9.2二次根式的乘除（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.2二次根式的乘除 A 基础达标题 题型一最简二次根式的判断 1.【答案】c 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】②⑤ 题型二二次根式的化简 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】A 4【答案】岩 5.【答案】6-25 6.【答案】-√-m 7.【详解】(1)解：√100×49 =√100x√49 =10×7 =70: (2)解：：m≥0，n20, √mn3=√m*n2·mn=m2n√mn. .ABC是直角三角形，∠ABC=90 (3)解：√45=√9x5=√5x5=3V5; (4)解： 语8焉 5解瓜5层是号 题型三二次根式的乘法 1.【答案】A 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.【答案】D 3.【答案】D 4【】a解：店-5-历-6-原5=65： 5 (2)解：6√2xV6=6×号xV2x6=2×V4x3=2×√22×3=2×23=4W5. 3 (3)解：原式=√24×6 =V144 =12. (4)解：原式=15x√2×8 =15×4 =60. 题型四二次根式的除法 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】12√5 5.【答案】√2 6.【答案】x> √5 2 7.【详解】(1)解：27。 27=9=3: 3V (2)解：√20÷√4=√20÷4=V5; (3)解： 4.14,14、 V3V95gV3x9=25. 题型五二次根式的乘除混合运算 1【答案】号 2.【答案】-3xy2 3.【详解】(1)解：：AD是△ABC的高，BC=2V5,AD=3V3, 64BC的面积5=×BC×4D-分25x35=3i: (2)解：：△ABC是等腰三角形，AD⊥BC, 2/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :D是BC的中点，DC=BC=5, 在R1aADC中，由勾股定理得AC=√AD2+DC2=V332+(5)}=4N2, 又：BE是AABC的高，面积S=×AC×BE, 2 35-)×42×BE,解得BE=2x3_330 4v2 4 4【详解】解：历55冒 555眉 52 √25 =1; 2)解： 3 ×2V2÷2v6 3 3 9 2√6.9 =3×26 =3; 3》解：46a÷3 a a 2av3a =4av6a÷√5ax3 3 =4ax 2aa 3 8v6a2 3 B 能力提升题 题型一根据二次根式乘除法公式，求字母的取值范围 1.【答案】A 2.【答案】C 题型二根据二次根式的情况，求字母的值 1.【答案】B 2.【答案】D 3/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.【答案】② 4.【答案】5 5.【答案】0或1 6.【答案】①2，②-2 题型三实数的混合运算 1.(25-26八年级上山东济宁期末)计算：(-2)2--3+2×V8+(6°. 【详解】解：(-2)2--3+√2xV8+(-6)° =4-3+4+1 =6。 题型四网格问题 1.(23-24八年级下.北京期中)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. (1)则AB=,BC=一’AC=—: (2)求证：∠ABC=90°. 【详解】(1)解：依题意，AB=V22+4=25,BC=VP+22=√5，AC=V32+4=5 (2)解：：AB2=20,BC2=5,AC2=25 .AB2+BC2=AC2, 2.【答案】145 题型五新定义、新运算问题 1.【答案】4 2.【详解】 (1)解：①将三边√5、3、√6按从小到大排列为√5，√6,3. √3：√：3=1：√2：√5（两边同除以√5），符合“阶梯根式三角形”的定义，故①是阶梯根式三角形： ②的=边5誓化商为点、四、5，接从小到大排列为5西， 5、5、5 55 5 5 5 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5:0:压-50：5=1：5：5，符合定义，故②是阶梯根式三角形： 555 (2)解：是直角三角形.理由如下： 设阶梯根式三角形"的三边为k,k√2，kV5(k>0)。 :k2+(k√2)2=k2+2k2=3k2,且(k5)2=3k2, ·k2+(k√2)2=(k√3)2，满足勾股定理的逆定理， :“阶梯根式三角形”是直角三角形； 题型六现学现用问题 1.【详解】 解：(1)①4+2万=3+23+1='+2x5x1+2=5+=5+1, ②i6-2店-i5-215+1=-2xx1+1-i-=-1: (2):Va+45=m+5n, a+4=(m+5n, a+4V5=m2+2V5mn+5n2, a=m2+5n2 ，即a=m2+5n2 4=2mn 2=mn :a,m,n为正整数， m=1 (n2或 m=2 n=1, .a=1+5×4=21或a=4+5x1=9, 综上，a=21或a=9; (3):Rt△ABC中∠C=90°，AB=4-√5，AC=√5， :.根据勾股定理：BC=√AB2-AC2, 4--(5, =V16-85, =V12-85+4, 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =V2列-2x2W5x2+2, =V25°-2x25x2+2, =V25-2, =25-2. 2.【详解】 解：（①） ① 5眉=警-0；②-7V厚=---21；® aV-=-V厚=-√a(a<0 -质-=-- C 拓展培优题 题型一 1.【答案】D 2.【详解】(1)解：①根据表格数据猜想n=√2， 故答案为：√2； ab ②由题意：ba, 2 .a2=2b2, “名5（负值舍去） 故答案为：√2； (2)解：如图，延长PE、BC交于点G, D B G C :四边形ABCD是矩形， ·AB=CD=2,∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC,AD=BC, :折叠， 6/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠PEB=∠PAB=90°，AB=BE=2,∠APB=∠EPB, PE⊥BE, :BE⊥AC,BE⊥PE, PG∥AC, :AD∥BC,PG∥AC, :四边形APGC是平行四边形， .PG=AC,AP=CG, =n-, AB :AD=BC=22, :在Rt△ABC中， 根据勾股定理：AC=√AB2+BC2=V22+(2V2)2=2V5, .PG=25, .AD∥BC, ∠APB=LGBP, .∠GBP=∠EPB, :GP=GB=23, ∴AP=CG=BG-BC=2√5-22. 7/7 9.2二次根式的乘除 题型一 最简二次根式的判断    1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 题型二 二次根式的化简 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）若，，则的值用，可以表示为___． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 6．（24-25九年级上·四川南充·开学考试）化简的结果为______． 7．化简： (1)； (2) (3) (4) (5) 题型三 二次根式的乘法 1．（25-26八年级上·河北唐山·期末）长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 2．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）估算的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2) (3)． (4)． 题型四 二次根式的除法 1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）请写出一个实数，该数除以所得的商为整数：________． 6．（25-26八年级下·全国·单元测试）不等式的解集是___________． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 题型五 二次根式的乘除混合运算 1．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为__________． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型一   根据二次根式乘除法公式，求字母的取值范围 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 题型二   根据二次根式的情况，求字母的值 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 2．（23-24八年级下·河南南阳·月考）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 4．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数______． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 题型三 实数的混合运算 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算：． 题型四 网格问题 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________． 题型五 新定义、新运算问题 1.（25-26八年级下·全国·单元测试）定义一种新运算：，规定，试求． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 题型六 现学现用问题 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 2.请观察式子，成立吗？仿照上面的方法解决问题：  化简：  ①；②；③  把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是 ______ . 题型一  1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等． A系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对半裁得到，…，以此类推得到，如图1所示． [初步研究]查阅资料知纸张的规格如下： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 m (1)①请计算纸的长宽比m，通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比值接近一个无理数n．请你猜想这个数是 ； ②若纸的长为a，宽为b，求证 ． (2)如图2所示，在（1）的条件下矩形，，点P是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2二次根式的乘除 题型一 最简二次根式的判断    1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意． B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意． C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 题型二 二次根式的化简 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将化简，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术平方根的非负性． 【详解】解：； 故选：A． 3．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简即可． 【详解】解：． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）若，，则的值用，可以表示为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，，而，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川南充·开学考试）化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移到根号内，进而化简式子. 【详解】解：由二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，得， ∴ ∴原式. 7．化简： (1)； (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)70 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴． ∴是直角三角形， （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型三 二次根式的乘法 1．（25-26八年级上·河北唐山·期末）长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）估算的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数的估算，将原式简化为，通过估算的范围，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用和二次根式，利用平方差公式将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】∵， 又∵，， ∴． 故选：D 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】（1）解：； （2） 解：． （3） 解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型四 二次根式的除法 1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据二次根式除法法则：计算即可． 【详解】解：． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法运算及有理数的定义，将各选项与相除，判断结果是否为有理数． 【详解】解：A选项：，结果是无理数； B选项：，结果是无理数； C选项：，结果是无理数； D选项：，是有理数． 故选：D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的除法运算及二次根式有意义的条件，需根据二次根式除法法则（，）及相关性质逐一判断各选项，即可解题． 【详解】解：A选项：，故A错误，不符合题意； B选项：，故B正确，符合题意； C选项：，故C错误，不符合题意； D选项：二次根式中被开方数不能为负数，与无意义，推导过程错误，故D错误，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·周测）若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 【详解】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）请写出一个实数，该数除以所得的商为整数：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 求一个实数，使得该数与的商是整数，根据二次根式的除法法则即可求得答案． 【详解】解：，为整数，满足条件， ∴与的商是整数的实数可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26八年级下·全国·单元测试）不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的一元一次不等式的求解，关键是掌握一元一次不等式的基本解法以及二次根式的化简方法．先通过移项将常数项移到不等式右侧，再将的系数化为1，最后对含二次根式的分式进行化简得到解集． 【详解】解：不等式，移项得， ∴两边同时除以，得， 故； 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型五 二次根式的乘除混合运算 1．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质以及勾股定理，关键是结合等腰三角形的性质确定线段长度，再通过面积的不同表示方法求解． （1）运用三角形面积公式，以为底边、为对应高，代入已知的边长和高的数值，通过二次根式的乘法运算即可求出三角形的面积； （2）结合等腰三角形“三线合一”的性质，先确定是的中点，从而得到的长度，再在直角三角形中，用勾股定理算出腰的长度；之后利用三角形面积相等建立方程，解出的长度． 【详解】（1）解：∵是的高，，， ∴的面积； （2）解：∵是等腰三角形，， ∴是的中点，， 在中，由勾股定理得， 又∵是的高，面积， ∴，解得． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型一   根据二次根式乘除法公式，求字母的取值范围 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式中的被开方数是非负数， ∴ 解得： 当 时，左边 右边 ∴ 等式成立的条件是 ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式除法法则的成立条件，二次根式有意义的条件，需根据被开方数的非负性及分母不为0确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵等式成立 ∴根据二次根式除法法则的成立条件，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴x的取值范围是， 结合选项，只有1在此范围内， 故选：C． 题型二   根据二次根式的情况，求字母的值 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 2．（23-24八年级下·河南南阳·月考）若的值是一个整数，则正整数的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据已知条件即可确定正整数a的最小值． 【详解】解：是一个整数， 是一个整数， 正整数的最小值为， 故选D． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数______． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 题型三 实数的混合运算 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的乘法． 先计算乘方、绝对值、二次根式的乘法、零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 题型四 网格问题 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 【答案】(1)；； (2)见解析 【详解】（1）解：依题意，，， （2）解：∵ ∴， 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，作， 由勾股定理得， ∵， ， 解得：． 故答案为：． 题型五 新定义、新运算问题 1.（25-26八年级下·全国·单元测试）定义一种新运算：，规定，试求． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次根式的乘法以及新定义运算． 根据题意得到，进而计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 【答案】(1)①和②都是“阶梯根式三角形” (2)是直角三角形，理由见详解 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理的逆定理等知识，关键是紧扣“阶梯根式三角形”的定义，通过化简变形验证三边比例；利用勾股定理的逆定理，通过设参数表达式验证三角形是否为直角三角形． （1）①先将三边、、按从小到大排序，再将三边同时除以最小边，化简比例后验证是否符合的定义． ②先对三边化简为最简二次根式，再化简比例，验证是否符合“阶梯根式三角形”的定义． （2）根据定义设三边为、、，分别计算三边的平方，验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，从而利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形． 【详解】（1）解：①将三边、、按从小到大排列为，，． (两边同除以)，符合“阶梯根式三角形”的定义，故①是阶梯根式三角形； ②将三边、、化简为、、，按从小到大排列为，，． ，符合定义，故②是阶梯根式三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： 设“阶梯根式三角形”的三边为，，． ，且， ，满足勾股定理的逆定理， “阶梯根式三角形”是直角三角形； 题型六 现学现用问题 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 【答案】（1）①；②； （2）或； （3）． 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理、完全平方公式等，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． （1）①将拆成，构造完全平方式即可求解；②将拆成，构造完全平方式即可求解； （2）将式子两边平方，根据等式的性质，推出，，的方程组，求解即可； （3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可． 【详解】解：（1）①， ②； （2）∵， ∴， ， ∴，即， ∵，，为正整数， ∴或， ∴或， ∴综上，或； （3）∵中，，， ∴根据勾股定理：， ， ， ， ， ， ， ． 2.请观察式子，成立吗？仿照上面的方法解决问题：  化简：  ①；②；③  把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是 ______ . 【答案】 ; 【解析】解：①；②；③    故答案为：  根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内即可．  此题主要考查了二次根式的性质与化简等知识点，当时，，注意：①是一个非负数，②平方后移入根号内，③与根号内的被开方数相乘． 题型一  1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，二次根式的除法运算等知识点． 先证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理得到，即可判断①；设，则由等边三角形可知，则，则，然后由得到，再由三角形面积公式求解，即可判断②． 【详解】解：∵等边三角形，点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确； 设， 则由等边三角形可知， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等． A系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对半裁得到，…，以此类推得到，如图1所示． [初步研究]查阅资料知纸张的规格如下： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 m (1)①请计算纸的长宽比m，通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比值接近一个无理数n．请你猜想这个数是 ； ②若纸的长为a，宽为b，求证 ． (2)如图2所示，在（1）的条件下矩形，，点P是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠，平行四边形的判定和性质，勾股定理，二次根式的乘法运算等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）①根据表格数据猜想；②根据对折后的小矩形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可； （2）延长、交于点，证明，，即可解决问题； 【详解】（1）解：①根据表格数据猜想， 故答案为：； ②由题意：， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：； （2）解：如图，延长、交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中， 根据勾股定理：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $