第9章二次根式综合专练 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第9章二次根式综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 2．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由可知，选项中的四个式子中是最简二次根式． 3．下列式子中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，A错误； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，B错误； C、，化简后为整数，不是二次根式，C错误； D、，最简后被开方数为，与被开方数相同，D正确． 4．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 5．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的大小，即可得到结果． 【详解】先对原式化简： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 不等式同乘正数得 ， ∴ 原式的值在和之间． 6．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 7．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 8．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和绝对值的性质，利用二次根式性质将原式化简为绝对值形式，再根据绝对值性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解不等式得 ． 9．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 10．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．化简二次根式______． 【答案】 【分析】先得出，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴． 12．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】先求出的值，再代入，最后化成最简二次根式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 13．已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 14．计算：的结果为___________． 【答案】/ 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．比较大小：（1）________    （2）________ 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 16．已知，则=______． 【答案】 【分析】根据，可知a、b均为负数，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b均为负数， ∴ ． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）先化简二次根式，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 18．计算： (1)， (2)． 【答案】(1) 4 (2) 【分析】（1）化简二次根式，计算绝对值及乘法，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，除法化为乘法，再计算乘法 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．如图，已知实数的位置，化简． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，解题的关键是掌握绝对值性质和二次根式的性质． 由数轴知，进而可判断及的符号，从而可对绝对值及二次根式进行化简，最后可求得化简后的结果． 【详解】解：由数轴可知， ，， ∴原式． 20．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 21．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ， ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： (1)计算：_____； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子与分母同乘以，即可求解； （2）将每个二次根式分别分母有理化，然后再计算二次根式的加减即可； （3）根据乐乐的解题方法，逐步求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ． 22．先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【分析】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 【详解】解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 23．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 24．综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)或 【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案． （2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章二次根式综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 5．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 7．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 8．若，则（　　） A． B． C． D． 9．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 10．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．化简二次根式______． 12．已知，，则的值为______． 13．已知，，则与的关系为________． 14．计算：的结果为___________． 15．比较大小：（1）________    （2）________ 16．已知，则=______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)， (2)． 19．如图，已知实数的位置，化简． 20．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 21．在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ， ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： (1)计算：_____； (2)化简：； (3)若，求的值． 22．先化简，再求值：，其中、满足． 23．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 24．综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $