专题02 一元二次方程（期末4大知识点汇编）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-解法-关系-应用”为逻辑主线，系统整合四种解法、韦达定理及七类应用模型，通过浙派期中真题强化方法迁移与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与解|单选4+填空6|概念辨析与根的意义应用|从定义（ax²+bx+c=0,a≠0）到根的验证，奠定基础| |解法与判别式|单选10+解答10|因式分解/开平/配方/公式法及判别式应用|按降次逻辑整合解法，突出判别式对根的判断| |根与系数关系|单选6+填空6+解答6|韦达定理求对称式与参数|由求根公式推导关系，实现代数推理与运算| |应用|单选10+解答8|七类应用模型（增长率/利润等）|从实际问题抽象等量关系，培养建模与数据意识|

八年级下册数学期末总复习讲义 第2课 一元二次方程 知识点梳理 考点01一元二次方程和它的解 考点02一元二次方程的解法 考点03一元二次方程根与系数的关系 考点04一元二次方程的应用 知识点01 一元二次方程和它的解 1. 概念 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0),其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 2. 方程的解 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作这个一元二次方程的根(或者实数解).依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 二、填空题 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的根，则的值为___． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则______． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是方程的一个根，则的值是___________． 9．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的方程的一个根是，则___． 10．（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 知识点02 一元二次方程的解法 1.因式分解法解一元二次方程 因式分解法解方程的思路是将一元二次方程分解降次为一元一次方程.其理论根据是：若=0A=0或B=0.如，解方程(x+3)(x-3)=0就相当于解方程x+3=0或x-3=0，所以方程解为 易错题：x(x-3)=6方程分解成x=1,x-3=6（╳），因为=6，A、B不一定等于1和6. 2.用直接开平方法解一元二次方程 适合用直接开平方法解的一元二次方程有两种形式：=d和=d() 用直接开平方法解方程的思路是通过平方根的定义达到开方降次的目的，将一元二次方程分解成两个一元一次方程. 3.用配方法解一元二次方程 用配方法解方程的思路是利用完全平方公式把方程转化为可直接开平方的形式从而达到降次的目的，从而求解. 4.用公式法解一元二次方程 用配方法解方程的本质是利用建模的思想和配方的结果，将系数a,b,c的值代入模型即可求出方程的解. 5.一元二次方程的判别式 根据b²—4ac的符号可以判断一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b²—4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'deltə/”)来表示，记作△=b²-4ac. △=b²-4ac>0时方程有两个不相等的实数根； △=b²-4ac=0时方程有两个相等的实数根； △=b²-4ac<0时方程没有实数根. 易错点：只考虑根的情况，忽略二次项系数的条件（a） 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）把方程转化成的形式，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数解 B．有两个相等的实数解 C．有两个不相等的实数解 D．不确定 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）方程的解是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 9．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法 ①若，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 其中正确的（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、解答题 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（25-26八年级下·浙江温州·期中）请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法求解（如果都完成，视作完成前两题进行给分）． (1) (2) (3) (4) 14．（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根，，且满足，求k的值． 16．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 17．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 19．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 20．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程（）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出的值是_________． 知识点03 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数关系 一元二次方程的根与系数关系的定理又叫作韦达定理:如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、,那么，. 2.韦达定理的应用 ①求两根的对称式 ; ,… ②已知方程的根求参数 如：已知方程的一个根是，求它的另一个根和的值.根据=，即可求出另一根，再由两根之积求出m. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数，满足，，那么以，为根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江温州·月考）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（    ） A．12 B．10 C．2 D．0 二、填空题 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则______． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）小聪发现方程的两根为，，则______． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）设，是方程的两个根，则________． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 三、解答题 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 14．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是0，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (3)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； (3)若满足，求m的值． 17．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 知识点04 一元二次方程的应用 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意．（2）设未知数．（3）列出方程．（4）解所列方程，求所列方程的解． （5）检验．（一定要检验所求的根是否符合题意）（6）答． 2. 核心要点——找等量关系式 3. 注意事项——解题思路、解题步骤皆同一元一次方程应用，区别在于要解方程之后要检验所求的解是否符合题意. 4. 常见的数量关系 ①几何图形类：面积公式；；；…… ②利率问题：存款到期后的利息=本金×利率×存期；本利和=本金+利息. ③利润问题：总利润=单件利润×销售量； 单件利润=售价-进货价；销售额=售价×销售量. ④增长率问题：设增长(降低)的基数为a,每次的平均增长率(降低率)为x,增长(降低)n次后的数量为b,则增长率公式为a(1+x=b,降低率公式为a(1-x=b. ⑤握手问题（单循环比赛问题）：n个人（球队）两两握手（比赛），总次数（场次数）为. ⑥传播问题：设原有基数为a,每次传播倍数为x,进过n轮传播后的总数量为为a(1+x. ⑦数字问题：设个位数为x,十位数为y，则这个两位数为10y+x. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某地区2023年使用工具的人数约为236万人，2025年达到270万人，若2023年至2025年间，每年的增长率都为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮．已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度．若设道路宽为米，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 7．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·月考）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 10．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 11．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． (1)求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； (2)若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 13．（25-26八年级下·浙江·期中）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． (1)请用含的代数式表示长方形的面积； (2)若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； (3)若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每个50元时，每月可销售100把；若塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，塑料椅的进价为每把20元，假设塑料椅全部售完（进货量=销售量），设每把塑料椅降价x元，备注：利润=（售价-进价）×销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：每把塑料椅的实际利润为________元（用含x的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含x的代数式表示）． (2)任务2：若经销商计划进货不超过200把，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时塑料椅的售价，反之，请说明理由． (3)任务3：对比试售数据，若经销商想让每月利润达到最大值，求此时塑料椅的售价． 17．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 18．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．      素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知： ①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克； ②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）； ③冷库每天支出费用200元； ④草莓最多保存16天．    问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若，则种植面积为___________平方米． (2)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润总销售额收购总成本冷库总费用） (3)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (4)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为___________元． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学期末总复习讲义 第2课 一元二次方程 知识点梳理 考点01一元二次方程和它的解 考点02一元二次方程的解法 考点03一元二次方程根与系数的关系 考点04一元二次方程的应用 知识点01 一元二次方程和它的解 1. 概念 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0),其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项. 2. 方程的解 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作这个一元二次方程的根(或者实数解).依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，依次判断每个选项：判断未知数个数、最高次数及是否为整式方程，排除不符合条件的选项，确定正确答案． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的要求，此选项不符合题意； B、方程是分式方程，不是整式方程，此选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的要求，此选项不符合题意． D、方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】A 【分析】根据根的定义得到的值，利用整体代入思想求解即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的根，则的值为___． 【答案】2026 【详解】解：把代入，得：， 化简，得：． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则______． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求解的值． 【详解】解：将代入一元二次方程得： 整理得： 解得：． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是方程的一个根，则的值是___________． 【答案】 【分析】利用方程的解求参数． 【详解】解：将代入得， ， 解得． 9．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的方程的一个根是，则___． 【答案】4052 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 ，将所求代数式变形后整体代入计算，即可求解． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， 整理得 ， ． 10．（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 知识点02 一元二次方程的解法 1.因式分解法解一元二次方程 因式分解法解方程的思路是将一元二次方程分解降次为一元一次方程.其理论根据是：若=0A=0或B=0.如，解方程(x+3)(x-3)=0就相当于解方程x+3=0或x-3=0，所以方程解为 易错题：x(x-3)=6方程分解成x=1,x-3=6（╳），因为=6，A、B不一定等于1和6. 2.用直接开平方法解一元二次方程 适合用直接开平方法解的一元二次方程有两种形式：=d和=d() 用直接开平方法解方程的思路是通过平方根的定义达到开方降次的目的，将一元二次方程分解成两个一元一次方程. 3.用配方法解一元二次方程 用配方法解方程的思路是利用完全平方公式把方程转化为可直接开平方的形式从而达到降次的目的，从而求解. 4.用公式法解一元二次方程 用配方法解方程的本质是利用建模的思想和配方的结果，将系数a,b,c的值代入模型即可求出方程的解. 5.一元二次方程的判别式 根据b²—4ac的符号可以判断一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b²—4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'deltə/”)来表示，记作△=b²-4ac. △=b²-4ac>0时方程有两个不相等的实数根； △=b²-4ac=0时方程有两个相等的实数根； △=b²-4ac<0时方程没有实数根. 易错点：只考虑根的情况，忽略二次项系数的条件（a） 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方后即可得到正确结果. 【详解】解：， 移项得， 方程两边加得， 整理得. 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）把方程转化成的形式，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用配方法将原方程化为指定形式，得到m，n的值后即可计算的值． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 对比，可得，， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，联立两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于一元二次方程有两个不相等的实数根， 则判别式， 解得， 由二次项系数不为0得：，即， 因此，的取值范围是且． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数解 B．有两个相等的实数解 C．有两个不相等的实数解 D．不确定 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， ， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 解得． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴方程的解为． 故选：C． 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ． 故选：C． 9．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法 ①若，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 其中正确的（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程解的意义，根的判别式以及求根公式逐项判断即可． 【详解】解：对于①：若，则方程有一个根为， ∴，故①正确； 对于②：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 当时，不一定等于，故②错误； 对于③：∵是一元二次方程的根， ∴。 ∵， 方程两边同乘，得 ，配方得， 即。故③正确 对于④：∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 对于方程， ， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的结论为①③④． 10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 二、解答题 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得：， （2）解： ∵， ∴ 解得：， 13．（25-26八年级下·浙江温州·期中）请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法求解（如果都完成，视作完成前两题进行给分）． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ∴ ∴或 解得：， （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或， 解得：， （3）解： ∴ ∴或 解得：， （4）解： ∴ ∴ 解得：， 14．（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根，，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）因式分解法解方程得出，结合已知条件，列出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 16．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 17．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 19．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 20．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程（）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出的值是_________． 【答案】(1)； (2)，； (3)或． 【分析】（1）根据“快乐数”的定义直接计算即可； （2）先计算判别式，根据“快乐方程”的定义，判别式必须为完全平方数，再结合的取值范围，求出的值，进而计算“快乐数”； （3）先根据“快乐方程”的定义求出的所有整数值，再根据“开心数”的定义分情况求出的值． 【详解】（1）解：“快乐方程”的“快乐数”为： ； （2）解：对于方程， ， ∵，且为整数， ∴，得， 又∵方程是“快乐方程”， ∴必须是完全平方数， 在到之间的完全平方数只有和： 若，解得； 若，解得，不是整数，舍去； ∴，此时方程为，其“快乐数”为： ； （3）解：∵是“快乐方程”， ∴判别式，必须为完全平方数， 令（为非负整数），配方得：， ∴有， ∵为整数，且两因子同奇偶，可得整数解， ∴当，解得； 当，解得； 此时：方程，根为或， “快乐数”为，常数项； 当，解得； 当，解得； 此时：方程，根为或， “快乐数”为，常数项； ∵方程是“快乐方程”， 因式分解得，根为和， ∴其“快乐数”为：，常数项， ∵其“快乐数”互为“开心数”， 当，时：， 化简得，解得或（非整数，舍去）； 当，时：， 解得， 此时方程为，是“快乐方程”，符合条件； 综上，的值为或． 知识点03 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数关系 一元二次方程的根与系数关系的定理又叫作韦达定理:如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、,那么，. 2.韦达定理的应用 ①求两根的对称式 ; ,… ②已知方程的根求参数 如：已知方程的一个根是，求它的另一个根和的值.根据=，即可求出另一根，再由两根之积求出m. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，两根分别为，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得 ，， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设方程的两个根分别为和，通过韦达定理得到的两个等式，即可推导得出结论． 【详解】解：根据“倍根方程”的定义，设一元二次方程的两个根分别为和． ∴， 化简得； 又． ∴ ， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵， ∴代入得． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数，满足，，那么以，为根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数），由根与系数的关系求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数）， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴以，为根的一元二次方程是． 5．（25-26八年级下·浙江温州·月考）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 【答案】B 【分析】由根与系数的关系求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（    ） A．12 B．10 C．2 D．0 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，对所求多项式进行整体代换计算，即可得到结果． 【详解】解：将整理为， ∵m、n是方程的两个实数根， ∴由一元二次方程解的定义得，即，由根与系数的关系得，， ∴ ． 二、填空题 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∴的值为． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 1 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，即可求解的值； （2）先根据一元二次方程根的判别式确定的最大整数值，再对已知等式变形，得到和是同一一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系即可求解的值. 【详解】解：（1）将代入，得， ， 解得； （2）∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 整理得 解得， 因此符合条件的最大整数， 将代入已知条件，得 ，整理得 ，整理得 因为，所以和是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 即，解得. 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则______． 【答案】4 【分析】本题已知一元二次方程和其中一个根，要求另一个根，可利用根与系数的关系直接计算． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得 ， 将代入得， 解得 ． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）小聪发现方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系计算两根的乘积即可． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：， 根据一元二次方程根与系数的关系得： ． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）设，是方程的两个根，则________． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式．先根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【答案】 【分析】根据题意可知s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边除以得到：， 即， ∴s与是方程的两个根， ∴，， ∴， 故的值为． 三、解答题 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 14．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据方程的系数结合，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由根与系数的关系可得出，，， ， ， 解得或， 由（1）知，不满足，舍去；满足所有条件， 故存在实数． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是0，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (3)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把代入方程，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，然后代入方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ； （2）该方程有两个实数根， ， ； （3）的两个实数根为， ， ， ， 即， 解得， ， ． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； (3)若满足，求m的值． 【答案】(1) 且 (2) ， (3) 【分析】（1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题． 【详解】（1）解：由题意知，且， ∴且； 即且， 解得且； （2）解：方程的一个根为， 则， 解得， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴． 17．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】(1)是“邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）先解一元二次方程得到两个根，结合“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解一元二次方程得到两个根，根据定义列方程求解； （3）根据“邻根方程”定义得到两根差为，利用完全平方公式变形结合根的和与积推导得到与的关系，代入后配方求最大值. 【详解】（1）解方程， 因式分解得， 解得，， ，符合“邻根方程”的定义 ， 是“邻根方程”； （2）解方程， 因式分解得， 解得，， 方程是“邻根方程” ， ， 当时，得； 当时，得， 的值为或； （3）设方程的两根为，， 方程是“邻根方程” ， ，两边平方得，变形得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 代入得， 整理得， 代入， 得 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 知识点04 一元二次方程的应用 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意．（2）设未知数．（3）列出方程．（4）解所列方程，求所列方程的解． （5）检验．（一定要检验所求的根是否符合题意）（6）答． 2. 核心要点——找等量关系式 3. 注意事项——解题思路、解题步骤皆同一元一次方程应用，区别在于要解方程之后要检验所求的解是否符合题意. 4. 常见的数量关系 ①几何图形类：面积公式；；；…… ②利率问题：存款到期后的利息=本金×利率×存期；本利和=本金+利息. ③利润问题：总利润=单件利润×销售量； 单件利润=售价-进货价；销售额=售价×销售量. ④增长率问题：设增长(降低)的基数为a,每次的平均增长率(降低率)为x,增长(降低)n次后的数量为b,则增长率公式为a(1+x=b,降低率公式为a(1-x=b. ⑤握手问题（单循环比赛问题）：n个人（球队）两两握手（比赛），总次数（场次数）为. ⑥传播问题：设原有基数为a,每次传播倍数为x,进过n轮传播后的总数量为为a(1+x. ⑦数字问题：设个位数为x,十位数为y，则这个两位数为10y+x. 真题汇编 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某地区2023年使用工具的人数约为236万人，2025年达到270万人，若2023年至2025年间，每年的增长率都为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率的计算规则，依次推导得到2025年的人数表达式，结合已知2025年人数即可列出正确方程； 【详解】2023年使用AI工具的人数为万人，年增长率为， 2024年使用AI工具的人数为 万人， 2025年使用AI工具的人数为万人， 又2025年使用AI工具的人数为万人， 可列方程． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增长率规律列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次为人次， 可列方程为． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮．已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度．若设道路宽为米，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意可得，． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单循环每两队只赛一场的规则，推导总场次的数量关系即可得到方程. 【详解】解：设应邀参加比赛的足球队有个， ∵每个队需要与除自身外的个队各赛一场，且每场比赛由两个队参加，计算总场次时会重复计算一次， ∴总比赛场次为， 已知计划安排10场比赛，因此列方程得：， 两边同乘2整理得. 5．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过计算花园总面积与种植花草面积的差值来确定小道所占面积 ，进而通过设置未知数，并根据图形分析建立方程求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意得，， 即， 解得：或（舍） ∴小道进出口的宽度为． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为，根据菜园的面积为得到，从而根据一元二次方程根的判别式求出答案即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为， 平行于墙的一边长为， ． 整理得到，， ∵原方程有实数根， ∴， ∴ ∵， ∴， 即的最小值是， 故选：D． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期末）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每件降价x元，那么降价后每件盈利元，每天可卖出件，根据每天销售利润达到6250元，即可列出方程． 【详解】解：设每件小商品降价x元，则降价后每件盈利元，每天可卖出件， 根据题意得． 故选：A． 9．（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·月考）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 10．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 根据题意可得． 故选：A． 二、解答题 11．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． (1)求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； (2)若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 【答案】(1) (2)每斤青叶售价为190元或180元时，日销售利润达到14400元 【分析】（1）设平均增长率为x，然后根据2024年的工资和增长率表示出2026年的工资，从而建立方程即可解答； （2）设售价降价y元，表示出每斤的利润和降价后的销量，结合期望的利润建立方程，即可解答． 【详解】（1）解：设2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为x， 根据题意可得， 解得，（舍）， 答：2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为； （2）解：设售价降价y元，根据题意可得， ， 解得，， 则当时，售价为（元）； 当时，售价为（元）； 答：每斤青叶售价为190元或180元时，日销售利润达到14400元． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)55元 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 13．（25-26八年级下·浙江·期中）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 【答案】(1)35元 (2) 【分析】（1）设售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设这两周销售量的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则单个玩偶的利润为元， 这周的销售量为个， 由题意，得， 整理得，解得，． 因为要最大程度让利消费者，所以舍去，售价应定为35元； 答：售价应定为35元． （2）解：设这两周销售量的平均增长率为． 由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为（个）， 则， 解得，（舍去）． 答：这两周销售量的平均增长率为． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)秒 (3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． (1)请用含的代数式表示长方形的面积； (2)若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； (3)若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 【答案】(1) (2)道路宽为3米 (3)当道路宽为5米时，建造总费用为50000元 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每个50元时，每月可销售100把；若塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，塑料椅的进价为每把20元，假设塑料椅全部售完（进货量=销售量），设每把塑料椅降价x元，备注：利润=（售价-进价）×销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：每把塑料椅的实际利润为________元（用含x的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含x的代数式表示）． (2)任务2：若经销商计划进货不超过200把，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时塑料椅的售价，反之，请说明理由． (3)任务3：对比试售数据，若经销商想让每月利润达到最大值，求此时塑料椅的售价． 【答案】(1)， (2)能，售价为元 (3)元 【分析】（1）用实际售价减去进价即可表示利润；塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，则塑料椅降价x元，销售量增加把，即可得到塑料椅的销售量； （2）根据利润公式建立一元二次方程求解，并检验是否符合题意即可； （3）根据利润公式表示出利润，再利用配方法求解最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，每把塑料椅的实际利润为元；塑料椅的销售量为把； （2）解：能让每月利润达到3750元， 由题意得， 整理得， 解得， 当时，销售量为，符合题意； 当时，销售量为，不符合题意， 则此时的售价为（元） 答：能让每月利润达到3750元，此时的售价为元； （3）解：令利润为元，由题意得， ∵， ∴， ∴， 即，当时，取得最大值， 那么此时的售价为（元） 答：经销商想让每月利润达到最大值，此时塑料椅的售价为元． 17．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 【答案】(1)750万元 (2)4万人 【分析】（1）根据题意，列出代数式，将数值直接代入即可． （2）先判断的取值范围，再根据范围列出票务收入的代数式，根据票务收入等于票务收入代数式列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵4月30日为平日票， ∴门票为200元/张， ∴票务收入为： ， 将代入（万元）， （2）解：∵5月5日为假期， ∴门票价格为240元/张， 若每位游客都没有购买快速通道票，则（万人），与题意不符， 所以游客人数大于等于万人， 此时票务收入为：， 则，解得或， ∵游客上限是5万人， ∴， 即5月5日游客人数为4万人． 18．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．      素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知： ①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克； ②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）； ③冷库每天支出费用200元； ④草莓最多保存16天．    问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若，则种植面积为___________平方米． (2)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润总销售额收购总成本冷库总费用） (3)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (4)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为___________元． 【答案】(1)12000 (2)符合要求 (3)在第10天出售 (4)900 【分析】（1）根据题意得：种植区域的纵向长度为；种植区域的横向长度为，由长方形面积公式得，再代入即可得出结论； （2）令，得一元二次方程，求解方程得的值，再进行取值即可； （3）设草莓存放了天，根据利润=总销售额一收购成本-冷库费用，且利润为800元列一元二次求解即可， （4）设总利润为，得，整理为，然后对等号右边的多项式运用配方法求解最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：种植区域的纵向长度为；种植区域的横向长度为， 所以，种植面积， 当时， （平方米）． （2）解：当中间部分种植面积是，则有： 整理得：， 解得，，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 答：小路的宽为3米符合要求； （3）解：设草莓存放了天，根据题意得： ， 整理得： 解得，（超出最大保存期限，舍去） 答：在第10天出售； （4）解：设总利润为，则： ， ∵，即， ∴， ∴当时，取得最大值900． 试卷第1页，共3页 2 / 45 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