微专题 解二元一次方程组计算题（48题）期中复习专项训练2025-2026学年七年级数学下学期（苏科版）

微专题角 解二元一次方程组 题型1用代入法角 解题步骤： ·变形：选 形成\(x=ay+b · 代入：将 求解：解 回代：把 。 写解：写 1.解二元一次方 =-2 【答案】 y=5 军二元一次方程组计算题(48题)（专项训练） 题型1用代入法解二元一次方程组 题型2用加减法解二元一次方程组 题型3用指定的方法解二元一次方程组 题型4用适当的方法解二元一次方程组 题型5用整体代入法解二元一次方程组 题型6用换元法解二元一次方程组 二元一次方程组 系数简单的方程，把一个未知数用含另一个未知数的代数式表示（变 或(y=ax+b)形式)。 变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 一元一次方程，求出一个未知数的值。 求出的值代回变形式，求另一个未知数的值。 出方程组的解。 y=3-x 呈组： 3x+2y=4. 试卷第1页，共3页 [y=3-x① 【详解】解：3x+2y=4② 把①代入②得3r+23-到=4 解得x=-2 把x=-2代入0得)=3-(-2)=5 [x=-2 ∴.原方程组的解为y=5 f2x-3y=9 2.解方程组： y=2x-3. x=0 【答案】y=-3 【分析】采用代入消元法求解，将第二个方程的y=2x-3代入第 为一元一次方程求解。 2x-3y=9① 【详解】解：y=2x-3②， x-3(2x-3)=9 把②代入①，得 解得x=0, 把x=0代入②，得y=-3, x=0 ∴.方程组的解为y=-3. x-y=3 3.解方程组： 3x-8y=14. x=2 【答案】y=-1 【分析】利用代入消元法解方程组即可. 试卷第2页，共3页 个方程，消去y,转化 x-y=3① 【详解】解： 3x-8y=14②， 由①，得x=y+3③， 把③代入②，得3(y+3)-8=14 解得：y=-1, 把y=-1代入③，得x=-1+3=2, x=2 :方程组的解为y=-1. 4.用代入法解下列方程组： 3x+4y=16① (1)5.x-8y=34② [3x-2y=5① (2)2x-3y=6② x=6 【答案】（①）y=2 3 x (2) y=- 16-4y 【详解】(1)解：由①得x= 3③， 把③代入2.得5x16”-8y=34， 3 解得y= 2 将y=一2代入③，得x=6, x=6 所以这个方程组的解是 y=-2 试卷第3页， 共3页 5+2y (2)解：由①得x= 3 ③， 把③代入②得2×5+2y-3y=6, 3 解得ys-8 将y= 5代入③，解得x= 51 3 X= 所以这个方程组的解是 5 1 x=2 5.解方程组： 12x-3y=-2 【答案】 1 x22 y=1 【分析】用代入消元法求解即可. 【详解】解： 2x-3y=-2②' 将0代入②得2×2y-3y=-2, -2y=-2, y=1, 1 1 x=2y=2, X= 2 y=1· 试卷第4页，共3页 3(x+y1_2x-y=2 5 4 6.解方程组： x-2y=-1 x=3 【答案】y=2 【分析】利用代入消元法求解. 「3x+yL_2x-y=2① 5 4 【详解】解： x-2y=-1② ② 由得， x=2y-1③ 将③代入0得 32y-1+y22y--y=2, 5 4 解得y=2, 将y=2代入③，得x=2×2-1=3, x=3 因此该方程组的解为y=2. y=5-x 7.解方程组： 2x+y=8: x=3 【答案】y=2 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可得. y=5-x① 【详解】解： 2x+y=8②， 把①代入②得：2x+5-x=8, 解得x=3, 将x=3代入①得y=5-3=2, x=3 则方程组的解为y=2. 试卷第5页，共3页 8.解方程组： x+3y=7 x=y-9 x=-5 【答案】(I)y=4: x+3y=7① 【详解】(1)解：x=y-9②， 将②代入①得y-9+3y=7, 解得y=4, 将y=4代入②，得x=4-9=-5, x=-5 ∴.方程组的解为y=4: 题型2用加减法解二元一次方程组 解题步骤： · 化系数：把两个方程中同一个未知数的系数化成相等或互为相反数。 。 加减消元：系数相等用减，系数相反用加，消去一个未知数，得一元一次方程。 求解：解一元一次方程，求出一个未知数。 回代：把求得的值代入原任意一个方程，求另一个未知数。 写解：规范写出方程组的解。 9.解下列方程组： 3x+2y=10 3x-2y=2 x=2 【答案】y=2 【分析】利用加减消元法求解比较简单。 【详解】 解：直接将两方程相加，得6x=12, 解得x=2, y=103x=2 2 试卷第6页，共3页 x=2 故原方程的解为y=2。 x+2y=9 10.解方程组： 3x-2y=-1 x=2 【答案】y=3.5 「x+2y=9① 【详解】解： 3x-2y=-1② 由①+②得，4x=8,解得x=2 将x=2代入①得，2+2y=9,解得y=3.5 「x=2 ∴.原方程组的解为y=3.5. 11.解方程组： 4x+y=7 3x-2y=-3 x=1 【答案】y=3 【详解】 4x+y=7① 解：3x-2y=-3②， ①×2+②8.x+2y+3x-2y=14-3 念 解得x=1, 把= 4×1+y=7 代入①： 解得y=3, x=1 方程组的解为y=3. 试卷第7页， 共3页 x+2y=7 12.解方程组： 2x+y=8. x=3 【答案】y=2 【分析】通过加减消元法解二元一次方程组. x+2y=7① 【详解】解方程组：2x+y=8②， ①×2 2x+4y=14③ 解： 得： ③-② 3y=6 得： 解得：y=2, 把y=2代入①得：x+2×2=7, 解得：x=3, x=3 ·方程组的解为y=2. 13.计算： 2x+3y=16 (1)x+4y=13 [x-y=+y+1 32 (2)2x-5y=9 [x=5 【答案】(1)y=2: x=1 2x+3y=16① 【详解】(1)解：x+4y-13②， 试卷第8页，共3页 ①-②×2得-5y=-10, 解得y=2, 将y=2代入②得x+8=13, 解得x=5, x=5 .方程组的解为y=2; x+5y=-6① (2)解：整理得2x-5y=9②， ①+②3x=3 得 解得x=1, 将x=1代入①，得1+5y=-6, 解得y=- 5 x=1 ·方程组的解为y=一5 14.解方程组 m-n=2 (1)2m+3n=14 [x-3y+y+5=2x-7 4 3 (2)10(x-y川-41-x)=3y m=4 【答案】(1)n=2 x=4 (2)y=4 m-n-2① 【详解】(1)解： 2m+3n=14② 试卷第9页， 共3页 ①×3+②得5m=20 解得m=4 把m=4代入①得4-n=2 解得n=2 m=4 .原方程组的解是n=2. (2)解：整理原方程组，第一个方程两边同乘12得 3x-3y)+4y+5=12(2x-7） 21x+5y=104① 展开移项整理得 展开整理第二个方程得10x-10y-4+4x=3y, 14x-13y=4② 即 21x+5y=104① 得到方程组14x-13y=4② ①×13+②×5得343x=1372 解得x=4 把x=4代入② 得56-13y=4 解得y=4 「x=4 ∴.原方程组的解是y=4. 15.解方程组： 「x+y=7① (1)3x+y=13② 3x+4y=16① (2)5x-6y=33② x=3 【答案】(1)y=4 试卷第10页，共3页 x=6 (2)y=0.5 x+y=7① 【详解】(1)解： 3x+y=13② 由②-①得：2x=6, 解得：x=3, 将x=3代入①得：3+y=7, 解得：y=4, x=3 .方程组的解为y=4: [3x+4y=16① (2)解： 5x-6y=33②， 由①×3+②×2得：19x=114, 解得：x=6, 将x=6代入①得：3×6+4y=16, 解得：y=0.5, x=6 .方程组的解为y=0.5. 16.解方程组： 2x-3y=-2 2x+6y=1 x=. 2 【答案】 3 【分析】用加减消元法解方程组即可. 2x-3y=-2① 【详解】解： 2x+6y=1② 由①×2+②得：6x=-3, 试卷第11页， 共3页 解得：x= 2 将x=代入0得：2(》-=-2 科： 1 x=- 2 方程组的解为 1 y23 题型3用指定的方法解二元一次方程组 解题步骤： 审题：看清指定方法是代入法还是加减法。 套用步骤：严格按题型1（代入法）或题型2（加减法）完整步骤解题。 检验写解：计算后可口头验算，规范写出最终解。 17.用指定的方法解下列方程组. x-y=3 (1)3x-8y=14(代入法)； [5x+2y=27 (2)5x-4y=21(加减法). [x=2 【答案】(1)y=-1 x=5 (2)y=1 【分析】(1)方程组运用代入消元法解答即可； (2)方程组运用加减消元法解答即可. x-y=3① 【详解】(1)解： 3x-8y=14②， 由①得x=3+y③， 把③代入②得： 3(3+y-8y=14 解得y=-1, 试卷第12页，共3页 把y=-1代入③得：x=2, [x=2 ∴.方程组的解为y=-1: 5x+2y=27① (2)解： 5x-4y=21②， ①×2+②得：15x=75, 解得：x=5: 把x=5代入①得，25+2y=27, 解得：y=1, [x=5 所以，方程组的解为y=1. 18.用指定的方法解方程组： x+y=3① (1)3x+2y=2②（用代入消元法）； 3x-5y=-11① (2)2x-4y=-10②（用加减消元法）· x=-4 【答案】(1)y=7 「x=3 (2)y=4 【分析】(1)利用代入消元法解二元一次方程组即可； (2)利用加减消元法解二元一次方程组即可. x=3-y③ 【详解】(1)解：由①可得： 将③代入②可得：3到3月2y=2 y=7 解得： 试卷第13页，共3页 =7 将 代入③可得： x=-4 x=-4 方程组的解为y=7: ①×2-②×3 2y=8 (2)解：由 可得： 解得：y=4, 将y=4代入①得3x-5×4=-11, 解得：x=3, x=3 ∴.方程组的解为y=4. 19.请用指定的方法解下列方程组. 2x+7y=5 (1)3x+y=-2(代入消元法) [x_y=1 34 (2)3x-4y=2(加减消元法) x=-1 【答案】(1I)y=1 x=6 (2)y=4 2x+7y=5① 【详解】(1)？解：3x+y=-2②， 由②得， y=-2-3x③ 2x+7-2-3x)=5 将③代入①得， 2x-14-21x=5, 解得x=-1, 将x=-1代入③得，y=-2-3×(-1)=1, 试卷第14页，共3页 x=-1 .原方程组的解为y=1; x_y=1① 34 (2)解：方程 3x-4y=2② ①×12，得 4x-3y=12③ 由③×3-②×4得，7y=24 解得y=4, 将y=4代入0得，青1=1， 解得x=6, x=6 .原方程组的解为y=4. 20.解方程组： y=2.x-3 (1)3x-y=8;(代入消元) 3x-2y=9 (2)x+2y=3.(加减消元) [x=5 【答案】()y=7 [x=3 (2)y=0 【分析】(1)利用代入消元法解方程组即可： (2)利用加减消元法解方程组即可. y=2x-3① 【详解】(1)解： 3x-y=8② 试卷第15页， 共3页 把①代入②得3r-(2x-3)=8 解得x=5, 把x=5代入①得y=2×5-3=7, x=5 ∴.原方程组的解为y=7; 3x-2y=9① (2)解： x+2y=3② 0+②得4x=12,解得=3， 把x=3代入②得3+2y=3,解得y=0, x=3 ∴.原方程组的解为y=0 21.按要求解方程组： x=y-5 (1)4x+3y=29(代入消元) [2x+y=2 (2)3x-2y=10:(加减消元) [3x+5y-11=0 (3)5x-2y=8;(加减消元) x+y_x-y=1 32 (4)2(x+)+3x-y)=18(加减消元) x=2 【答案】(I)y=7 x=2 (2)y=-2 x=2 (3)y=1 试卷第16页，共3页 x=4 (4)y=2 【分析】(1)根据代入消元法求解即可： (2)根据加减消元法求解即可； (3)整理后根据加减消元法求解即可； (4)整理后根据加减消元法求解即可； x=y-5① 【详解】(1)解： 4x+3y=29②， 将①代入②得： 4y-5)+3y=29 ,即7少=49，解得：y=7, y=7 将 x=7-5=2 代入①得： [x=2 故方程组的解为y=7. 2x+y=2① (2)解： 3x-2y=10②， ①×2得：4x+2y=4③， ②③得：7x=14,解得：x=2, 将t2 2×2+y=2 入①得： ，解得：少2 x=2 故方程组的解为y=-2。 3x+5y-11=0 (3)解： 5x-2y=8, 3x+5y=11① 整理得：5x-2y=8②， ①×2得：6x+10y=22③， ②×5：25x-10y=40④， ④+③得：31x=62,解得：x=2, 试卷第17页，共3页 将=2 5×2-2y=8 代入②得： y=1 解得： x=2 故方程组的解为y=1. +y_x-y=1 3 2 (4)解： 2x+y)+3(x-y)=18, [-x+5y=6① 整理得： 5x-y=18②， ①×5 -5x+25y=30 得： ③， ②③得：24y=48,解得：y=2, 将y=2代入②得：5x-2=18,解得：x=4, x=4 故方程组的解为y=2, 22.解方程组： x+3y=4① (1)2x+5y=8②（加减消元） [2x+5y=25① (2)4x+3y=15②（加减消元) x=4 【答案】(1)y=0 x=0 (2)y=5 【分析】使用加减消元法，先消去其中一个未知数，求出另 被消去的未知数的值，即可得到方程组的解。 x+3y=4① 【详解】(1)解： 2x+5y=8②， 试卷第18页，共3页 个未知数的值，再回代求出 ①×2 2x+6y=8③ 由 得： ③-② 必 得： y=0 将y=0代入①得：x+0=4, 解得：x=4, [x=4 ∴方程组的解为y=0. [2x+5y=25① (2)解： 4x+3y=15②， ①×2 4x+10y=50③ 由 得： ③-② 7y=3 y=5 由 得： ,解得： 将y=5代入①得：2x+25=25, 解得：x=0, x=0 ∴.方程组的解为y=5. 23.解方程组： [y=3x-2 (1)3x+y=10:(代入消元) [4x+8y=12 (2)3x-2y=5.(加减消元) [x=2 【答案】(1)y=4: [x=2 1 2)y=2 试卷第19页， 共3页 y=3x-2① 【详解】(1)解：3x+y=10②， 将①代入②得3x+3x-2=10, 解得x=2, 将x=2代入①得y=6-2=4, x=2 ∴.方程组的解为y=4； 4x+8y=12① (2)解： 3x-2y=5②， ①+②×4得16x=32, 解得r=2, 将x=2代入①得8+8y=12, .1 解得y=2, x=2 方程组的解为y=2 1 24.解下列方程组： y=x-3 (1)x+2y=9(代入消元) [3x-2y=4 (2)7x+4y=18(加减消元) x=5 【答案】(I)y=2 x=2 (2)y=1 【分析】(1)用代入消元法解方程组： (2)用加减消元法解方程组. 试卷第20页，共3页 y=x-3① 【详解】(1)解：x+2y=9②， 将①代入②可得x+2(x-3到=9 解得x=5,代入①可得y=5-3=2, [x=5 故这个方程组的解为y=2. 3x-2y=4① (2)解：7x+4y=18②， 将①×2+②可得13x=26, 解得x=2,代入①可得y=1, [x=2 故这个方程组的解为y=1. 题型4用适当的方法解二元一次方程组 解题步骤： ·判断选法 有未知数系数为1或-1、或容易变形的→选代入法： 同一未知数系数成倍数、易凑相等/相反数一选加减法。 。 按选定方法：走代入法或加减法完整解题步骤。 得出并书写方程组的解。 25.选用适当的方法解下列方程组 y=2x-3 (1)3x+y=7 x-1+y+1=1 23 (2)x+y=4 x=2 【答案】(I)y=1 试卷第21页，共3页 [x=-1 (2)y=5 y=2x-3① 【详解】(1)解：3x+y=7② 3x+(2x-3)=7 将①代入②得， =2③ 解得 将③代入①得y=1, x=2 .y=1; x-1+y+1=1① 23 (2)解： x+y=4 ② 3x+2y=7③ ①去分母得， ②×-2)+③ 得，x=-1④ 将④代入②得，-1+y=4, 解得y=5, x=-1 .y=5. 26.解方程组： y=x-1 (1)2x+3y=7 [4x+y=10 (2)2x-3y=12 [x=2 【答案】(1)y=1 试卷第22页，共3页 [x=3 (2)y=-2 【分析】(1)利用代入法解答即可求解： (2)利用加减法解答即可求解。 y=x-1① 【详解】(1)解： 2x+3y=7②， 把①代入②，得2x+3(r-1)=7 解得x=2, 把x=2代入①，得y=2-1=1, [x=2 ·方程组的解为y=1; 4x+y=10① (2)解： 2x-3y=12②， 3，得 2x+3y=30 ③， ③+②，得14x=42, 解得x=3, 把x=3代入①，得4×3+y=10, 2 x=3 .方程组的解为y=-2, 27.解下列方程组： x-2y=5 (1)2x+7y=-1: x+y_x-y 4 3 2)(x+y)-2(x-y)=-4 试卷第23页， 共3页 x=3 【答案】(1)y=-1 x=7 (2)y=1 x-2y=5① 【详解】(1)解：2x+7y=-1②， ①×2得，2x-4y=10③， ②-③，得11y=-11, 解得y=-1, 将y=-1代入①得， x-2×-l=5 解得x=3, x=3 .原方程组的解为y=-1; +y=-y 4 3 (2)解： (x+y)-2(x-y)=-4, x=7y① 整理得-x+3y=-4②， 将①代入②，得y=1, 将y=1代入①，得x=7, x=7 ·.原方程组的解为y=1. 28.解方程组 y-1=3(x-2) (1)y+4=2x+1); 试卷第24页，共3页 x+y+x-y-6 3 2 (②)3x+y-2(x-y)=28: x=3 【答案】(1)y=4 x=8 (2)y=4 【分析】(1)先将原方程组化简整理为标准形式，再用代入消元法求解即可； (2)先将原方程组化简整理为标准形式，再用加减消元法求解即可· 【详解】(1)解：整理原方程组，得 y=3x-5① y=2x-2②， 把①代入②，得 3x-5=2x-2, 解得x=3, 把x=3代入②，得 y=2×3-2=4 x=3 ∴.原方程组的解为y=4; (2)解：整理原方程组，得 5x-y=36① x+5y=28②， 由①×5+②，得 26x=208, 解得x=8, 把x=8代入②，得 8+5y=28 解得y=4, 试卷第25页，共3页 x=8 .原方程组的解为y=4. 29.解二元一次方程组： [y=3x-2① (1)3x+y=8②： [2x+3y=1① (2)3x+4y=-5②. 【答案】(1) 5 y=3 (2) x=-19 y=13 【分析】(1)运用代入消元法计算； (2)运用加减消元法计算 y=3x-2① 【详解】(1)解： 3x+y=8②， 把①代入②得，3x+3x-2=8, 解容， =3代入①得，y=3 把x=, 5-2=3, 3 5 X=- 3 原方程组的解为 y=3; [2x+3y=1① (2)解： 3x+4y=-5②， 0x3-②×2得， 3×2x+3y)-2×3x+4y)=3-2×-5) 试卷第26页，共3页 整理得，y=13, 把y=13代入①得，2x+3×13=1, 解得，x=-19, x=-19 ∴.原方程组的解为y=13. 30.解下列方程组： x=y+3 (1)2x-y=5 a-2b=3 (2)a+4b=-3 【答案】(1) ,x=2 y=-1 (2) ,a=1 b=-1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是根据方程组的特点，选择合适 的消元方法（代入消元法或加减消元法）消元求解。 ,x=y+3,、2x-y=5 (1)用代入消元法，将 代入 消去”，先求》再求： (2)用加减消元法，两式相减消去a,先求b再求a. x=y+3① 【详解】(1)解：2x-y=5② 把①代入②，得2(y+3)-y=5, 2y+6-y=5, 把y=-1代入①，得x=-1+3=2, x=2 ·.方程组的解为y=-1. 试卷第27页，共3页 a-2b=3① (2)解：a+4b=-3② ②-①，得6b=-6, .b=-1」 把b=-1代入①，得a-2×(-1)=3 a+2=3 a=1 a=1 :.方程组的解为b=-1 31.计算： [y=2.x-3 (1)3x-2y=8 ∫x-y=3 (2)3x-4y=14 x=-2 【答案】(1)y=-7: [x=-2 (2)y=-5. y=2x-3① 【详解】(1)解：3x-2y=8②， 将①代入②得3x-22x-3)=8 解得x=-2, 将x=-2,代入@得y=2x-2列-3=-7 [x=-2 .方程组的解为y=-7; 试卷第28页，共3页 x-y=3① (2)解： 3x-4y=14②， ①×4-② 得七2 将x=-2,代入①得-2-y=3, 解得y=-5, x=-2 .方程组的解为y=-5. 32.解下列方程组： y=3x (1)2x+3y=22: [3x-2y=3 (2)x+2y=1. x=2 【答案】(1)y=6 「x=1 (2)y=0 y=3.x① 【详解】(1)解： 2x+3y=22② 把①代入②得2x+33x=22,解得x=2, 把x=2代入①得y=3×2=6, x=2 ∴.原方程组的解为y=6; 3x-2y=3① (2)解： x+2y=1② ①+②得4r=4,解得=1 把x=1代入①得3×1-2y=3,解得y=0, 试卷第29页， 共3页 x=1 ∴.原方程组的解为y=0 题型5用整体代入法解二元一次方程组 解题步骤： 观察结构：发现方程组中有相同整式整体（如(x+2y)、(3x-y)重复出现）。 整体变形：把其中一个方程变形为整体整式=常数的形式。 整体代入：将这个整体直接代入另一个方程，消元求解。 分步求值：先求整体值，再拆分开求(x、y)。 规范写解。 2x-y=3 33.(1)解方程组： 4x+y=21 (2)整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光， 把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式 的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用. 2x+4y=16 x=2 若方程组5x-2y=4的解为y=3; 2(m+n+4m-n=16 在上面方程组的基础上，求方程组]5m+n)-2m-n=4的解， 5 【答案】(1) x=4; (2) y=5 1n= 2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思 想是解题的关键， (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可. (2)将m+n和m-n看作一个整体，得出关于m,n的二元一次方程组，再对其进行求解 即可 [2x-y=3① 【详解】解：(1)4x+y=21②， ①+②得， 6x=24 试卷第30页，共3页 x=4, 将x=4代入①得， 8-y=3 y=5, x=4 所以原方程组的解为y=5. (2)由题知，将m+n和m-n看作一个整体， m+n=2 则m-n=3, 5 1m= 解得 1 n=- 2 m= 2 所以原方程组的解为 1 n= 2 34.【教材呈现】 小红、小莉去花店买花.小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买 了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元.小莹看到后表示自己准备三种花各买2 枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为x元、y元、z元.不难列出方程组： 3x+7y+z=28① 4x+10y+z=32② 消去2.得 x+3y=4 '③ 显然无法求出确定的解.但注意到问题要求的是2x+2y+2z整体的值，我们可以在上式中 “分离”出+y+2,即 试卷第31页，共3页 2(x+3y)+x+y+z)=28④ 3x+3y)+(x+y+z=32⑤ x+3y=4 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组2(x+3y)+(x+y+z)=28,将③整体代入④可 得2×4+x+y+=28 即x+y+2=20,所以2x+2y+2z=40.像这样将x+3y当作一 个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目 化繁为简.请根据材料解决以下问题。 【解决问题】 x+y=2 (1)①请直接写出方程组的解2(x+y)-4=2x ②己知当=引时，代数式r+r+r+1=9,试求当=- 时，代数式ar+hr+c-3 的值。 [x+2y=3-a (2)已知关于x,y的方程组-x-3y=2a,试说明无论α取何值，x+y的值均不变. 3x2-2y+4y2=15 (3)已知4x2-3y+3y2=9,则x2+6y2= x=0 【答案】(1)①y=2;②-11 (2)详见解析 (3)27 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，整体代入是解题的关键。 (1)①根据整体代入法即可求解： ②根据已知条件，将x=1代入代数式，可得a+b+c=8,再将x=-1代入代数式，可得 -a-b-c-3,再根据a+b+c=8即可求解： (2)根据加减消元法，即可求解： (3)通过对己知的两个方程进行适当的乘法运算后相减，构造出 x2+6y2 相关的式子， 试卷第32页，共3页 进而求解. x+y=2 (x+y)-4=2x 【详解】(1)解：①将 整体代入 ,可 2×2-4=2x,解得=0 将x=0代入x+y=2,可得y=2, x=0 ∴.方程组的解为y=2; ②将x=1代入代数式，可得a+b+c+1=9, .a+b+c=8, 将x=-1代入代数式，可得-a-b-c-3, .a+b+c=8, .-a-b-c-3=-8-3=-11: x+2y=3-a⑦ (2)解： -x-3y=2a⑧， ⑦×2+⑧ x+y=6-2a+2a=6 可，得 无论a取何值，x+y的值均不变. 3x2-2xy+4y2=15 4x2-3xy+3y2=9 (3)解：设： ⑨. 给⑨x3,得9r2-6+122=45 ,得 给四x2,得5 8x2-6xy+6y2=18 ⑨×3-⑩×2 9x2-6xy+12y2）-8x2-6y+6y2）=45-18 9x2-6xy+12y2-8.x2+6y-6y2=27 x2+6y2=27 35.换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体 (即换元)的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想. 试卷第33页，共3页 x-y+2x+y=5 2 (1)填空：解方程组 2x+川-xy=3 时，把x-y和2x+y分别看成一个整体，即设 2 6 2 x-y=a. ()=5 6 2x+yb、则原方程组可化为关于a、b的方程组O3解得a、b的值：这样 ,2 x-y=() 6 可得 2x+y=() 从而得到原方程组的解为〔x=4· 02 y=-2 2(x+y)+x-y=18 (2)请用换元法解方程： x+y-y=-1 2 【答案】(1)2a+b,2b-3a:1,3 x=7 (2)y=-3 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌 握相关性质内容是解题的关键 2a+b=5① (1)结合上下文，则得2b-3a=3②，再运用加减消元法解b=3,a=1,再得 x-y=6 x=4 2x+y=6,同理解得y=-2,即可作答， (2)模仿题干过程，先设x+y=a,)=b,则原方程组可化为关于a、b的方程组 2 2a+2b=18① x+y=4, a-b=-1②，运用加减消元法解得a=4,b=5,则x-y=10同理解得原方程组的解 试卷第34页，共3页 「x=7 为y=-3,即可作答. 【详辨】)解：依感意，设。=4。 2x+y=b. 2 [2a+b=5① 则原方程组可化为关于a、b的方程组2b-3a=3②， 由①×3+②×2得3b+4b=15+6, 解得b=3 把b=3代入①， 得2a+3=5, .a=1 （x-y=1 6 2x+y=3' 2 x-y=6 整理得2x+y=6, 两式子相加得3x=12, .x=4, 把=4代入-y=6, 得4-y=6, y=-2 解得 x=4 ∴原方程组的解为y=-2. 故答案为：2a+b,2b-3a;1,3. 2(x+y)+x-y=18 (2)解： -y=-1, x+y-2 试卷第35页，共3页 .设x+y=a x-y=b, 2 [2a+2b=18① 则原方程组可化为关于a、b的方程组a-b=-1②， ①+②×2m2a+2a=18-2 由 得 解得a=4, 把a=4代入②， 得4-b=-1, ∴.b=5 x+y=4, x-y=5, 2 x+y=4, 整理得x-y=10, 两式子相加得2x=14, x=7, 把+7 x-y=10 代入 -y=10 得 解得-3， x=7 .原方程组的解为y=-3. 36.阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务. 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目. 4x+3y+6x-y=8 十 3 8 解方程组： 4x+3y+6x-y=11 6 2 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错.如果把 试卷第36页，共3页 方程组 中的4红+3列)看成一个整体，把(6r-刀看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题。 m+n=8 38 设 则原方程组可化为 m+”=11 4x+3y=m 6x+y=n 1 2 m=18 4x+3y=18 [x=3 解关于m,n的方程组，得n=16,所以6x-y=16解方程组，得y=2. 任务 (1)材料中运用的数学思想是 ； A.数形结合思想B.整体思想C.分类讨论思想D.类比思想 3a-1+2(b-2)=4 (2)运用上述方法，解方程组4(3a-1-(b-2)=7: ax+by=c x=3 (3)已知关于x,y的方程组ax+by=c2的解为y=4,直接写出关于m,n的方程组 a,(m+2)-3b,n=G a2(m+2)-3bn=c2的解. 【答案】(I)B: a=1 (2)b=3: m=1 3)n=-3 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂 材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可. 口根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， 试卷第37页，共3页 m+2n=4 (2)仿照材料中的解题思路，设3a-1=m,b-2=n,则方程组可化为4m-n=7,解方 m=2 [3a-1=2 程组求出n=1,从而可得方程组b-2=1,继续解方程组求出a、b的值即可； a,(m+2-3b,n=G a,m+2)+b-3n=c (3)首先把方程组a2(m+2)-3bn=c2,整理成a2(m+2)+b,(-3m)=c2的形式，根据方程 ax+by=c x=3 m+2=3 组ax+by=c2的解为y=4,可得方程组-3n=4, 继续解方程组求出m、n的值即 可. 【详解】(1)解：·材料中把方程组中的 4x+3)看成一个整体，把(6x-”看成一个整 体，分别用字母m、n表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B; (2)解：设3a-1=m,b-2=n, m+2n=4 则原方程组可化为4m-n=7, m=2 解得：n=1, [3a-1=2 b-2=1, a=1 解得：b=3; a4,(m+2）-3b,n=G (3)解：整理方程组a2(m+2)-3bn=c2, 试卷第38页，共3页 am+2)+b-3n)=c 可得： a2（m+2)+b2-3n)=c2, m+2=3 可得方程组的解为-3n=4, m=1 解得： 4 n=- 3 37.阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目. 4x+3y+6x-y=8 3 8 解方程组： 4x+3y+6x-y=11 6 2 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错.如果把 方程组中的 4x+3y) 看成一个整体，把6x-少看成一个整体，通过换元，可以更简便地解 决问题. m+n=8 38 设 ,则原方程组可化为 m n 6+2 =11 4x+3y=m,6x-y=n m=18 解关于m,n的方程组，得n=16, 4x+3y=18 所以6x-y=16 x=3 解方程组，得y=2. (1)材料中运用的数学思想是 A.数形结合思想B.整体思想C.分类讨论思想D.类比思想 3a-1+2(b-2=4 (2)运用上述方法，解方程组43a-1)-(b-2)=7; 试卷第39页，共3页 ax+by=c x=3 (3)已知关于x,y的方程组a,x+b,y=C的解为y=4,直接写出关于m,n的方程组 a,(m+2)-3b,n=c a2(m+2-3bn=c2的解. (4)对于有理数七，y,定义新运算：x*y=ar+y+C,其中a,b,c是常数，等式右边是通常 的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28.求11的值. 【答案】(I)B a=1 (2)b=3 m=1 (3)1 4 =3 (4)-11 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂 材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可. (1)根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， m+2n=4 (2)仿照材料中的解题思路，设3a-1=m,b-2=n,则方程组可化为4m-n=7，解方 m=2 3a-1=2 程组求出n=1,从而可得方程组b-2=1,继续解方程组求出a、b的值即可： am+2）-3bn=c a+2)+b(-3n)=G (3)首先把方程组a2(m+2)-3bn=c2,整理成a2(m+2)+b,(-3n=c2的形式，根据方 ax+by=c x=3 m+2=3 程组a2x+b2y=c2的解为y=4,可得方程组-3n=4,继续解方程组求出m、n的值 即可； 试卷第40页，共3页 b=c+24 (4)根据新定义，列出关于a,b,c的方程组，得出a=-2c-35,进而根据新定义得出 a+b+c的值，即可求解。 【详解】(1)解：材料中把方程组中的 4x+3y) 看成一个整体，把6x-少看成一个整 体，分别用字母m、n表示， ·材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B: (2)解：设3a-1=m,b-2=n, m+2n=4 则原方程组可化为4m-n=7, m=2 解得：n=1, [3a-1=2 b-2=1, a=1 解得：b=3: a,(m+2）-3b,n=G (3)解：整理方程组a2(m+2-3b,n=c2, a,m+2)+b(-3n)=c 可得：a2(m+2+b(-3n)=c2, m+2=3 可得方程组的解为-3n=4, m=1 4 解得： 1n--3 (4)解：3*5=15,4*7=28 试卷第41页，共3页 3a+5b+c=15 ∴.4a+7b+c=28 b=c+24 ∴.a=-2c-35 ∴.1*1=a+b+c=c+24-2c-35+c=-11 38.数学方法： [32x+y)-2(x-2y)=26 在解方程组： 2(2x+y)+3(x-2y)=13时，如果把方程组中的2x+y,x-2y分别看作一 3m-2n=26 个整体，设2x+y=m,x-2y=n,则原方程组可化为2m+3n=13,解此方程组得 m=8 [2x+y=8 x=3 n=-1,代入2x+y=m,x-2y=n,得x-2y=-1,解此方程组得y=2,所以原方程 x=3 组的解为y=2. 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法， 这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用. 请你参考这种做法，解决下面的问题： ax+by=6 x=-2 (I)类比探究：已知关于x,y的二元一次方程组bx+ay=3的解为y=4,那么关于m、 a(m+n)+b(m-n)=6 1n= n的二元一次方程组b(m+n)+am-nl=3的解为： n= x+yx-Y=4 23 (2)知识迁移：请用这种方法解方程组2(x+y)+x-y=16· 试卷第42页，共3页 m=1 【答案】(1)n=-3 x=4 (2)y=4 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键. (1)利用换元法解方程即可； (2)利用换元法解方程即可. au+bv=6 【详解】(1)解：设u=m+n,v=m-n,则方程组化为：bu+av=3, u=-2 由已知，得v=4, [m+n=-2 则有m-n=4, m=1 解得：n=-3; (2)设x+y=m,r-y=n, （m_n=4 则原方程组可化为23 2m+n=16 m=8 解得：n=0, x+y=8 即有x-y=0 x=4 解得y=4, x=4 :.原方程组的解为y=4: 试卷第43页，共3页 +y=m, 另解，设2 x-y=n, 3 m-n=4 则原方程组可化为4m+3n=16, m=4 解得n=0, x+y=4 2 即有 x-y=0 3 x=4 解得y=4, x=4 ·原方程组的解为y=4. 39.阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： [3(m+5)-2(n+3)=-1 在解方程组 3(m+5)+2(n+3)=7时，可采用一种“整体换元”的解法.具体过程如下： 解：把m+5,n+3看成一个整体，设m+5=x,n+3=y, 则原方程组可化为 3x-2y=-1 x=1 3x+2y=7 解得 y=2 m+5=1 m=-4 即n+3=2 解得n=-1 3.x+2y=5 x=1 3(a-2+2(b+1=5 (1)已知方程组 5x+y=6的解为 y=1 则方程组 5(a-2)+(b+1=6的解为 3(m+n)-2(m-n)=-2 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 3(m+n)+2(m-n=26 试卷第44页，共3页 [5a+4b+c=13 (3)若 3a+2b+c=8则2a+b+c的值为- a=3 【答案】(1)b=0 (2)见解析 11 3)2 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等. a-2=1 (1)根据题意列式b+1=1，计算出来即可： (2)根据题意利用换元法解方程即可； (3)先求出a+b的值，继而求出本题答案。 【详解】(1)解：根据题意得： a-2=1 b+1=1,解得：a=3,b=0, a=3 故答案为： b=0: 3m+n-2(m-n=-2 (2)解：3m+n+2m-n=26, 设m+n=x, m-n=y, 3x-2y=-2① .3x+2y=26②， ①+②m6x=2 得： 4,即：=4 将=4 12-2y=-2 y=7 入①得： 即： 11 m= 2 .m+n=4,解得： 39 m-n=7 n=- 2 试卷第45页，共3页 5a+4b+c=13① (3)解： 3a+2b+c=8②， ①-②得：2a+26=5,即：a+b 2 将a+b= 5 5 代入②得：a+×2+c=8,即：a+c=3” 11 .2a+b+c= 2 11 故答案为：2· 40.【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式 的值. 3a-b=5① 如：已知实数a,b满足2a+3b=7②，求a-4b和7a+5b的值. 方法一：解方程组，分别求出a,b的值，再代入代数式求值： 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的 值. 解法如下： ①-②，得：a-4b=-2, ①+②×2 7a+5b=19 ,得： 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”. 【解决问题】 2x+y=9 (1)已知二元一次方程组x+2y=3,则x-y= ,x+y= X,y x※y=ax-by (2)对于实数，定义新运算： 其中4，b 是常数，等式右边是通常的加 减法和乘法运算.如：2※1=2a-b.已知2※3=4,3※5=10，求1※1的值. 【答案】(1)6：4 试卷第46页，共3页 (2)-2 ①-②①+② 【分析】(1)根据材料提示方法 ,即可求解： [2a-3b=4① (2)根据新定义的计算方法得到3a-5b=10②，1※1为a-b,结合材料提示方法 ①×2-② ,由此即可求解. [2x+y=9① 【详解】(1)解：x+2y=3②， ①-②，x-y=6 得 ①+②， 3x+3y=12 得， x+y=4 故答案为：6；4. x※y=ax-by 其中4b 2※3=43※5=10 (2)解： 是常数， 「2a-3b=4① ∴.3a-5b=10②， 1※1为a-b, :.①×2-②得， 2(2a-3b)-(3a-5b)=4×2-10 整理得，a-b=-2, 1※1的值为-2. 题型6用换元法解二元一次方程组 解题步骤： ·设元：把方程组中复杂的相同整式设为新未知数（如令(m=x+y,=x-y))。 换元：原方程组转化为关于(m、)的新二元一次方程组。 。 解新方程组：用代入或加减法求出(m、n)的值。 还原：把(m、n)代回所设式子，得到关于(x、y)的新方程组。 求解：解出(x、y),规范写解。 试卷第47页，共3页 [m+1+2(n-2）=3 41.阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组(m+1)-2(n-2)=7时，采用了一种“整 体换元”的解法.把m+1,n-2看成一个整体，设m+1=x,n-2=y,则原方程组可化为 x+2y=3 x=5 m+1=5 m=4 x-2y=7,解得y=-1,即n-2=-1,解得n=1. (m+n_m-n=5 34 (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组 m+n+m-n=-1 23 ax-by=c x=6 (2)拓展提升，己知关于x,y的方程组a2x-b2y=c2的解为y=-2,解方程组 2a,(m-1-b(n+3)=3c 2a2m-1-b2(n+3)=3c2 m=-3 【答案】(1)n=9 m=10 (2)n=-9 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法一“整体换元法”·读懂题干，理解题意， 掌握“整体换元法”的步骤是解题关键. x_y=5 34 (1)根据题意所给材料可令 则原方程组可化为 xY= ，解出 -=-1 x=m+n,y=m-n 23 x,y,代入求解即可： 2(m-1-b(n+3=c 43 3 (2)根据题意所给材料可得出 2?--6+3】-6,然后利用整体代换的思想求解 a23 3 .=C2 试卷第48页，共3页 m+n_m-=5 4 【详解】(1)解：对于 m+n+m-n=-1 2 3 令x=m+n,y=m-n (x_y=5 34 则原方程组可化为 +y=-1 23 x=6 解得： y=-12, m+n=6 .m-n=-12, m=-3 解得： n=9; ax-by=c x=6 (2)解：：方程组a2x-by=c2的解是y=-2, 2(m-1） 3 “将2am-l-b(n+3列=3c两边同时除以3得： 2m-1 2a2(m-1)-b2n+3)=3c2 3 2(m-=6 3 1n+3=-2' 3 m=10 解得： n=-9 42.阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务. 试卷第49页，共3页 2=1 2m+2)+3n- 善于思考的李同学在解方程组 7m+2)+6n-3 -2时，采用了一种“整体换元”的解法。 2 2 解：把m+2,n了看成一个整体，设m+2=x刀- -=y 3 x=0 m+2=0 [2x+3y=1 1, 21 m=-2 原方程组可化为 7x+6y=2' 解得y= 3 m-33 原方程组的解为 n=1 任务： 3x-2y=1 [x=3 3(a+b)-2(a-b)=1 (1)方程组9x-2y=19的解是y=4,则方程组9(a+b)-2(a-b)=19的解是： 3(x+y)-4(x-y)=4 (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组 x+y+x-y=1 2 6 7 a= 2 【答案】(1) b=- 1 2 [17 x= 15 (2)1 1· =15 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法一“整体换元法”·读懂题干，理解题意， 掌握“整体换元法”的步骤是解题关键。 a+b=-1 (1)根据题意所给材料可得出a-b=-2,，再解出这个方程组即可. 3m-4n=4 m+”=1,解出 (2)根据题意所给材料可令m=x+,n=x-y,则原方程组可化为2十6 m,n,代入m=x+少n=x一y,再解出关于x,y的方程组即可. 试卷第50页，共3页 [3x-2y=1 x=3 【详解】(1)解：，方程组9x-2y=19的解是y=4, 「a+b=3 ∴.a-b=4, 7 a22 解得： 1 b-2 7 a= 2 故答案为： 1； b2 3(x+y)-4(x-y)=4 (2)解：对于 x+y+=1，令m=+n=x-y' 26 [3m-4n=4 则原方程组可化为严+”=1’ 26 28 m 15 解得： 2, n 5 28 x+y= 15 2, x-y= 17 x= 15 解得： 11· y= 15 3m+5)-2(n+3=-1 43.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3(m+5)+2(n+3)=7时，采用了一种 m+5,n+3 m+5=x,n+3=y “整体换元”的解法.把 看成一个整体，设 则原方程组可化 试卷第51页，共3页 3x-2y=-1 x=1 [m+5=1 m=-4 为3x+2y=7,解得y=2,即n+3=2,解得n=-1. 「x+y+X-y=4 35 ()学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组 x+y x-Y=-2 35 ax-by=c x=3 (2)拓展提升，已知关于x,y的方程组a2x-b2y=c2的解为y=4, 请直接写出关于m、n am+2）-bn=c 的方程组a2m+2)-b,n=c2的解是 x+y_x-y 2 3 (3)请你用上述方法解方程组2(x+)-3x+3y=25 「x=9 【答案】(1)y=-6 m=1 (2)n=4 x=-25 2 (3)1 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法一“整体换元法”· 3,ny 1)根据题意所给材料可令m=', m+n=4 5,则原方程组可化为m-n=-2,解出 m,n,代入m=x+”n=x-y,再解出关于x,y的方程组即可： m+2=3 (2)根据题意所给材料可得出n=4,再解出这个方程组即可： 试卷第52页，共3页 2 3 (3)令 则原方程组为 再解出这个方程组即可求解， m=x+y,n=x-y 2m-3n=25, x+y.X-Y=4 3 J 【详解】(1)解：对于 x+y x-v ，令 =-2 3 m=x+y 3,n x-y 5 m+n=4 则原方程组可化为m-n=-2, m=1 解得：n=3, （x+y=1 3 x-y=3 即x+y=3, 5 (x-y=15 x=9 解得： y=-6: ax-by=c x=3 (2)解：：方程组a2x-by=c2的解是y=4, m+2=3 .n=4, m=1 解得：n=4. m n 23 (3)解：依题意，令m=x+y,n=x-y 则原方程组为 2m-3n=25, 3m-2n=0① 即2m-3n=25② ①×2-②×3 得， -4n+9n=-75 试卷第53页，共3页 解得：n=-15, ①×3-②×2得，9m-4m=-50, 解得：m=-10 x+y=-10③ .x-y=-15④ ③+④得，2x=-25, 解得：25 2 ③-④得，2y=5, 解得 25 x=- 2 ∴.原方程组的解为 5 y= 2 44.解方程（组）： 「x+2y=1 (1)3x-2y=11 3(m+5)-2(n+3)=-1 (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组3(m+5)+2(n+3)=7时，采用了一种“整 体换元”的解法， 解：把m+5,n+3看成一个整体，设m+5=x,n+3=y, [3x-2y=-1 原方程组可化为3x+2y=7, x=1 m+5=1 m=-4 解得y=2,∴.n+3=2∴原方程组的解为n=-1 3(x+y)-4(x-y)=5 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 x+y.x-Y=0 2 6 试卷第54页，共3页 x=3 【答案】(1)y=-1 x= 1 3 (2) 2 y=3 【分析】(1)用代入消元法进行计算即可得； 3m-4n=5 (2)设x+y=m'x-y=n, 原方程可化为 m+2=0, 26 1 x+y= 3 x一y=-1,用代入消元法进行计算即可得. [x+2y=1① 【详解】(1)解：3x-2y=11② ①+②得：4x=12, 解得：x=3, 把x=3代入①得：3+2y=1 解得，y=-1, x=3 则方程组的解为 y=-1. 3(x+y)-4(x-y)=5 (2)解： +y+-y=0 2 6 设x+y=m,x-y=n, [3m-4n=5 原方程可化为”+”=0’ 26 试卷第55页，共3页 M .I-=u 能点中 [3m-4n=5① 即3m+n=0②， ②-①得，n=-1, 1 把n=-1代入②得，m=3, a ·n=-1' 1 x+y= 3 x-y=-1, 3 ∴.原方程组的解为 y=3 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握代入消元法，整体 换元法。 3m+5)-2(n+3)=-1 45.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3(m+5)+2(n+3)=7时，采用了一种 “整体换元”的解法，把m+5,n+3分别看成一个整体，设m+5=x,n+3=y,则原方 3x-2y=-1「x=1m+5=1 m=-4 程组可化为3x+2y=7,解得y=2,即n+3=2,解得n=-1. 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： 3(x+y)-2(6x-y)=1 (1)（x+y)+(6x-y)=7: 「x+y+-y=7 23 (2) x+y_x=y=-1 34 试卷第56页，共3页 x=1 【答案】(1)y=2: x=9 (2)y=-3. 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法. m=3 x+y=3 (1)设x+y=m,6x-y=n,利用加减消元法求得n=4,即6x-y=4,再利用加减 消元法即可求解 [m=1「x+y=6 (2)设x+y=6m,x-y=12n,利用加减消元法求得n=1,即x-y=12,再利用加减 消元法即可求解。 3(x+y)-2(6x-y)=1 【详解】(1)解： （x+y)+(6x-y)=7, 3m-2n=1① 设x+y=m,6x-y=n,则原方程组可化为m+n=7②， 0+②x2得5m=15, ,m=3 ，解得” 将m=3代入②，得3+n=7,解得n=4, m=3 x+y=3 解得n=4,即6x-y=4, [x=1 解得y=2; x+y.x-y=7 23 (2)解： x+y_x=y=-1 34 3m+4n=7① 设x+y=6m,x-y=12n,则原方程组可化为2m-3n=-1②， 试卷第57页，共3页 ①×3+②×4得17m=17,解得m=1，, 将m=1代入②，得2-3n=-1,解得n=1, m=1 x+y=6 解得n=1,即x-y=12, x=9 解得y=-3, 46.阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题. 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称 为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使得复杂问题简单化.换元的实质是转化，关键是构造元和设元. +-12 x y 例如解方程组 21 2+1=20,设m_1,”_1,则原方程组可化为m+n=12,解化简之 x y 2m+n=20 1 二=8 8 后的方程组得 m=8,即 1 所以原方程组的解为 -=4 n=4 y= 4 运用以上知识解决下列问题： 1 22 x y (1)求方程组 +二=4的解. 3 x y 3x+5y=11 x=2 (2)关于x,y二元一次方程组ax+11y=12的解为y=1,则方程组 3(x-2)+5(y+1=11 a(x-2)+11y+1=12的解为_. 试卷第58页，共3页 [3.2+2-3y+1=111 (3)举一反三：方程组21+23=86的解为_ x=1 【答案】(1)y=2 x=4 (2)y=0 x=4 (3)y=3 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题 所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便 (1)设m='n=2 m+n=2 m=1 X ,将原方程组可化为3m+n=4,解二元一次方程求得n=1,从而 可求得原方程组的解： x-2=2 (2)由已知得y+1=1,求解即可得答案； (3)利用换元思想设2=4,3”=B ，然后解方程组即可得到未知数的值。 1-2 m+n=2 【详解】(1)解：(1)设mx,ny,则原方程组可化为3m+n=4, m=1 解得，n=1, (11 即2=1 (y x=1 解得，y=2: 试卷第59页，共3页 x-2=2 (2)解：根据题意得y+1=1, [x=4 解得，y=0; 12A-3B=111 (3)设2=A,3=B,则原方程组可化为2A+2B=86, 〔A=16 解得，B=27, 2=16 ∴.3Ψ=27， x=4 解得，y=3. 47.阅读列一段材料，运用相关知识解决问题。 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称 为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替 它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元.例如解方程组 11 + =12 y +1=20 2 设m=】’n=1,则原方程组可转化为m+n=12，运用以上知识解决下列 x y 1m=9 y 2m+n=20 问题： 1 2-2 x y (1)解方程组 3+2=4 x y [3x+5y=11 [x=2 [3(x-2)+5y+1)=11 (2)关于x,y的二元一次方程组ax+11y=12解为y=1,求方程组a(x-2)+11(y+1)=12 试卷第60页，共3页 的解. x=1 【答案】(1)y=2: x=4 (2)y=0. 【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握 解方程及方程组的方法是解题的关键 (1)设m=}n=2 m+n=2 m=1 ,将原方程组可化为3m+n=4,解二元一次方程求得n=1,从而 可求得原方程组的解； x-2=2 (2)由已知得y+1=1,求解即可得答案. 【详解】()解：设m=,n=2 x m+n=2 则原方程组可化为3m+n=4, [m=1 解得n=1, 解得 2=1' x=1 所以原方程组的解为y=2: 3x+5y=11 x=2 (2)解：：关于x,y二元一次方程组ax+11y=12的解为y=1, x-2=2 x=4 y+1=1,解得： y=0. 试卷第61页，共3页 [2x+3y+4x-3y=7 3 2 48.在解方程组 2x+3y+4x-3y=5 时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元 4 3 2x+3y4x-3y 法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的 分别看作一个整 m+n=7 32 体，通过换元：设 ，可以将原方程组化为 m+=5 ，解得 m=2x+3y n=4x-3y 4+3 [m=12 m=12 [2x+3y=12 [x=3 n=6,把n=6代入m=2x+3y、n=4x-3y,得4x-3y=6,解得y=2,所以原 x=3 方程组解为y=2. 3x+by=1 x=1 [3x-2)+b(y+2)=1 (I)若方程组1ax+y=6的解为1y=1,则方程组a(x-2)+(y+2)=6的解为： ax+by=c x=k (2)若方程组a2x+b2y=c2的解为y=k-2,其中k为常数.求方程组 34x+1+2(y-2)=G 的解 ,(x+1+(y-2=6 1 x=3 【答案】(1)y=-1 x=3k-1 (2)y=2k-2. 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组： 试卷第62页，共3页 (3m+bn =1 (1)设x-2=m,y+2=n,则方程组可化为am+n=6,再进一步解方程组即可； ae+bf=c (2)设x+=0,-2到=了，则方程组可化为ae+/=,再进一步求解即可。 [3x+by=1 x=1 【详解】(1)解：ax+y=6的解为y=1, 3m+bn =1 m=1 am+n=6的解为n=1, 设x-2=m,y+2=n, 3(x-2)+b(y+2)=1 3m+bn=1 则方程组a(x-2)+(y+2)=6可变为： am+n=6, 「x-2=1 x=3 y+2=1,解得：y=-1. （2)解：设x+=e,y-2引=了， 5ax+1+4-21=6 则 4x++y-2- 1 可变为：「a,e+bf=c, ae+bf=c2 ax+by=c [x=k a2x+b2y=c2的解为y=k-2, ae+bf=c 「e=k a,e+b,f=c2的解为f=k-2, +=e 即 2y-2=k-2 1 x=3k-1 解得：y=2k-2. 试卷第63页，共3页 试卷第64页，共3页 微专题 解二元一次方程组计算题（48题）（专项训练） 题型1 用代入法解二元一次方程组 解题步骤： · 变形：选系数简单的方程，把一个未知数用含另一个未知数的代数式表示（变形成\(x=ay+b) 或 (y=ax+b) 形式）。 · 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值。 · 回代：把求出的值代回变形式，求另一个未知数的值。 · 写解：写出方程组的解。 1．解二元一次方程组：． 2．解方程组：． 3．解方程组：． 4．用代入法解下列方程组： (1) (2) 5．解方程组： 6．解方程组：． 7．解方程组：； 8．解方程组： 题型2 用加减法解二元一次方程组 解题步骤： · 化系数：把两个方程中同一个未知数的系数化成相等或互为相反数。 · 加减消元：系数相等用减，系数相反用加，消去一个未知数，得一元一次方程。 · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数。 · 回代：把求得的值代入原任意一个方程，求另一个未知数。 · 写解：规范写出方程组的解。 9．解下列方程组： 10．解方程组： 11．解方程组： 12．解方程组：． 13．计算： (1) (2) 14．解方程组 (1) (2) 15．解方程组： (1) (2) 16．解方程组： 题型3 用指定的方法解二元一次方程组 解题步骤： · 审题：看清指定方法是代入法还是加减法。 · 套用步骤：严格按题型 1（代入法）或题型 2（加减法）完整步骤解题。 · 检验写解：计算后可口头验算，规范写出最终解。 17．用指定的方法解下列方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 18．用指定的方法解方程组： (1)（用代入消元法）； (2)（用加减消元法）． 19．请用指定的方法解下列方程组． (1)（代入消元法） (2)（加减消元法） 20．解方程组： (1)；（代入消元） (2)．（加减消元） 21．按要求解方程组： (1)（代入消元） (2)；（加减消元） (3)；（加减消元） (4)（加减消元） 22．解方程组： (1)（加减消元） (2)（加减消元） 23．解方程组： (1)；（代入消元） (2)．（加减消元） 24．解下列方程组： (1)（代入消元） (2)（加减消元） 题型4 用适当的方法解二元一次方程组 解题步骤： · 判断选法 有未知数系数为1或-1、或容易变形的 → 选代入法； 同一未知数系数成倍数、易凑相等 / 相反数 → 选加减法。 · 按选定方法：走代入法或加减法完整解题步骤。 · 得出并书写方程组的解。 25．选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 26．解方程组： (1) (2) 27．解下列方程组： (1)； (2)． 28．解方程组 (1)； (2)． 29．解二元一次方程组： (1)； (2)． 30．解下列方程组： (1) (2) 31．计算： (1) (2) 32．解下列方程组： (1)； (2)． 题型5 用整体代入法解二元一次方程组 解题步骤： · 观察结构：发现方程组中有相同整式整体（如 (x+2y)、(3x-y) 重复出现）。 · 整体变形：把其中一个方程变形为整体整式 = 常数的形式。 · 整体代入：将这个整体直接代入另一个方程，消元求解。 · 分步求值：先求整体值，再拆分开求 (x、y)。 · 规范写解。 33．（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 34．【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 35．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 36．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 37．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 38．数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的，分别看作一个整体，设，，则原方程组可化为，解此方程组得，代入，，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： (1)类比探究：已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为： (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． 39．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 40．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 题型6 用换元法解二元一次方程组 解题步骤： · 设元：把方程组中复杂的相同整式设为新未知数（如令 (m=x+y，n=x-y)）。 · 换元：原方程组转化为关于(m、n) 的新二元一次方程组。 · 解新方程组：用代入或加减法求出 (m、n) 的值。 · 还原：把 (m、n) 代回所设式子，得到关于 (x、y) 的新方程组。 · 求解：解出(x、y)，规范写解。 41．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 42．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 43．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． (3)请你用上述方法解方程组 44．解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 45．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： (1)； (2)． 46．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 47．阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 48．在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $