通员工的收入水平？应选用哪个统计量更合适？ 解： （1）平均收入 = (200 + 5×9) / 10 = (200+45)/10 = 24.5万元. （2）24.5万元远大于普通员工的5万元，受极端值（经理收入）影响很大，不能代表普通员工.应选用中位数（5万元）更能反映一般水平. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 平均数、中位数、众数的定义和计算方法. (2) 平均数对极端值敏感，中位数稳健，众数适用于分类数据. (3) 对称分布时平均数≈中位数；右偏时平均数>中位数；左偏时平均数<中位数. (4) 从频率分布直方图中估算三个统计量的方法（组中值加权、面积等分点、最高点）. (5) 实际应用中应根据数据类型和研究目的选择合适的统计量. 1. 教师强调： 用样本估计总体时，样本量越大，估计越可靠. 3.警惕平均数被“平均”误导（如薪酬宣传）. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第207页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《总体集中趋势的估计（第1课时）》. 1. 拓展作业： 收集班级同学的身高数据（至少20个），计算平均数、中位数、众数，并画出频率分布直方图，估算这三个统计量，比较与直接计算的差异. 1. 预习引导： 预习下一节“总体集中趋势的估计（第2课时）”，学习方差和标准差，思考如何刻画数据的离散程度. 授课人个案修改记录： 本节课通过具体实例和对比分析，学生较好地掌握了平均数、中位数、众数的计算和统计意义.特别是通过薪酬陷阱的案例，学生深刻理解了平均数受极端值影响的缺陷，以及选择中位数的合理性.在直方图估算环节，学生能运用组中值和频率计算平均数，用累积频率找中位数.不足之处：部分学生对于偏态分布中平均数与中位数大小关系的记忆仍不牢固，需要结合更多图形强化；另外，从直方图估算中位数时的插值计算，个别学生容易出错，可在后续练习中加强.整体上，本节课有效地达成了教学目标，为后续学习离散程度指标打下基础. 学科网（北京）股份有限公司 $