专题01 二次根式（期末5大知识点汇编）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

八年级下册数学期末总复习讲义 第1课 二次根式 知识点梳理 考点01二次根式的意义 考点02二次根式的性质 考点03二次根式的乘除 考点04二次根式的加减 考点05二次根式的混合运算 知识点01 二次根式的意义 1. 定义 一般地，我们把形如（a≥0）表示算术平方根的式子叫做二次根式"”称为二次根号. 2. 重点剖析：表示a的算术平方根，因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a≥0. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数求出x的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 选项中只有满足． 故选：D． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若二次根式有意义，则字母的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴有意义需满足 ， 解不等式得． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．5 【答案】D 【详解】解：由题意得：， 解得； 四个选项中，只有D选项满足题意． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子．善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如，都是根分式．结合上述信息，关于根分式与，下列结论中正确的选项是（   ） ①根分式A中的的取值范围是 ②根分式B中的的取值范围是 ③不存在的值，使得两个根分式满足 A．② B．②③ C．①②③ D．③ 【答案】B 【分析】分别根据二次根式有意义的条件、分式分母不为零的要求判断结论①②，根据题意列分式方程，解方程检验后判断结论③即可得到答案. 【详解】解：①对于根分式， ∵二次根式被开方数非负，分式分母不能为零， ∴， 解得且，故①错误. ②对于根分式， ∵， ∴，对任意实数都满足二次根式有意义的要求， 只需满足分母不为零，即，得，故②正确； ③若，代入得： ， 整理得， ∵，等式两边同乘得：， 整理得， 解得， 检验：当时，分母，是原方程的增根，原方程无解， ∴不存在的值满足，故③正确； 综上，正确的结论是②③． 二、填空题 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）当二次根式取最小值时，_______． 【答案】5 【分析】根据二次根式的非负性，可得二次根式的最小值为，令被开方数等于，即可求出的值． 【详解】当二次根式取最小值时，， ∴， 解得． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若，则的值是______． 【答案】5 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 三、解答题 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）（1）若实数满足等式，求的值； （2）已知，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查代数式求值，涉及非负式和为零的条件、立方根、二次根式有意义的条件、平方根等知识，熟记相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据非负式和为零的条件求出实数，代入代数式，根据立方根定义求解即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件求出实数，代入代数式，将值代入代数式，根据平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ，解得， ； （2）， ，且， ，则， ，则的平方根是． 10．（24-25八年级下·河南商丘·月考）完成如下学习表： 阅读 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， ①且②． 由①得：，由②得：， ∴取公共解集得：． 应用 若实数，满足，求： （）的值； （）的值． 【答案】（）；（） 【分析】（）仿照阅读解答即可； （）由（）所求的值求出的值，进而代入二次根式计算即可求解； 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，①且②， 由①得，， 由②得， ∴取公共解集得，； （）∵， ∴， ∴． 知识点02 二次根式的性质 1. 性质 （1） （2） （3） =（a） （4） （a） 难点1剖析：性质1和性质2都是根据平方根的定义得到的，表示a的算术平方根，表示的算术平方根，当a<0时因为=，所以==-a 难点2剖析：根据积的乘方的性质有 2. 最简二次根式 我们把根号内不含分母，也不含开方开的尽的因数或因式的二次根式，叫作最简二次根式。 难点剖析：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。如，不是最简二次根式，化成也不是最简二次根式，必须化为.. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判定即可．最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），依次对选项验证即可． 【详解】解：选项A：的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：，被开方数含分母，不符合定义，不是最简二次根式，不符合题意； 选项C：的被开方数是整数3，不含能开得尽方的因数，符合定义，是最简二次根式，符合题意； 选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，不符合定义，不是最简二次根式，不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）二次根式的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ，计算正确； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，原计算错误． 4．（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（   ） A．4052 B．4054 C．4056 D．2026 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质可得，再根据与的大小关系化简，再分别计算不同范围对应的值总和，最后相加即可解答． 【详解】解：∵ ∴ 分情况化简： 当时 ∵ ∴ 将代入得，将代入得 ∴时，值总和为； 当时 ∵ ∴ ∴从到，共有个取值，值总和为． ∴所有值的总和为，即选项B符合题意． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 6．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，已知以等腰的斜边为直角边向外作第1个等腰，再以等腰的斜边为直角边向外作第2个等腰，……，以此类推，若，则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的性质找出规律，第个等腰直角三角形的斜边长为，即可求解； 【详解】解：在等腰中，， 由勾股定理得， 在第①个等腰直角三角形中，，； 在第②个等腰直角三角形中，，； 在第③个等腰直角三角形中，，； 故可得规律：第个等腰直角三角形的斜边长为， 则第2026个等腰直角三角形的斜边长为． 二、填空题 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）的值为_____． 【答案】6 【详解】解：． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 【答案】 【分析】根据数轴上的点右边的数总是大于左边的数，根据数轴即可确定a，b的符号，以及绝对值的大小，即可进行化简． 【详解】解：根据数轴可知：， 所以，， 所以， ． 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值． 【详解】解：， ∵的结果为正整数， ∴是正整数， ∴是完全平方数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为， 故答案为：3． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值是____________． 【答案】4或5或 【分析】当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：在中，， ； ①当时，如图， ； ②当时，如图， ， 则； ③当时，如图， ，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，t的值是4或5或 ． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，化简：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合，进行化简求值即可． 【详解】解：原式 ． ， ，， 原式 ． 12．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简各个数，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 13．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)猜想的结果； (2)按此规律，若为正整数），则的值为_______． (3)请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 【答案】(1) (2) (3)（，为正整数），证明见解析. 【分析】（1）根据题干数据即可求解； （2）根据题干总结规律可得：，即可求解； （3）利用二次根式的性质证明即可． 【详解】（1）解：由，，得到 （2）解：根据题干总结规律可得，等号右边二次根式根号外的整数等于被开方数的分子，被开方数的分母等于根号外的整数的平方减1， ∵ ∴， 解得：， ∴． （3）解：（，为正整数） 证明：． 14．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 【答案】(1)①和②都是“阶梯根式三角形” (2)是直角三角形，理由见详解 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理的逆定理等知识，关键是紧扣“阶梯根式三角形”的定义，通过化简变形验证三边比例；利用勾股定理的逆定理，通过设参数表达式验证三角形是否为直角三角形． （1）①先将三边、、按从小到大排序，再将三边同时除以最小边，化简比例后验证是否符合的定义． ②先对三边化简为最简二次根式，再化简比例，验证是否符合“阶梯根式三角形”的定义． （2）根据定义设三边为、、，分别计算三边的平方，验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，从而利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形． 【详解】（1）解：①将三边、、按从小到大排列为，，． (两边同除以)，符合“阶梯根式三角形”的定义，故①是阶梯根式三角形； ②将三边、、化简为、、，按从小到大排列为，，． ，符合定义，故②是阶梯根式三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： 设“阶梯根式三角形”的三边为，，． ，且， ，满足勾股定理的逆定理， “阶梯根式三角形”是直角三角形； 知识点03 二次根式的乘除法 1. 二次根式的乘法 （1）乘法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 难点剖析：教材中说没有特别说明时，所有的字母都表示正数。所以解题时一定要关注是否有特别说明和隐含说明，譬如：化简时，因为要有意义，所以,所以这里隐含了一个条件就是a 2. 二次根式的除法 （1）除法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式的乘除和加减法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：∵，∴ A错误； ∵，∴ B错误； ∵，∴ C错误； ∵，∴ D正确； 故选：D． 二、填空题 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解． 【详解】解：， 故答案为． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：＝____________． 【答案】60 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式乘法法则，先确定符号为正，再计算数值部分． 【详解】原式 = = ． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 【答案】 8 【分析】根据坡比的定义，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，， ∵米 ∴米， 由勾股定理，得（米）. 三、解答题 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法、除法运算法则求出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； (2)从第_________步开始出现错误； (3)请写出正确的计算过程． 【答案】(1) (2)一 (3)见解析 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质． （1）根据二次根式的除法运算法则进行分析； （2）第一步错误； （3）原式先化简二次根式，然后算除法，再算加减法． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第一步开始出现了错误，分母只有一个； 故答案为：一； （3）解： ． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式比较大小的方法可得，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，可估算出，则，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵a和b为两个连续的正整数， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【详解】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 知识点04 二次根式的加减法 （1） 加减运算的步骤 ①化简二次根式 ②利用分配律合并同类二次根式 （2） 易错点剖析 二次根式加减运算法则类似于整式的加减运算,计算一定要依据二次根式性质和相关法则，不能随意杜撰法则。 譬如：+；2×；+ 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】选项A：，计算正确； 选项B：与不是同类二次根式，无法合并，故，计算错误； 选项C：，故计算错误； 选项D：，故计算错误． 2．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算与性质，根据同类项合并规则和算术平方根的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴A计算错误. B选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴B计算错误. C选项：∵算术平方根的结果为非负数，表示的算术平方根，∴，C计算错误. D选项：∵，∴D计算正确. 二、填空题 3．（24-25八年级下·广东江门·月考）______；_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 ；. 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：， ， ， ∴原式 ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广东·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，减法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简以及运算乘法，最后运算减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简以及运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； （2）分子分母同时乘以即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点05 二次根式的混合运算 (1)运算顺序 ①二次根式混合运算顺序类似于整式的混合运算，先乘方、再乘除、最后加减； ②有括号的先算括号里的； ③可以用运算律的、乘法公式简便计算的尽可能简便计算. （2）易错点剖析 二次根式的运算要注意最简二次根式的化简；根号下有字母一定要注意字母的取值范围. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 2．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，该表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·周测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质，掌握平方差公式化简二次根式是解题的关键． 将指数拆分，利用平方差公式简化乘积，再结合幂的运算性质计算结果． 【详解】解：∵ , ∴ 原式 ． 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法运算，解题关键是熟练掌握各运算的法则，按顺序逐步计算并准确合并同类二次根式． 先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法，再合并同类项，最后对比选项得出结果． 【详解】解：先逐步计算各部分： 负整数指数幂：； 绝对值： = ； 二次根式除法： = = = ； 合并计算：原式 ． 故选：C． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及二次根式的混合运算进行求解． 【详解】解：∵四边形、四边形和四边形都是正方形， 根据对称性可得两块阴影部分的面积相等， ∵， ∴由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 【答案】/平方米 【分析】根据正方形的面积公式分别求出两个正方形的边长，结合图形确定原长方形的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，两个花圃均为正方形， 大正方形花圃的面积为， 大正方形的边长为， 小正方形花圃的面积为， 小正方形的边长为， 由图可知，原长方形花园的宽等于大正方形的边长，长等于大正方形的边长与小正方形的边长之和， 原长方形花园的长为，宽为， 原长方形花园的面积为． 三、解答题 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简二次根式并根据二次根式的乘法运算法则计算，然后算减法即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开计算，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把各部分化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）用平方差公式把算式展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先根据二次根式的计算法则计算出，，再将原式提取公因式变形为，再代值计算即可； （2）将原式通分并利用完全平方公式变形为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ； （2）解：． 10．（25-26八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，核心在于熟练掌握二次根式的化简规则、乘除运算法则及平方差公式的灵活应用，并严格遵循“先化简、再计算、最后合并”的运算顺序是解题关键． （1）需先将化为最简二次根式，通过分母有理化化为，再进行同类二次根式的减法运算； （2）前半部分符合平方差公式的结构特征，可直接套用公式简化计算；后半部分运用二次根式乘法法则计算，最后将两部分结果相加并化为最简二次根式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）记的整数部分为m，小数部分为n，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据得到，，再利用平方差公式进行代数求值即可． 【详解】解：， ，， ． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意求出和的值，再根据计算求解即可； （2）根据正方形的面积公式求出阴影正方形的边长，进而求出阴影长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ， ∴ ； （2）解：由题意可得阴影正方形的边长为， ∴阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的面积为． 13．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题干中的计算方法进行解答即可； （2）计算两个数的倒数的值，再进行比较即可； （3）求出，和已知条件相加即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得出结果； （2）将被开方数，变形为，再结合二次根式的性质化简即可； （3）由，得出，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学期末总复习讲义 第1课 二次根式 知识点梳理 考点01二次根式的意义 考点02二次根式的性质 考点03二次根式的乘除 考点04二次根式的加减 考点05二次根式的混合运算 知识点01 二次根式的意义 1. 定义 一般地，我们把形如（a≥0）表示算术平方根的式子叫做二次根式"”称为二次根号. 2. 重点剖析：表示a的算术平方根，因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a≥0. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．5 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若二次根式有意义，则字母的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．5 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子．善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如，都是根分式．结合上述信息，关于根分式与，下列结论中正确的选项是（   ） ①根分式A中的的取值范围是 ②根分式B中的的取值范围是 ③不存在的值，使得两个根分式满足 A．② B．②③ C．①②③ D．③ 二、填空题 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）当二次根式取最小值时，_______． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若，则的值是______． 三、解答题 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）（1）若实数满足等式，求的值； （2）已知，求的平方根． 10．（24-25八年级下·河南商丘·月考）完成如下学习表： 阅读 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， ①且②． 由①得：，由②得：， ∴取公共解集得：． 应用 若实数，满足，求： （）的值； （）的值． 知识点02 二次根式的性质 1. 性质 （1） （2） （3） =（a） （4） （a） 难点1剖析：性质1和性质2都是根据平方根的定义得到的，表示a的算术平方根，表示的算术平方根，当a<0时因为=，所以==-a 难点2剖析：根据积的乘方的性质有 2. 最简二次根式 我们把根号内不含分母，也不含开方开的尽的因数或因式的二次根式，叫作最简二次根式。 难点剖析：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。如，不是最简二次根式，化成也不是最简二次根式，必须化为.. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）二次根式的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（   ） A．4052 B．4054 C．4056 D．2026 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，已知以等腰的斜边为直角边向外作第1个等腰，再以等腰的斜边为直角边向外作第2个等腰，……，以此类推，若，则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）的值为_____． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值是____________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，化简：． 12．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算： 13．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)猜想的结果； (2)按此规律，若为正整数），则的值为_______． (3)请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 14．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 知识点03 二次根式的乘除法 1. 二次根式的乘法 （1）乘法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 难点剖析：教材中说没有特别说明时，所有的字母都表示正数。所以解题时一定要关注是否有特别说明和隐含说明，譬如：化简时，因为要有意义，所以,所以这里隐含了一个条件就是a 2. 二次根式的除法 （1）除法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简：______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：＝____________． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 三、解答题 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 7．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简下列各式： (1) (2) 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； (2)从第_________步开始出现错误； (3)请写出正确的计算过程． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 知识点04 二次根式的加减法 （1） 加减运算的步骤 ①化简二次根式 ②利用分配律合并同类二次根式 （2） 易错点剖析 二次根式加减运算法则类似于整式的加减运算,计算一定要依据二次根式性质和相关法则，不能随意杜撰法则。 譬如：+；2×；+ 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·广东江门·月考）______；_____． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：____________． 5．（24-25八年级下·广东·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 三、解答题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2) 知识点05 二次根式的混合运算 (1)运算顺序 ①二次根式混合运算顺序类似于整式的混合运算，先乘方、再乘除、最后加减； ②有括号的先算括号里的； ③可以用运算律的、乘法公式简便计算的尽可能简便计算. （2）易错点剖析 二次根式的运算要注意最简二次根式的化简；根号下有字母一定要注意字母的取值范围. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 3．（25-26八年级下·全国·周测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 三、解答题 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2)． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）记的整数部分为m，小数部分为n，求代数式的值． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 13．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 14．（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $