第8章四边形 综合专练2025-2026学年青岛版数学八年级下册

第8章四边形综合专练 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.下列图形中有稳定性的是() A.等腰三角形 B.正方形 C.长方形 D.平行四边形 2.按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧， 分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交 于点C;④连接BC,CD,BD.若∠A=44°，则LCBD的大小是() A.64° B.669 C.68° D.70° 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.延长BC至点E,AD=CE, ∠E=30°，则∠AOB的度数是() D A.40° B.60° C.70° D.80° 4.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,E是AB中点，EF‖DC,则下列结论成立的是() D.EF-号AB 5.如图，BD是ABC的角平分线，DE∥AB,EF是△DEC的角平分线，有下列四个结论： ①LBDE=LDBE;②EF∥BD;③LCDE=LABC;④S四边形HBED=S△ABF·其中，正确 的是() 试卷第1页，共3页 F E A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 6.如图，在口ABCD中，E是AB中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以 EF为边作oEFGH,且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中，oEFGH的 面积() H D G B A.先减小，再增大 B.先增大，再减小C.逐渐减小D.不变 7.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠E=90°，AE=3,BE=4,则图中阴影部分的面 积是() D B A.18 B.19 C.25 D.31 8.在口ABCD中，EF∥GH∥BC,MN∥AB,则图中平行四边形的个数是() A M D E G H B N A.13 B.14 C.15 D.18 9.如图，在菱形ABCD中，AB=6cm,∠B=120°，P为对角线AC上的一个动点，过点P作 AC的垂线，交AD或CD于点E,交AB或BC于点F,点P从点A出发以V5cms的速度向 终点C运动，设运动时间为(S),以EF为折线将菱形ABCD向右折叠，若重合部分面积为 4√3cm2,求t的值，对于其答案，甲答：t=2,乙答：t=3,丙答：t=4,则正确的是() 试卷第1页，共3页 A.只有甲答的对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才充整 10.如图：等边三角形ABC中，AB=1,E、F分别是边AB、AC上的动点，且CF=2BE, 则BF+2CE的最小值为() A B A.3 B.5 c.万 D.5-1 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (填序号). ①AB=CD,AD∥BC; ②AB∥CD,AB=CD; ③AD∥BC,AD=BC; ④AB=CD,∠A+∠D=180°. 12.如图所示，在口ABCD中，AM⊥BC,AN⊥CD,AB=13,BM=5,MC=9,则 MW的长为 M 13.如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=20,且两个顶点B、D分别 在x轴，y轴上滑动，连接0C,则0C的最小值是· 试卷第1页，共3页 A B 14.如图，在ABC中，∠BAC=45,BD=4,CD=3,AD⊥BC,将△ADB沿AB翻折得到 △AMB,将△ADC沿AC翻折得到△ANC,则AD的长为· 15.如图，AB=CD=3,∠A=15°，∠C=15°，∠D=105°，则线段AD的长为 16.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,8)，点C为x轴正半轴上一动点，以OA, OC为边作矩形OABC,点E为线段AB的延长线上一点，且BE=二AB,D为OB的中点， 连接DE交BC于点F,连接CD,当三角形CDF为等腰三角形时，点B的坐标为 B D C 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.如图，在ABCD中，AE=CF,求证：BE=DF. 试卷第1页，共3页 A 18,如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F是AD中点，CF交DE于点G. D G B E (1)若点G是DE中点，求证：四边形AECF是平行四边形： (②)若∠ADE=30°，EA平分∠BED,DE=10,求△ADE的面积. 19.如图，D是ABC内一点，连接AD,BD,CD,BD⊥CD,BD=8,CD=6,AD=12,E,F ,G,H分别是AB,AC,CD,DB边上的中点，求四边形EFGH的周长. 20.如图，四边形ABCD是平行四边形. D B (I)求作菱形ABEF,使得点E,F分别落在边BC,AD上；（要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹)： (2)若∠B=60°，BF=2√5，求菱形ABEF的面积. 21.公元折纸艺术起源于中国，其历史可追溯到583年.折纸艺术不仅具有艺术审美价值， 还蕴含数学运算和空间几何原理.它与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还 发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.小安通过近期的学习发现，与矩形有关 的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个探究活动， 试卷第1页，共3页 己知矩形纸片ABCD长AD=9,宽AB=3.小安按下面的步骤折纸： 第一步：如图I,沿矩形纸片ABCD的对角线AC,BD折叠，折痕AC与BD交于点O,再 展开铺平； 第二步：如图2，点G为线段AD上一点，且AG<。AD,连接G0并延长，交BC于点H.将 矩形纸片ABCD沿GH折叠，使点D,C落在点D,C处.线段GD'交BC于点F. D 图1 备用图 D' 图2 (I)求证：aGFH为等腰三角形； (2)连接0F,OC',若0F=0C',求HC的长. 22.如图，矩形ABCD中，AB=9cm,BC=15cm,动点P从点D出发，按折线D-C-B方 向以2cm/s的速度运动，动点Q从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动.动点 P、Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动. D B (I)若点E在线段BC上，且BE=6cm,经过几秒钟，点A、E、P、Q组成平行四边形？ (2)动点P、Q在运动的过程中，线段PQ是否经过矩形ABCD对角线的交点？如果线段PQ过 此交点，请求出运动的时间；如果线段PQ不过此交点，请说明理由， 23.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B,C,D,要修建BE和AF两条路， 使点E,F分别在边AD,CD上，且DE=CF,猜想BE与AF的关系，并证明. D B 24.在ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，连接AE,CD交于点F. 试卷第1页，共3页 E F D A D B 图1 图2 (I)如图1，当点D为AB的中点时，若CE=EF,求证：AF=BC; (2)在(1)的基础上，若CF=AD,求∠CDB的度数； (3)如图2，若AB=4,BC=3,∠CDB=30°，且AE=CD,求CF-AF的长度 试卷第1页，共3页 第8章四边形综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列图形中有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性依次判断即可解答． 【详解】解：正方形、长方形、平行四边形具有不稳定性，具有稳定性的是等腰三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题，需熟记． 2．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 4．如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意无法得出，不符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 、如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 故选：． 5．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确． 【详解】∵， ∴，， ∵BD平分，EF平分， ∴，， ∴， ， ∴， 故①②正确； ∴ 与不一定相等， 由题意可知， ∴与不一定相等， 故③错误； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴， 故④正确， ∴①②④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 6．如图，在中，是中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积（   ） A．先减小，再增大 B．先增大，再减小 C．逐渐减小 D．不变 【答案】D 【分析】如图，连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可证明，，设，，，根据，即可判断． 【详解】解：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， ∵，是中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，，则， ∴ ， ∴在动点运动的过程中，的面积不变． 7．如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．18 B．19 C．25 D．31 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得， ． 8．在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 【答案】D 【分析】这些线将大平行四边形分割成一个网格，任意两条横线与两条竖线相交，围成一个平行四边形 【详解】解：依题意，，， ∴最小平行四边形（）有：行列，共个 横向拼接（）有：每行个，共行，共个 纵向拼接（）有：每列个（连续两行），共列，共个 大小有：高度方向有种（行、行），宽度种，共个 整列高（）有：左列和右列各个，共个 整个图形（）有：，共个 综上所述，总数为：个 9．如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才充整 【答案】C 【分析】由菱形的性质推出的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等边三角形、，利用面积公式进而列出有关时间的一元二次方程，通过解方程求出. 【详解】解 ：如图，连接交于点 四边形为菱形 ， 在中， 由题意可知， 如图所示，重合部分 在 中，， ， 为等边三角形 如图所示，重合部分 在中，， ， 为等边三角形 或，即甲、丙答案合在一起才完整. 故答案选 . 【点睛】本题考查的是菱形的性质和折叠问题，涉及到的知识点有利用特殊直角三角形求边长、求角度以及等边三角形的判定.是否能用分类讨论的方法解决本题折叠问题是这道题的难点.本题的综合能力较强. 10．如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 12．如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】运用平行四边形的性质以及，求出，再证明四边形是平行四边形，故，，最后运用勾股定理得，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 则 ∴ 过点M作交于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 则． 13．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 14．如图，在中，，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠，正方形的判定和性质，解一元二次方程，掌握折叠的性质，构造正方形是解题的关键． 根据题意，如图所示，延长交于点，根据折叠的性质可得四边形是正方形，设，可得，即，由，据此列一元二次方程可求得，然后再求的长． 【详解】解：如图：延长交于点， ∵，将沿翻折得到，将沿翻折得到， ∴，，，， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴或（舍弃）， ∴． 故答案为：． 15．如图，，，，，则线段的长为___________．    【答案】 【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：过点作，且，连接，，如图：    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的性质，等角对等边，勾股定理等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 【答案】或 【分析】取的中点G，连接，则为的中位线，，，证明，推出，，分和两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，四边形为矩形， ，， 取的中点G，连接， 则， D为的中点，G为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由图可得，故分两种情况讨论： 当时，如图： 则， ， ； 当时，如图： 则， ， ； 综上可知，点B的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可证得． 【详解】证明：， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形， ． 18．如图，在平行四边形中，点E在边上，点F是中点，交于点G． (1)若点G是中点，求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求E的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明是的中位线，推出，据此即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，求得，作于点，利用直角三角形的性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵点F是中点，点G是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴． 19．如图，D是内一点，连接，，E，F，G，H分别是边上的中点，求四边形的周长． 【答案】22 【分析】先根据勾股定理求出，再说明是对应三角形的中位线，并求出它们的长度，则此题可解． 【详解】解：， ，， ，F，G，H分别是边上的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， 四边形的周长． 20．如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使得点E，F分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点F，连接，则四边形为所求． （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得到，，，，因此，进而根据勾股定理求出，从而，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，菱形为所求． 由作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2）解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 21．公元折纸艺术起源于中国，其历史可追溯到583年．折纸艺术不仅具有艺术审美价值，还蕴含数学运算和空间几何原理．它与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小安通过近期的学习发现，与矩形有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个探究活动． 已知矩形纸片长，宽．小安按下面的步骤折纸： 第一步：如图1，沿矩形纸片的对角线，折叠，折痕与交于点O，再展开铺平； 第二步：如图2，点G为线段上一点，且，连接并延长，交于点H．将矩形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处．线段交于点F． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用平行线的性质结合折叠的性质求得，得到，即可证明为等腰三角形； （2）由题意知与重合，设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：由折叠的性质知， ∵，， ∴与重合，如图， 由折叠的性质结合（1）的结论知，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴． 22．如图，矩形中，，，动点P从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点Q从点D出发，沿方向以的速度向点A运动．动点P、Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动． (1)若点E在线段上，且，经过几秒钟，点A、E、P、Q组成平行四边形？ (2)动点P、Q在运动的过程中，线段是否经过矩形对角线的交点？如果线段过此交点，请求出运动的时间；如果线段不过此交点，请说明理由． 【答案】(1)当时，可以构成平行四边形 (2)能， 【分析】（1）根据t的值讨论P和Q的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解． （2）由矩形的中心对称性得出，即，解方程即可． 【详解】（1）解：在直角中，.设运动的时间是t秒． 当时，P在上，Q在上，若四边形是平行四边形，则且，而不可能成立； 当时，P在上，若四边形是平行四边形，则, ∵， ∴，， ∴， ∴或 解得：（不合题意，舍去）或 总之，当时，可以构成平行四边形． （2）解：∵矩形是中心对称图形， 若线段经过对称中心O，则， 即， 解得：， ∴当时，线段经过矩形的对称中心． 23．如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是，，，．要修建和两条路，使点，分别在边，上，且．猜想与的关系，并证明． 【答案】，，证明过程见解析 【分析】通过已知条件证明即可得证； 【详解】，，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图所示， ， ， ， ． 24．在中，点D，E分别在边，上，连接，交于点． (1)如图1，当点为的中点时，若，求证：； (2)在（1）的基础上，若，求的度数； (3)如图2，若，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长至点G，使，连接，证明，得出，根据等边对等角得出，结合对顶角的性质可得出，最后根据等角对等边即可得证； （2）过A作且，连接，，则四边形是平行四边形，，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，结合已知可得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据平行线的性质求解即可； （3）过A作，且，连接，，，过T作于M，于N，根据平行四边形的判定与性质得出，，，，根据平行线的性质得出，根据等面积法可得出，证明，得出，则，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长至点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：过A作且，连接，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴； （3）解：过A作，且，连接，，，过T作于M，于N， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $