专题05 特殊平行四边形状（期末3大知识点汇编）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 以矩形、菱形、正方形为核心，通过定义-性质-判定逻辑链构建知识体系，融合模型提炼与真题训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|8单选+3填空+5解答|判定定理应用（对角线相等的平行四边形）、直角三角形斜边中线性质|从平行四边形加直角特殊化，性质聚焦对角线与内角，判定分层（定义/三直角/对角线）| |菱形|8单选+6填空+6解答|对角线垂直性质、面积公式（对角线乘积一半）|从平行四边形加邻边相等特殊化，性质突出四边相等与对角线垂直，判定关联边与对角线| |正方形|8单选+10填空+8解答|十字架模型（垂直则相等）、半角模型（BE+DF=EF）、手拉手模型（全等与垂直）|兼具矩形菱形特性，通过模型整合性质应用，形成从基础到综合的解题路径|

八年级下册数学期末总复习讲义 第5课 特殊平行四边形 知识点梳理 考点01矩形 考点02菱形 考点03正方形 知识点01 矩形 1. 定义 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 2. 性质 矩形的两条对角线相等，四个角都是直角. 3. 判定 （1）根据定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形叫作矩形.. （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 4. 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C ． 2．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断是矩形的理论依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 【答案】C 【分析】由点O是的中点，E为的中点可得，在中，利用勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可得的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴的周长为． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，点E在上，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质可得，，，即可得是的垂直平分线，得到，利用勾股定理求出即得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，交于点，点在上，连结交于点，且．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．连接交于点O，连接，令交于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，解方程求出x的值，即可求出的值． 【详解】解：连接交于点O，连接，令交于点M， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，的坐标为，，固定点，，把矩形沿轴正方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理．由已知条件得到，，，根据勾股定理得到，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为， ∴，， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，对角线交于点为上的点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在上，连接．若，则______． 【答案】 【分析】设，由对称性得到，进而由等腰三角形性质得到，再结合三角形外角性质得到，再由对称性得到，则，，从而有，再由，由等腰三角形性质得到，由三角形内角和定理得到，利用矩形性质及等腰三角形性质得到，从而有，解得，在中，有两锐角互余得． 【详解】解：设， 将沿翻折，使点的对应点恰好落在上， ，则， 是的一个外角， ， 在矩形中，，则由对称性可知， ，， 则， ， ， 在中，则由三角形内角和定理可得， 在矩形中，，则， 即，解得， 在中，，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形中求角度，涉及对称性质、等腰三角形性质、外角性质、矩形性质、直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、解方程等知识，熟练掌握相关几何性质，找准各个角度之间的关系列方程求解是解决问题的关键． 11．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，点E，F，H分别在边，，上，，，将和梯形分别沿着，进行折叠，使点A，D重合于点G，则________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，过点H作于点K，即可得到是矩形，然后根据得到，即可得到，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：过点H作于点K， ∵是矩形， ∴，， ∴是矩形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)AC (3) 【分析】（1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，结合得到，即可根据对角线互相平分得证四边形是平行四边形； （2）根据矩形的判定方法逐项判断即可； （3）根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，进而求出，从而，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等边对等角，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则可证明四边形是平行四边形，再由勾股定理的逆定理可证明，则可证明四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则，进而求出，由矩形的性质得到，由等边对等角得到，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 15．（24-25八年级下·浙江台州·月考）【基础巩固】 （1）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的线段分别交于点E，F，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点O是对角线的中点，分别交于点E，F，连结，试猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点M，N是对角线的三等分点，过点M作分别交于点E，F，连结，已知，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质证明即可； （2）延长交于点H，由（1）得，由，可得是直角三角形，再由直角三角形斜边中线的性质即可求证； （3）过点N作于点P，可得点N是的中点，点M是的中点，由直角三角形斜边中线可得，再证明，则，由等腰三角形性质可得，则，设，则，由勾股定理建立方程 ，求出，再求解． 【详解】（1）∵是矩形，是对角线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：延长交于点H， 由（1）得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴； （3）过点N作于点P，则 ∵M，N是对角线的三等分点， ∴点N是的中点，点M是的中点， ∵， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，则， 由勾股定理得： ∴， 解得：（舍负）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确构造辅助线是解题的关键． 16．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形纸片，，．把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)求的长度； (2)求重合部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为，则，在中，，则即：，可得出答案； （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，从而得出，得出，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设为，则， 在中，， 即：， 解得：， ； （2）解：由（1）可知：， 矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，，等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）四边形是矩形，点是边的延长线上一点，连接，，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，点在边的延长线上，若是的中点，连接，，与交于点． ①求证：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）如图，连接与交于点，根据矩形的性质：，，可得，由得出，可得结论； （2）①如图，延长交延长线于，证明，得，根据等腰三角形三线合一即可得证； ②根据等腰三角形三线合一性质可得，如图，过点作于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，，，根据角平分线的性质得，证明得，，根据勾股定理得，求出，然后再根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）①证明：如图，延长交延长线于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②解：由①知：，， ∴平分， ∴， 如图，过点作于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵平分，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 在中，， 即的值为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 18．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 【答案】(1)，5 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，进行求解即可． （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴， 由折叠可得：； 故答案为：，5； （2）解：为等边三角形； 理由如下： 由折叠可知：垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：解：①如图，当点落在上时， ∵为矩形的对称轴， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠可知： ，，设，则：， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴ ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 知识点02 菱形 1. 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.. 2.性质 定理：菱形的四条边都相等. 定理：菱形的两条对角线互相垂直. 菱形的面积等于四个直角三角形的面积，也就等于对角线乘积的一半 3.判定 （1）根据定义四条边都相等的四边形就是菱形. （2）判定定理1：四条边都相等的四边形叫作菱形 （3）判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各命题中，真命题为（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查了真命题的概念以及平行四边形、菱形、矩形的判定及性质，熟练掌握判定与性质是解决本题的关键． 根据平行四边形、菱形、矩形的性质及判定定理逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A选项：平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的性质定理，正确； B选项：菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，故错误； C选项：矩形的对角线相等且互相平分，但不互相垂直，故错误； D选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，需满足“对角线相等的平行四边形”才是矩形，故错误． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理． 由菱形的性质得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，交于点， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键． 根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， A．若时，平行四边形是菱形， 不能判定，故不符合题意； B．若时，平行四边形是菱形， ∴，故符合题意； C．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意； D．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，故C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， 故不能判定平行四边形为菱形，故D符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知菱形的面积为8，它的一条对角线长为，则菱形的边长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形面积公式求出另一条对角线的长度，再利用勾股定理计算边长． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．60 C．96 D．192 【答案】C 【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，勾股定理，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（   ） A．当时，则四边形为矩形 B．当时，则四边形为矩形 C．当时，则四边形为矩形 D．当时，则四边形为菱形 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得到，求得，得到，推出，当时，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形为矩形，判断A选项；当时，由，得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形；判断B选项；当时，由，得到，求得，得到四边形为矩形；判断C选项；当时，则是等腰直角三角形，得到，但不能证得四边形是平行四边形，当时，四边形不一定为菱形，判断D选项． 【详解】解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 当时，， ， ， ， 四边形为矩形，故A选项不符合题意； 当时， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形；故B选项不符合题意； 当时， ， ， ， 四边形为矩形；故C选项不符合题意； 当时，则是等腰直角三角形， ， 但不能证得四边形是平行四边形， 当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 二、填空题 9．（24-25八年级下·浙江温州·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，，，垂足分别为点E，F．若，则等于______度． 【答案】50 【分析】首先根据菱形的性质得出∠A＝∠C，AD＝CD，结合垂直的性质进而利用全等三角形的判定证明△ADE≌△CDF，证明，根据直角三角形两锐角互余得，根据菱形的性质得，从而可求出． 【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC ∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C，AD＝CD， ∵在△AED和△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）． ∴ ∵ ∴ ∵∠AED＝∠CFD＝90° ∴ ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC ∴ ∴ ∴ 故答案为：50 【点睛】此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A＝∠C是解题关键． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则_______ 【答案】/度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质，由菱形的性质得出，进而可得出，由三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义和性质得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为_________． 【答案】12 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由推出，得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可 【详解】解：作于R，于S，连接交于点 由题意知：, ∴四边形是平行四边形, ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴ ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，．点P，点Q同时从点A出发，沿方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t，已知当时，线段上有一点M，使四边形是菱形．若运动过程中，线段上另有一点N，使四边形是菱形，则此时_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，菱形的性质并分情况求解是解题的关键． 当时，，则，由四边形是菱形，可得，由勾股定理得，，当时，，，由勾股定理得，，由四边形是菱形，可得，即，计算求出满足要求的解即可；当时，，；同理可得，即，计算求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 当时，， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴，即， 解得，或（舍去）； 当时，， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，即， 解得，， 综上所述，的值为． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，，点D从点B出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点C匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒．过点D作于点F，若平面内存在一点H，使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，则t的值为______ ． 【答案】或或5 【分析】首先求出，，得到，，表示出，过点E作于点M，求出，根据题意结合勾股定理分别表示出，及，再根据菱形性质分情况列方程计算即可． 【详解】解：在等腰 中，，， ∴，， ∵设点D、E运动的时间为秒，则，， ，， ， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ∴， ∵平面内存在一点H，使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形， 分三种情况：①当时，则， ∴， 解得：， ， ； ②当时，则， ， 解得：（不合题意舍去）， ③当时，则， ， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述，的值为或或5． 故答案为：或或5． 【点睛】本题考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（24-25八年级下·浙江·期末）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为4，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的最大值是______． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和正三角形的特点可证得，继而可得为正三角形，求出，要使的面积最大，则的面积最小，则为最短，当时，为最短，即N与H重合时， 得到，即可求得答案． 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 【详解】解：由题意可知，菱形的边长为， ∴， ∴和都为正三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为正三角形， 过点B作，如图： ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的面积最大，则的面积最小，则为最短， ∴当时，为最短，即N与H重合时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，矩形中，，分别以点和点为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧相交于两点，连接分别交于点，连接．    (1)求证：四边形为菱形； (2)求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查作图－基本作图，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可； （2）设，则，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， 由作图可得，垂直平分， ， ， ， ， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵垂直平分， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴菱形的面积为． 16．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，点P在的平分线上，交于点B． 任务：用尺规在射线上确定一点C，使得四边形是菱形． 小江：如图2，以点A为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小北：以点P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则四边形是菱形． 小江：小北，我认为你的作法有问题哦， 小北：是吗？让我想想……哦！我明白了． (1)证明：小江所作的四边形是菱形． (2)请指出小北作法中存在的问题，并说明理由， 【答案】(1)证明见解析 (2)存在的问题及理由见解析 【分析】此题考查了菱形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）由角平分线和平行线得到，推出，然后结合，得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据以P为圆心为半径作弧，与可能会有两个交点即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由作法可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：以P为圆心为半径作弧，与可能会有两个交点，其中只有一个是菱形而另一个，不满足要求． 17．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，其中，，过点A作于点E． (1)若，求边的长． (2)在第（1）小题的条件下，点F为线段上的动点，连结，，当的面积为时，求线段的长． (3)设，当x，y值变化时，代数式的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或 (3)不变，2 【分析】（1）根据菱形的判定定理得到为菱形，根据菱形的性质得到，再根据勾股定理求的长； （2）由（1）得 ，，推出 是等边三角形，求得，根据三角形的面积得到边上的高为1，分两种情况讨论：①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即；②当点F在右侧，如图，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，求得，即，设，则，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，过点D作延长线的垂线，垂足为点H，在中，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，， ∴为菱形， ∴， ∴在中，； （2）解：在菱形中，由（1）得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴边上的高为1， 分以下两种情况： ①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即， ②当点F在右侧，如图1，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点， ∴， ∴， 设，则， 在中有， ∴， 解得：， 综上所述，或； （3）解：不变，理由如下： 如图：过点D作延长线的垂线，垂足为点H， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 由，得， ∴即． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，则可证明，再证明，即可证明，得到． （2）连接交于点O，由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （3）①由等边对等角得到，导角证明，得到，再证明，得到，证明，得到，则可证明； ②连接交于点O， 则，，设，则，由菱形的性质得到，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ②连接交于点O， 则，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的边长为． 19．（24-25八年级下·浙江金华·期末）小数在复习浙教版教材八下第页第题后，进行了反思和探究． 【反思】如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．若，，求的长． 【探究】小数改变条件和纸片的形状，对叠合矩形进行了如下探究： （1）如图，若，，求的长． （2）如图，菱形纸片按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． 【答案】反思：；探究：（1）；（2） 【分析】反思：连接，利用矩形的性质和勾股定理求得，利用折叠的性质得到，利用平行四边形的判定与性质得到； （1）连接，利用全等三角形的判定与性质得到，利用矩形的性质得到，，设，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论； （2）连接交于点，过点作于点，利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，利用三角形的面积公式求得，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，则． 【详解】解：反思：连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， 折叠可由得：， 同理， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ； 探究：（1）连接，如图， 由【反思】可知：，，， ， 在和中， ， ， ． ，， ，， 设，则， 由勾股定理得：， ， ， ， 解得：，不合题意，舍去， ． 解：连接交于点，过点作于点，如图， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 由【反思】得：， ． 在菱形中，， ， ，， ， ． 由折叠可知：， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 20．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点．在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若，，求菱形的面积． (2)如图2，若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，若点落在上，连接，已知， ①求的长； ②直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①；② 【分析】（1）根据菱形的性质可知，，，，利用勾股定理得到，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可； （2）由菱形的性质得出，由折叠的性质可知，，从而得到，再根据等角与等边求解即可； （3）①过点作于点，过点作于点，由已知条件可得，，根据菱形和折叠的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，求出 ，进而得出，证明四边形是矩形，得到， ，利用勾股定理求解即可； ②延长、交于点，令与得交点为，连接，由①可知，，，由折叠的性质可知，，，根据勾股定理可得，证明，推出，，再根据等高三角形面积比等于对应底之比，得到，从而求出，再根据对角线乘积的一半求面积即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ②如图，延长、交于点，令与得交点为，连接， 由①可知，，， 由折叠的性质可知，，， ， ， ，， ， ，， ，， 和是等高三角形，和是等高三角形，和是等高三角形， ，，， ， ， ， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，掌握相关知识点是解题关键． 知识点03 正方形 1. 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.. 2.性质和判定 （1）正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质； （2）要判定一个四边形是正方形可以判定它既是矩形又是菱形. 有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形. 3.正方形内十字架模型 基本 模型 若AE⏊BF则AE=BF 若EF⏊MNF则EF=MN 反之也成立 模型 演变 AE⏊MN于点G，若G点在BD上 AE=MN→AG=NG 4.正方形内半角模型 正方形内 半角模型 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 5.手拉手模型 图例 G 两个正方形共顶点，则△ABE≌△CBG，所以AE=DG，AE⏊CG若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 5.对角互补模型 图例 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 若∠EAF=45则BE+DF=EF 反之也成立 真题汇编 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 【答案】A 【分析】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理可得，四个三角形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是23，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴， ∴四个全等的三角形的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴的值是43， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，正方形的性质，三角形的面积，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 8．（24-25八年级下·湖南张家界·期末）下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意； 故选；B． 二、填空题 9．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 10．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，的面积是________． 【答案】// 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造合适的全等三角形是解题的关键． 先求，过点作交的延长线于点，由正方形的性质可求解，利用证明可得，再根据三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 12．（24-25八年级下·北京·期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有__________． 【答案】①②③④ 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在直角中，，在直角中，，在直角中，，从而即可得出结论． 【详解】解：过作于点， 是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确，， ，，故③正确， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， 即，故②正确， 在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，则，可得，可得，故③符合题意；将逆时针旋转交于点，由，可得，证明，则在中，，代入即可求证；故④不符合题意. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴ ∴， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 如图；将逆时针旋转交于点， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴，即，故④不符合题意； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，本题难度较大，解题关键在于熟悉各个知识点的相关内容是解本题的关键. 14．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 15．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，已知正方形，以为斜边在正方形外作等腰直角，连接与交于点F， ， ______． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，连接，连接交于，证明，求解，，可得，证明，，可得． 【详解】解：连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，点G在运动过程中， （1）的值为__________； （2）线段的最小值为__________． 【答案】 4 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键： （1）证明为等腰直角三角形，得到，证明四边形为矩形，得到，进而得到，即可得出结果； （2）连接，根据矩形的性质得到，进而得到当时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为4， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴，， ∴； 故答案为：4； （2）连接， 由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵G是对角线上一动点， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______． 【答案】2 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定． 过点作于点，如图，根据正方形的性质得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出，利用基本作图得平分，则根据角平分线的性质得到，，然后证明得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 四边形为正方形， ， 在中，， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质．作点E关于的对称点G，连接，则，，可得的最小值为的长，再根据题意可得点B，C，G三点共线，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点B，C，G三点共线， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 三、解答题 19．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键. ()根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； ()根据矩形的性质可得，结合正方形的判定和性质即可求解； 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 20．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 21．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在正方形中，点E在线段上，且不与点B重合，且．过点F作交的延长线于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质可得，再由已知条件利用直角三角形两锐角互余可求得的度数，再根据利用平角的定义可求出的度数； （2）利用直角三角形两锐角互余及平角的定义得到，证明推导出，，利用正方形的性质可得到，则，进而得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：由题意知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴． 22．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，正方形中，E是上一点，连接，作交于F． (1)求证：； (2)若， ①探究与的数量关系； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）证明，推出，，利用四边形内角和定理求得，再利用等角的余角相等证明，则可得； （2）①作于点，作于点，利用等腰三角形的性质求得，，再求得是等腰直角三角形，据此求解即可； ②证明，根据四边形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 25．（24-25八年级下·吉林·期末）正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 【初步探究】 （1）如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________； 【探索发现】 （2）点在线段上运动时，如图1，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段的延长线上运动时，如图2，则线段，和三者之间的数量关系为：___________； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，若，，直接写出四边形的面积___________． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）；（4）10 【分析】（1）由可证，可得，，即可求解； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得结论； （3）由可证，可得，可得结论； （4）利用全等三角形的性质和勾股定理可求，，的长，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）当点P在线段上运动时，，理由如下： 当点P在线段上运动时，如图1，由（1）可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ， ∴； （3）当点P在线段的延长线上运动时，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：10． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学期末总复习讲义 第5课特殊平行四边形 知识点梳理 考点01矩形 考点02菱形 考点03正方形 知识点01 矩形 1.定义有一个内角是直角的平行四边形是矩形 2.性质矩形的两条对角线相等，四个角都是直角， 3.判定 (1)根据定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形 (2)判定定理1：有三个角是直角的四边形叫作矩形. (3)判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4.直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 真题汇编 一、单选题 1.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形， 除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是() NL 345 A.对角线相等的四边形是矩形 B.两点之间，线段最短 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.两点确定一条直线 2.(24-25八年级下·浙江月考)如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直， 只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了.这种检测方法用到的数学依据是() 1/23 B A.两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D.对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 3.(2425八年级下·浙江宁波·期中)如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点.若 AB=6,BC=8,则△BOE的周长为() A E D B A.10 B.8+2V5 C.8+2W13 D.14 4.(23-24八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAC, AE=CE,则∠BAC的度数为() A 0 B E A.30° B.45° C.60° D.75 5.(24-25九年级上山西晋中期末)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点0，过点0作 BD的垂线交BC于点F.若∠OBF=28°，则∠F0C的度数为() D O 2/23 A.24° B.28° C.34° D.36 6.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,过点O作 EF⊥AC,分别交边AD、BC于点E、F.已知CD=4cm,CF=5cm,则矩形ABCD的面积为() D A.24cm2 B.28cm2 C.32cm2 D.36cm2 7.(24-25八年级下·江苏苏州月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D 重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,则PE+PF的值为() D E B C A. 5 B. 24 C.5 5 8.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图，在矩形ABCD中，DE1AC交BC于点E,点F在CD上，连 结BF交DE于点G,且BG=GF=DF,若AC=4V6,则CD的长为() G E A.6 B.8 C.26 D.36 二、填空题 9.（24-25八年级下·浙江绍兴期末)我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为-2,0)，B的坐标为3，O),AD=4,固定点A,B,把矩形沿x轴 正方向推，使点D落在y轴正半轴上点D处，则点C的对应点C的坐标为 3/23 B 10.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E为AB上的点， 将△EBC沿CE翻折，使点B的对应点恰好落在AC上，连接BF,若BF=BO,则LACB=°. O B 11.(24-25八年级下浙江台州期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F,H分别在边AB,AD,BC上， AE=BE=1,AD=4,将△AEF和梯形CDFH分别沿着EF,FH进行折叠，使点A,D重合于点G,则 CH= F A:- D E BL G分 H 三、解答题 12.(25-26八年级上·浙江宁波期末)如图，已知口ABCD,延长AB到E,使BE=AB,连接BD,ED, EC,若ED=AD, D (I)求证：四边形BECD是矩形； (2)连接AC,若AD=6,CD=3,求AC的长. 13.(24-25八年级下浙江宁波期中)如图，在口ABCD中，E,F为对角线AC上的两点（点E在点F的 上方)，AE=CF. 4/23 B E 0 (I)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)连接BD,下列条件能判定四边形BEDF为矩形的是 (多选). A.DE⊥BE B.DE=BE C.EF=BD D.DB⊥EF (3)当DE⊥AC时，且EF=8,DF=10,求B,D两点之间的距离. 14.(24-25八年级下·浙江杭州期中)如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, A0=C0=5,B0=D0,且AB=6,BC=8. D B (I)求证：四边形ABCD是矩形 (2)若LADF:LFDC=3:2,DF⊥AC于点E,求∠BDF的度数. 15.(24-25八年级下·浙江台州·月考)【基础巩固】 (1)如图1，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的线段分别交AD,BC于点E,F,求 证：OE=OF. 【尝试应用】 (2)如图2，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF∥AB分别交AD,BC于点E,F,连结OE,OF ,试猜想OE和OF的数量关系，并证明你的猜想. 【拓展提高】 (3)如图3，在矩形ABCD中，点M,N是对角线BD的三等分点，过点M作EF∥AB分别交AD,BC于点E, F,连结EN,FN,己知EN=5,FN=√10，求线段MF的长. 5/23 E D B F 图1 图2 图3 16.(24-25八年级上江苏盐城期中)如图，长方形纸片ABCD,AB=8cm,AD=16cm.把长方形纸片 沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C的位置上. C (I)求AE的长度： (2)求重合部分的面积. 17.(24-25八年级下浙江杭州期中)四边形ABCD是矩形，点E是边BC的延长线上一点，连接AC, DE,BE=AC. D B 图1 图2 备用图 (1)如图1，若LACB=40°，求∠E的度数； (2)如图2，点E在边BC的延长线上，若M是DE的中点，连接AM,CM,AM与CD交于点N. ①求证：AM⊥MC; ②若AB=3,BC=4,求AN的值. 18.(24-25八年级下·吉林长春·开学考试)折纸的过程蕴含着丰富的数学知识.如图1，有一张矩形纸片 ABCD,AB=5cm,对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平. 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，且折痕过点B,得到折痕BM. 6/23 B B 图1 图2 图3 (1)在图3中，BE= cm,BN cm」 (2)在图3中，连接AW,试判断△ABN的形状，并说明理由. (3)若在矩形ABCD中，AB=5cm,AD=8cm,点P在边AD上，将△ABP沿着BP折叠，若点A的对应点 A恰落在矩形ABCD的对称轴上，则AP= cm 知识点02 菱形 1.定义有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 2.性质 定理：菱形的四条边都相等。 定理：菱形的两条对角线互相垂直. 菱形的面积等于四个直角三角形的面积，也就等于对角线乘积的一半 3.判定 (1)根据定义四条边都相等的四边形就是菱形 (2)判定定理1：四条边都相等的四边形叫作菱形 (3)判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 真题汇编 一、单选题 1.(24-25八年级下浙江台州期末)下列各命题中，真命题为() A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线相等 C.矩形的对角线互相垂直 D.对角线相等的四边形是矩形 2.(24-25八年级下，浙江温州期末)如图，在菱形ABCD中，AC,BD交于点0.若AO=3,BO=4,则 BC的长为() 7/23 A.5 B.6 C.8 D.10 3.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点 O,AO=CO,BO=DO.( D A.若AC⊥BD,则AO=BO B.若AC⊥BD,则∠BAC=∠DAC C.若AC=BD,则LABD=∠CBD D.若AC=BD,则AB=BC 4.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.下列条 件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是() A.AB=BC B.AC⊥BD C.BD平分∠ADCD.∠ADC=60 5.(24-25八年级下·浙江杭州期末)已知菱形ABCD的面积为8，它的一条对角线长为2√2，则菱形 ABCD的边长为() A.2 B.√6 C.√10 D.4 6.(24-25八年级下江苏无锡月考)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DE⊥AB 于点E,连接OE,若AB=10,OE=6,则菱形ABCD的面积为() D B A.48 B.60 C.96 D.192 7.(24-25八年级下·湖北武汉·期中)如图，在ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC, 8/23 ∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G,连接AF,AG.则下列结论错 误的是() D B A.当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形B.当AD=BD时，则四边形AGBF为矩形 C.当AB=FG时，则四边形AGBF为矩形D.当BF=BG时，则四边形AGBF为菱形 8.(24-25八年级下·浙江丽水·期末)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E在CD边上，点F在菱形 ABCD外部，且满足EF∥AD,CE=EF,连结AF,CF,取AF的中点G,连结BG,AC. ①△CEF是等边三角形；②AG=CG;③BG垂直平分AC;④2BG=AD+CE. D G B 其中正确的结论有()· A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9.(24-25八年级下·浙江温州模拟预测)如图，在菱形ABCD中，DE1AB,DF⊥BC,垂足分别为 点E,F.若LADE+∠CDF=8O°，则∠EDF等于度. D B 10.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E,交BD于点F, 若∠C=140°，则∠BFA= 9/23 A F E C 11.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边 形ABCD,若AB=3cm,则四边形ABCD的周长为 cm. A 12.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6.点P,点Q同时从点A出发，沿 AB方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B,待点P继续运动到点 B时结束运动.设运动时间为t,已知当t=1时，线段DC上有一点M,使四边形PQMD是菱形.若运动过 程中，线段DC上另有一点N,使四边形PQD是菱形，则此时t= 13.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,点D从点B 出发沿BA方向以√2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度向点C匀 速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒.过点D作 DF上BC于点F,若平面内存在一点H,使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，则t的值为 10/23 A E D ◇ C F B 14.(24-25八年级下·浙江·期末)如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”.如 图，已知“完美菱形”ABCD的边长为4，BD是它的较短对角线，点M、N分别是边AD,CD上的两个动 点，且满足AM+CN=4,设△DMN的面积为S,则S的最大值是 M 三、解答题 15.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,分别以点A和点C为圆心， 大于)4C同样长为半径作弧，两弧相交于MN两点，连接MN分别交BCD于京E,F,连接4E,CF. My A B C (I)求证：四边形AECF为菱形： (2)求菱形AECF的面积. 16.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图1，点P在∠MAN的平分线上，PB∥AN交AM于点B. 任务：用尺规在射线AN上确定一点C,使得四边形ABPC是菱形 小江：如图2，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AN于点C,连结PC,则四边形ABPC是菱形. 小北：以点P为圆心，PB为半径作弧，交AN于点C,连结PC,则四边形ABPC是菱形 11/23 小江：小北，我认为你的作法有问题哦， 小北：是吗？让我想想哦！我明白了. M/ B B C 图1 图2 (I)证明：小江所作的四边形ABPC是菱形， (2)请指出小北作法中存在的问题，并说明理由， 17.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)如图，在▣ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,其中AC=2, BD=23,过点A作AE⊥BC于点E. E 备用图 (I)若AC⊥BD,求边AB的长 (②)在第(I)小题的条件下，点F为线段BD上的动点，连结AF,EF,当△AFE的面积为5时，求线段 2 OF的长. (3)设BE=x,BC=y,当x,y值变化时，代数式y的值是否发生变化？请说明理由. 18.(24-25八年级下浙江嘉兴期末)如图1，在菱形ABCD中，E是AC上一点，CE>AE,连接DE, 过点B作BF∥DE交AC于点F. D D B (图1) (图2) (图3) (I)求证：AE=CF; (2)如图2，连接BE,DF,求证：四边形DEBF是菱形； 12/23 (3)如图3，在(2)的条件下，延长DE交AB于点G,连接FG,CE=CD. ①探究FG与DF的数量关系，并说明理由； ②若AE=2EF,且FG=3,求菱形ABCD的边长， 19.(24-25八年级下·浙江金华期末)小数在复习浙教版教材八下第117页第5题后，进行了反思和探究. 【反思】如图1，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的矩形EFGH,这样 的矩形EFGH称为叠合矩形.若EH=3cm,EF=4cm,求AD的长， 【探究】小数改变条件和纸片的形状，对叠合矩形进行了如下探究： (1)如图1，若AB=6cm,AD=10cm,求AH的长. (2)如图2，菱形纸片ABCD按图2的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EH=8cm,EF=6cm,求 MW的长. G 图1 图2 20.(24-25八年级下浙江金华期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.在CD上取 点E,连接AE,将ADE沿AE折叠，点D的对应点为F. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=6,AC=4,求菱形ABCD的面积. (2)如图2，若点F落在BC的延长线上，求证：GF=GC. (3)如图3，若点F落在BC上，连接DF,已知BF=2FC=2, ①求DF的长； ②直接写出四边形ADEF的面积. 13/23 知识点03 正方形 1.定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2.性质和判定 (1)正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质； (2)要判定一个四边形是正方形可以判定它既是矩形又是菱形 有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形： 有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形 3.正方形内十字架模型 A M A M 基本 G 模型 G B 若AE⊥BF则AE-BF若EFOMNF则EF-N反之也成立 P D D AE⊥MN于点G, 模型 E 若G点在BD上 演变 AE=N→ 4、， Q 4.正方形内半角模型 14/23 A 正方形内 半角模型 B C E M B 若∠EAF=45·则BE+DF=EF反之也成立 5.手拉手模型 D C D 图例 E A E B B 两个正方形共顶点，则△ABE兰△CBG,所以AE=DG,AE⊥CG 5.对角互补模型 A A D C E 图例 B E C 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等 真题汇编 一、单选题 1.(24-25八年级下·上海期末)如图，用四根相同长度的木条制作成正方形ABCD,测得对角线AC长为 5√2，如果将此正方形变形为菱形，且∠DAB=60°，那么菱形对角线AC长为() 15/23 D A.10 B.5√6 c.55 D.5W2 2.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在Rt△ABC中，LC=90°，AC=4,BC=3,分别以AC,AB 为边向外作正方形ACDE,，正方形ABMN,连接NE,则NE的长为() M D B A.10 B.9 C.√73 D.4i 3.(24-25八年级下·四川绵阳·期末)如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角 形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形.若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角 形的两直角边长为a,b,则(a+b)的值为() A.43 B.45 C.46 D.49 4.(24-25八年级下·山东东营·期末)如图，正方形ABCD中，AB=12,点E在边BC上，BE=EC,将 △DCE沿DE对折至△DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG、BF,给出以下结论：①△DAG≌△DFG ;②BG=2AG;③SADGE=120;④BF∥DE.其中正确结论的个数是( A D B A.4 B.3 C.2 D.1 16/23 5.(24-25八年级下山东东营·期末)下列说法不正确的是() A.平行四边形的对边相等 B.菱形的对角相等 C.矩形的对角线互相垂直 D.正方形的四条边均相等 6.(24-25八年级下山东济南期末)如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直 线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=8,EF=4V5,则 AB=() A.4 B.4+√6 C.2+2V6 D.4+2√6 7.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，口ABCD的对角线相交于点0，下列条件不能判定口ABCD是 正方形的是() 0 A.AC=BD,AC⊥BD B.AB=BC,AC⊥BD C.AD=DC,AB⊥BC D.OA=OD,AC⊥BD 8.(24-25八年级下·湖南张家界·期末)下列命题中正确的是() A.四边都相等的四边形是正方形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是矩形 二、填空题 9.(24-25八年级下·上海虹口期末)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD交于点O,P为 边BC上一点，且BP=OB,则CP的长为 17/23 D P 10.(24-25八年级下·上海期末)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD和BC上， 将该正方形沿着EF翻折，点A落在A处，点B恰好落在边CD上的点B处，如果四边形ABFE的面积为6， 那么△BFC的面积是 D B------- 11.(24-25八年级下·广东深圳期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3AC=15,分别以AB、 AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,△AEG的面积是 E G C F 12.(24-25八年级下·北京·期末)如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE1BC于点E, PF⊥CD于点F,连接EF,给出下列四个结论：①AP=EF;②PD=√2EC;③∠PFE=∠BAP;④ PB2+PD2=2PA2.其中正确的有 D C E 13.(24-25八年级下，吉林长春期末)如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.点 E在线段OA上.连结BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P,连接OF,给出下面四个结论：① ∠OCP=∠OBE;②CP=BE;③当CE=CB时，OF=EF;④EF2+PF2=2OF2.上述结论中，正确结 18/23 论的序号有 D B 14.(22-23八年级下山东临沂，期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,以O为顶点的正方形 OEGF的两边OE,OF分别交正方形的边AB、BC于点M、N,记△AOM的面积为S,△CON的面积为S2, 若正方形的边长AB=10、S,=16,则S,的大小为 15.(24-25八年级下·安微马鞍山期末)如图，已知正方形ABCD,以CD为斜边在正方形外作等腰直角 ACDE,连接AE与BD交于点F,DE=2,EF= D E 16.(24-25八年级下·湖北黄冈·期末)如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点， GE⊥CD于点E,GF⊥BC于点F,连接EF,点G在运动过程中， A D B (1)GE+GF的值为 (2)线段EF的最小值为 19/23 17.(24-25八年级下·四川成都期末)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,以点C为圆心， 适当长为半径面弧，分别交4C,8C于点E、P,分别以点E、F为题心，大于F长为半径画弧，两 弧交于点G,连接CG并延长，交DB于M点，交AB于N点，若AN=2√2，则线段BM= G M 18.(24-25八年级下·甘肃陇南期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在BC上且CE=1,点F 是CD边上的动点，则AF+EF的最小值为· D 三、解答题 19.(24-25八年级下陕西汉中期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点C作 BD的平行线，过点B作AC的平行线，两直线相交于点E. (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)当∠ABC= 时，四边形OBEC是正方形，并证明你的结论 20.(24-25八年级下·上海浦东新期末)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上， DF⊥AB,垂足为F,且DF=CD,点E为线段AD的中点，过点F作FG∥CE交射线AD于G,连接CG (1)求证：∠CEG=∠FEG; 20/23 (2)求证：四边形CEFG是菱形. (3)当AC=BC时，求证：四边形CEFG是正方形. 21.(24-25八年级下·云南临沧期末)如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，且不与点B重合， AE⊥EF且AE=EF.过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G,连接CF. D E G (1)若∠BAE=26°，求∠FEG的度数： (2)求证：CG=FG. 22.(24-25八年级下·四川南充期末)如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，连接BE、DE,作 EF⊥DE交BC于F. E B F C (I)求证：BE=EF; (2)若∠BEF=2LCEF, ①探究BF与CF的数量关系： ②若AB=a,求四边形CDEF的面积. 23.(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)正方形ABCD的边长为m,点E是边BC上一点（不与端点重合）， 将aABE沿AE所在直线对折至△AGE,延长EG交边CD于点F,连接AF,可得△ADF≌△AGF,连接 CG. B E B E 图1 图2 (1)∠EAF=_°； 21/23 (2)如图1，若m=9,点F为边CD的中点，求△CEG的面积： (③如图2，若DF-写m,别新A与CG是否平行？并说明莲由： (4)请直接写出BE·DF+AG·EF=_(用含m的式子表示)， 24.(24-25八年级下·山东淄博期末)在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题， 形成科学的思维习惯. O A G N B A' B A' C B 图1 图2 图3 备用图 (1)观察发现 如图1，将正方形ABCD折叠，使点A的对应点A落在BC边上，折痕分别与AB,CD交于点E,F,则 折痕EF和AA'的数量和位置关系分别是 (2)类比探究 在(1)的条件下，设EF与AA'交于点O,连接BD交EF于点G,如图2.求证：OG=OE+GF; (3)拓展应用 如图3，正方形ABCD的边长为9，点M是AB边上的一动点，点N在边CD上，且CN=4.连接MN,将 正方形ABCD沿MN折叠，使点A,D分别落在点P,Q处，当点Q落在直线BC上时，请直接写出线段 AM的长 25.(24-25八年级下·吉林期末)正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作 正方形DPFE,连接CE, 图1 图2 图3 【初步探究】 (1)如图1，则AP与CE的数量关系是 ,AP与CE的位置关系为 【探索发现】 (2)点P在线段AC上运动时，如图1，探究线段CD,PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由； 22/23 (3)点P在线段AC的延长线上运动时，如图2，则线段CD,PC和CE三者之间的数量关系为： ； 【拓展延伸】 (4)如图3，连接AE,若AB=√，AE=√29，直接写出四边形DCPE的面积 23/23