专题12数据的分析复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题12数据的分析复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，明确各自含义与适用场景。 2.掌握极差、方差的定义，理解数据波动、稳定程度的意义。 3.分清集中趋势与离散程度两类统计量，理清概念区别，不混淆。 4.了解用样本数据估计总体的统计思想，体会数据分析的实际价值。 1.能熟练计算算术平均数、加权平均数，会准确寻找中位数、找出众数。 2.会计算一组数据的极差与方差，能根据方差大小判断数据波动大小。 3.能结合实际问题，合理选择统计量分析数据、评价问题。 4.具备读取表格、统计图中数据的能力，结合图表完成数据分析与解答。 1.夯实基础计算，统计量计算题型零失误。 2.能结合生活实际，利用数据分析做出合理判断与决策。 3.规范答题步骤，掌握统计简答、分析类题型答题话术。 4.提升数据分析观念，适应统计综合应用题、图表结合题型。 题型01.求一组数据的平均数 题型02.已知平均数求未知数据的值 题型03.利用原数据平均数求新平均数 题型04.利用平均数做决策 题型05.求加权平均数 题型06.利用加权平均数求未知数据的值 题型07.运用加权平均数做决策 题型08.求中位数 题型09.利用中位数求未知数据的值 题型10.运用中位数做决策 题型11.求众数 题型12.利用众数求未知数据的值 题型13.运用众数做决策 题型14.统计量选取与数据分析决策 题型15.求四分位数与画箱线图 题型16.求方差 题型17.利用方差求未知数据的值 题型18.根据方差判断稳定性 题型19 .运用方差做决策 题型20.离差平方和计算及应用 解答题8题 模块一：数据的集中趋势 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据总个数。 公式：=​ 特点：利用全部数据，易受极端值（偏大 / 偏小数据）影响 适用：数据分布均匀，无异常极端数据 2. 加权平均数 定义：若n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+⋯+fk=n），则加权平均数=​。 核心要点：f1,f2​,…,fk为权重，权重表示数据的重要程度，权重越大，对应数据对平均数影响越大；算术平均数是权重都为 1 的特殊加权平均数。 常见应用：计算平均分、销量均值、混合单价等 3. 中位数 求解步骤：① 将数据从小到大（或从大到小）有序排列② 数据个数为奇数：取正中间的数③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数 特点：不受极端值影响，反映数据中等水平 4. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 特殊情况：可以有一个、多个众数，也可以没有众数 特点：反映数据最普遍、最常见的水平，不受极端值影响 ✨ 集中趋势统计量对比表 统计量 核心作用 优点 缺点 适用场景 算术平均数 反映整体平均水平 利用全部数据，代表性强 易受极端值干扰 日常平均计算 加权平均数 反映综合评价水平 兼顾轻重占比，贴合实际 计算繁琐 成绩、考核评分 中位数 反映中等水平 不受极端数据影响 不利用全部数据 工资、收入统计 众数 反映多数水平 直观简单，贴合生活 不稳定，无统一众数 服装尺码、销量统计 模块二：数据的离散程度 1. 极差 计算公式：极差最大值最小值 作用：简单反映数据的波动范围 局限：只参考两端数据，无法体现整体波动 2. 方差（本章重难点） 意义：衡量一组数据偏离平均数的大小，判断稳定性 变化规律：方差越小 → 数据波动越小 → 数据越稳定方差越大 → 数据波动越大 → 数据越不稳定 实际用途：对比成绩稳定性、产品质量、运动员发挥水平 ✨ 离散程度对比表 统计量 计算方式 反映内容 优缺点 极差 最大值−最小值 数据变化范围 计算简单，参考片面 方差 偏差平方的平均数 整体波动与稳定性 精准全面，计算复杂 模块三.核心解题规律（必背） 1.平均数相同，方差越小，数据越稳定。 2.遇到极端数据（最高分、最低分），优先选用中位数、众数分析。 3.商家进货、日常消费调查，优先参考众数。 4.综合测评、成绩对比，优先使用平均数、加权平均数。 5.统计通用思想：用样本特征估计总体特征。 高频易错重难点 1.求中位数必须先排序，直接找中间数字是常见错误。 2.众数是数据本身，不是数据出现的次数。 3.加权平均数不能直接求算术平均，必须结合权重计算。 4.极差只能看范围，不能判定数据稳定程度。 5.方差比较切勿记反：小稳大乱。 题型01.求一组数据的平均数 【典例】某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．都有可能 【跟踪专练1】年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【跟踪专练2】一次数学课堂上，老师让同学们各写一个一位数并计算各自小组所写数字的平均数和中位数，某小组有六位同学，四位同学先写出的数字为：9，8，6，9，后两位同学再写出后，发现小组的中位数变小了而平均数没变，则后两位同学所写数字可能为（   ） A．7，9 B．7，8 C．8，8 D．6，9 题型02.已知平均数求未知数据的值 【典例】若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【跟踪专练1】一组数据3，4，a，6的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ） A．3.5 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 题型03.利用原数据平均数求新平均数 【典例】一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【跟踪专练2】如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 题型04.利用平均数做决策 【典例】平均数、中位数、众数是用来描述数据的___________． 【跟踪专练1】数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【跟踪专练2】在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分．数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从1～9中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这5个数据平均数最小，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，密码的5个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是6，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是______． 题型05.求加权平均数 【典例】2026年绍兴市举办“古城新韵”文化传承主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分按的比例计入最终成绩．选手小越三项得分分别为9分、8分、10分，则小越的最终成绩为（　　） A．9.3分 B．8.9分 C．9分 D．9.6分 【跟踪专练1】某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分． 【跟踪专练2】有7位评委为某同学的科学实验操作检测打分，采用10分制，完成实验后，根据评委所打分数计算该同学的平均分．已知打8分的有1人，打9分的有2人，打分的有a人，其余的打10分，该同学最后的平均分为9分．则打分的人数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型06.利用加权平均数求未知数据的值 【典例】王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下∶ 西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数/个 1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是________千克． 【跟踪专练1】在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【跟踪专练2】某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 题型07.运用加权平均数做决策 【典例】某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练1】某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 【跟踪专练2】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者测试成绩如下表 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么（    ）将被录用 A．甲 B．乙 C．丙 题型08.求中位数 【典例】数据，，，，，的中位数是______． 【跟踪专练1】现有一组数据：3，7，6，3，4，则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．6，4 B．6，3 C．4，3 D．4，6 【跟踪专练2】一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 题型09.利用中位数求未知数据的值 【典例】粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（    ） A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E 【跟踪专练1】若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 【跟踪专练2】某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（   ） A．28 B．36 C．44 D．48 题型10.运用中位数做决策 【典例】有名同学参加了学校挫折教育演讲比赛，他们的成绩各不相同，小柯同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入前三名，还需要知道这名同学成绩的（   ） A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数 【跟踪专练1】某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【跟踪专练2】某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 题型11.求众数 【典例】我国的《全民阅读促进条例》已经于年月日正式实施．某校团委会为了解本校学生一个月内的课外阅读量，随机抽取了名学生进行调查，具体信息如下表所示．则对于这组学生的课外阅读量的众数是________本． 阅读数量（本） 学生数量（个） 【跟踪专练1】数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 【跟踪专练2】若两组数据与的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：，，则这组新数据的众数为___________． 题型12.利用众数求未知数据的值 【典例】有一组数据有唯一众数，且众数与中位数相等，则a的值为（  ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 【跟踪专练1】已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的中位数是_______． 【跟踪专练2】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 题型13.运用众数做决策 【典例】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，销售量如表：根据表中的数据，可建议鞋店进货时，多进尺码为______ 的女鞋． 尺码 22 23 24 25 销售量/双 1 5 12 6 3 2 1 【跟踪专练1】在端午节到来之前，学校食堂推荐了三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下列选项中的统计量，最值得关注的是（   ） A．最高分与最低分 B．平均数 C．中位数 D．众数 【跟踪专练2】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 题型14.统计量选取与数据分析决策 【典例】专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练1】有7名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【跟踪专练2】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是________． 题型15.求四分位数与画箱线图 【典例】将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 【跟踪专练2】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 题型16.求方差 【典例】在一次“科普知识测试”中，按照公式列出参加选手成绩的方差，则可以知道这次成绩低于平均分的有（    ）人，最低分为（    ）分． A．3，85 B．3，80 C．2，85 D．2，80 【跟踪专练1】用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的方差为________． 【跟踪专练2】已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．离差平方和为40 题型17.利用方差求未知数据的值 【典例】已知一组数据的方差，则这组数据的总和是（    ） A．1 B．2 C． D．10 【跟踪专练1】若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【跟踪专练2】数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 题型18.根据方差判断稳定性 【典例】在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分，7.25分，8.72分，0.48分，则这四人中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【跟踪专练2】甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 题型19 .运用方差做决策 【典例】学校为选拔英才班选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．已知两人成绩的方差分别为：，，且两人4次测试成绩如下：甲平均数乙平均数，根据平均数和方差，应选_________同学参赛．（填“甲”或“乙”） 【跟踪专练1】志志老师要从小凡、小棋、小辰、小珲四位同学中选一位参加田径运动会200米比赛，四位同学最近10次训练成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒）如下表所示，志志老师应选的同学是（   ） 小凡 小棋 小辰 小珲 30.4 30.8 30.4 30.8 2.3 2.7 5.5 5.1 A．小凡 B．小棋 C．小辰 D．小珲 【跟踪专练2】在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙、丙、丁四位运动员10次训练成绩的平均时间（秒）和方差如下表所示．要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的运动员代表国家参加冬奥会短道速滑比赛，应该选择__________． 甲 乙 丙 丁 秒 12.1 13.1 12.1 13.1 0.6 0.6 0.9 0.5 题型20.离差平方和计算及应用 【典例】某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（    ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 【跟踪专练1】下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【跟踪专练2】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【解答题】 1．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c (2)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩； ③从B等级以上（包括B等级）的人数方面来比较一班和二班的成绩． 2．从互联网时代到人工智能的飞跃，科学技术的进步解决了人类历史上面临的一个个难题．为了解学生对人工智能知识的掌握程度，某校九年级举行了一场人工智能知识竞赛，并随机抽取了20名学生的成绩（成绩均为整数，满分10分），绘制成如下统计图． (1)求这些学生成绩的平均数； (2)若随机又抽取了2名同学的成绩与之前20名同学的成绩整合到一起，重新计算后，发现成绩的平均数和中位数均变大，求这2名同学分数和的最小值． 3．根据以上信息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是______，10名工人的日均生产件数的中位数是______； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数，中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 4．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 5．某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分） 测试项目 测试成绩 小王 小李 小林 唱功 8 9 9 音乐常识 10 8 6 综合知识 8 9 10 (1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？ (2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？ 6．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 7．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 8．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12数据的分析复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，明确各自含义与适用场景。 2.掌握极差、方差的定义，理解数据波动、稳定程度的意义。 3.分清集中趋势与离散程度两类统计量，理清概念区别，不混淆。 4.了解用样本数据估计总体的统计思想，体会数据分析的实际价值。 1.能熟练计算算术平均数、加权平均数，会准确寻找中位数、找出众数。 2.会计算一组数据的极差与方差，能根据方差大小判断数据波动大小。 3.能结合实际问题，合理选择统计量分析数据、评价问题。 4.具备读取表格、统计图中数据的能力，结合图表完成数据分析与解答。 1.夯实基础计算，统计量计算题型零失误。 2.能结合生活实际，利用数据分析做出合理判断与决策。 3.规范答题步骤，掌握统计简答、分析类题型答题话术。 4.提升数据分析观念，适应统计综合应用题、图表结合题型。 题型01.求一组数据的平均数 题型02.已知平均数求未知数据的值 题型03.利用原数据平均数求新平均数 题型04.利用平均数做决策 题型05.求加权平均数 题型06.利用加权平均数求未知数据的值 题型07.运用加权平均数做决策 题型08.求中位数 题型09.利用中位数求未知数据的值 题型10.运用中位数做决策 题型11.求众数 题型12.利用众数求未知数据的值 题型13.运用众数做决策 题型14.统计量选取与数据分析决策 题型15.求四分位数与画箱线图 题型16.求方差 题型17.利用方差求未知数据的值 题型18.根据方差判断稳定性 题型19 .运用方差做决策 题型20.离差平方和计算及应用 解答题8题 模块一：数据的集中趋势 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据总个数。 公式：=​ 特点：利用全部数据，易受极端值（偏大 / 偏小数据）影响 适用：数据分布均匀，无异常极端数据 2. 加权平均数 定义：若n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+⋯+fk=n），则加权平均数=​。 核心要点：f1,f2​,…,fk为权重，权重表示数据的重要程度，权重越大，对应数据对平均数影响越大；算术平均数是权重都为 1 的特殊加权平均数。 常见应用：计算平均分、销量均值、混合单价等 3. 中位数 求解步骤：① 将数据从小到大（或从大到小）有序排列② 数据个数为奇数：取正中间的数③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数 特点：不受极端值影响，反映数据中等水平 4. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 特殊情况：可以有一个、多个众数，也可以没有众数 特点：反映数据最普遍、最常见的水平，不受极端值影响 ✨ 集中趋势统计量对比表 统计量 核心作用 优点 缺点 适用场景 算术平均数 反映整体平均水平 利用全部数据，代表性强 易受极端值干扰 日常平均计算 加权平均数 反映综合评价水平 兼顾轻重占比，贴合实际 计算繁琐 成绩、考核评分 中位数 反映中等水平 不受极端数据影响 不利用全部数据 工资、收入统计 众数 反映多数水平 直观简单，贴合生活 不稳定，无统一众数 服装尺码、销量统计 模块二：数据的离散程度 1. 极差 计算公式：极差最大值最小值 作用：简单反映数据的波动范围 局限：只参考两端数据，无法体现整体波动 2. 方差（本章重难点） 意义：衡量一组数据偏离平均数的大小，判断稳定性 变化规律：方差越小 → 数据波动越小 → 数据越稳定方差越大 → 数据波动越大 → 数据越不稳定 实际用途：对比成绩稳定性、产品质量、运动员发挥水平 ✨ 离散程度对比表 统计量 计算方式 反映内容 优缺点 极差 最大值−最小值 数据变化范围 计算简单，参考片面 方差 偏差平方的平均数 整体波动与稳定性 精准全面，计算复杂 模块三.核心解题规律（必背） 1.平均数相同，方差越小，数据越稳定。 2.遇到极端数据（最高分、最低分），优先选用中位数、众数分析。 3.商家进货、日常消费调查，优先参考众数。 4.综合测评、成绩对比，优先使用平均数、加权平均数。 5.统计通用思想：用样本特征估计总体特征。 高频易错重难点 1.求中位数必须先排序，直接找中间数字是常见错误。 2.众数是数据本身，不是数据出现的次数。 3.加权平均数不能直接求算术平均，必须结合权重计算。 4.极差只能看范围，不能判定数据稳定程度。 5.方差比较切勿记反：小稳大乱。 题型01.求一组数据的平均数 【典例】某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．都有可能 【答案】B 【详解】解：原数据的平均数为：， 新数据的平均数为． ， 与换人前相比，场上队员的身高平均数变小． 【跟踪专练1】年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 先求出三场直播的总销售额与总直播时长，再根据平均数的定义计算平均每小时的销售额，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 三场直播总销售额为（万元）， 三场直播总时长为：（h）， 则平均每小时的销售额为（万元）． 故答案为：． 【跟踪专练2】一次数学课堂上，老师让同学们各写一个一位数并计算各自小组所写数字的平均数和中位数，某小组有六位同学，四位同学先写出的数字为：9，8，6，9，后两位同学再写出后，发现小组的中位数变小了而平均数没变，则后两位同学所写数字可能为（   ） A．7，9 B．7，8 C．8，8 D．6，9 【答案】C 【分析】先根据平均数不变得到后两个数字的和，排除不符合的选项，再根据中位数的定义计算剩余选项的中位数，与原中位数进行比较，由此即可得． 【详解】解：前面四位同学先写出的数按从小到大排序为，则其中位数为，平均数为， ∵后两位同学再写出后，平均数没变， ∴后两位同学写出的数的和为，则只有选项B和D不符合； 若后两位同学写出的数为，将六位同学写出的数按从小到大排序为，其中位数为，没变，不符合题意； 若后两位同学写出的数为，将六位同学写出的数按从小到大排序为，其中位数为，变小了，符合题意； 则后两位同学所写数字可能为． 题型02.已知平均数求未知数据的值 【典例】若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【答案】3 【分析】根据平均数的定义，通过列一元一次方程求解未知数x的值． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数为4， ∴根据平均数的计算公式可得， 去分母，得 计算得 移项，得 解得， 故答案为：3． 【跟踪专练1】一组数据3，4，a，6的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ） A．3.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：这组数据的平均数是4， ， 解得． 将这组数据从小到大排列为3，3，4，6， 这组数据的中位数是． 【跟踪专练2】下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了平均数及中位数，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 这一组数据的平均数为，因该组数据只有6个，故中位数应为将该组数据按从小到大顺序排列，处于最中间两个数的平均数，分情况讨论m的位置，分别求出m的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得这组数据的平均数为：， 由题意可知分为三种情况， 将原数据除去m后从小到大排序为5， 7， 8， 10， 15； ①当时，排序后数据的中间两数为7， 8，则中位数为中位数为， 由题意得，解得，满足，故此情况成立； ②当时，排序后数据的中间两数为8， m，则中位数为， 由题意得：，解得，不满足，故此情况不成立； ③当时，排序后数据的中间两数为8， 10，则中位数为， 由题意得：，解得．不满足，故此情况不成立． 综上所述，m的值为0． 故答案为：0． 题型03.利用原数据平均数求新平均数 【典例】一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查算术平均数的求法，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． 由题意可知，将这组数据扩大为原来的2倍，它的平均数也扩大为原来的2倍，据此即可解答． 【详解】解：一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为：． 故选：B． 【跟踪专练1】如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【详解】解：，，，，的平均数是5， ， ． 【跟踪专练2】如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了平均数．结合一组数据的平均数是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵一组数据的平均数是2， ∴， 即， 则 ， 故选：C 题型04.利用平均数做决策 【典例】平均数、中位数、众数是用来描述数据的___________． 【答案】集中趋势 【解析】略 【跟踪专练1】数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平均数的认识：平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，所以齐思和苗想所在班级的平均分不能代表他们的成绩，他们的成绩可能高于平均分，也可能低于平均分，也可能等于平均分． 【详解】解：齐思所在班级的平均分是112分，齐思的数学成绩可能低于112分，也可能高于112分，也可能正好是112分；苗想所在班级的平均分是122分，苗想的数学成绩可能低于122分，也可能高于122分，也可能正好是122分；所以齐思的成绩与苗想的成绩无法确定高低， 故选：D． 【跟踪专练2】在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分．数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从1～9中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这5个数据平均数最小，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，密码的5个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是6，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是______． 【答案】 【分析】根据小明选的数会使这5个数据平均数最小得到小明选的数据为1，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，得到选的数据为9，再根据最大的五位数，得到剩下的两个数字为7，8，即可得出结论． 【详解】解：∵平均数受极端值的影响较大，小明选的数会使这5个数据平均数最小， ∴小明选的数据为1， ∵中位数是5个数据排序后处于中间的数据，小亮选的数会使这5个数据中位数最大， ∴小亮选取的数据为9， ∵要使这个五位数最大， ∴剩余的两个数字是除已经选取的数据之外最大的两个数据，即为7和8， ∴最大数字为：，即产生的密码是； 故答案为：． 【点睛】本题考查平均数和中位数，熟练掌握平均数受极端值的影响大，中位数是将数据排序后，位于中间的一位或两位的平均数，是解题的关键． 题型05.求加权平均数 【典例】2026年绍兴市举办“古城新韵”文化传承主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分按的比例计入最终成绩．选手小越三项得分分别为9分、8分、10分，则小越的最终成绩为（　　） A．9.3分 B．8.9分 C．9分 D．9.6分 【答案】A 【分析】代入加权平均数公式计算即可得到最终成绩. 【详解】解：∵“形象、表达、内容”三项得分的比例为， ∴总权重为 ， 根据加权平均数的计算方法，最终成绩为：（分）. 【跟踪专练1】某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分． 【答案】86 【分析】根据加权平均数的计算公式，代入数据计算即可得到最终成绩． 【详解】解：小鹿的最终成绩为（分）． 【跟踪专练2】有7位评委为某同学的科学实验操作检测打分，采用10分制，完成实验后，根据评委所打分数计算该同学的平均分．已知打8分的有1人，打9分的有2人，打分的有a人，其余的打10分，该同学最后的平均分为9分．则打分的人数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据总人数得到各分数段人数，再利用加权平均数公式列方程求解即可，用到加权平均数的计算方法． 【详解】解：总共有7位评委， 打10分的人数为， 平均分为9分，根据加权平均数计算公式可得：， 化简左边分子得： ， ， 解得 ， 即 . 打分的人数是2． 题型06.利用加权平均数求未知数据的值 【典例】王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下∶ 西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数/个 1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是________千克． 【答案】3125 【分析】根据表格，算出加权平均数，然后再估计这亩地的西瓜质量即可. 【详解】解:（千克）， （千克）． 故答案为：3125 【点睛】本题考查加权平均数的应用，根据公式解题是关键． 【跟踪专练1】在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 【跟踪专练2】某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为分，根据加权平均数的计算公式可得，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 题型07.运用加权平均数做决策 【典例】某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据题意可知：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项，可得答案． 【详解】解：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低， 对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为，，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义. 【跟踪专练1】某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，用对应项的得分乘以其对应的权重求出每项的加权成绩，再求和得到两人的加权总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲． 故答案为：甲． 【跟踪专练2】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者测试成绩如下表 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 如果将学历、经验、能力和态度四项得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么（    ）将被录用 A．甲 B．乙 C．丙 【答案】B 【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案． 【详解】甲的最终得分为：， 乙的最终得分为：， 丙的最终得分为：， ∴乙的最终得分高，乙将被录用． 故选：B 题型08.求中位数 【典例】数据，，，，，的中位数是______． 【答案】 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数即可得到中位数． 【详解】解：将原数据从小到大排序为：，，，，，． 本组数据共个，个数为偶数，根据中位数定义，中位数为排序后中间两个数的平均数，即：． 【跟踪专练1】现有一组数据：3，7，6，3，4，则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．6，4 B．6，3 C．4，3 D．4，6 【答案】C 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：∵将数据从小到大排序得， ∴中位数为， ∵数据中出现的次数最多，共2次， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别是4， 3． 【跟踪专练2】一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值． 根据平均数求得的值，然后根据众数求得的值后再确定新数据的中位数． 【详解】解：∵1，2，的平均数为3， ∴， 解得， ∴数据，，1，2，应为，，1，2，， ∵唯一众数为， 故， 则数据，，，1，2，4应为数据，，，1，2，4， 按从小到大排列为，，1，2，4，6， ∴中位数为． 题型09.利用中位数求未知数据的值 【典例】粮店计划从10袋面粉（质量如图所示）中挑选出7袋面粉，其中五袋面粉的质量已经确定，且这五袋面粉质量的中位数为，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，若要使选出的7袋面粉质量的中位数仍为，则第6袋面粉和第7袋面粉可能会选择（    ） A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数的含义，由图形可知，要使选定7袋面粉质量的中位数仍为10kg，则第6袋面粉和第7袋面粉需要选择一袋不低于，另一袋不高于，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：∵序号为1到5袋的面粉已选定，这5袋面粉质量的中位数恰好为10kg，第6袋面粉从A、B、C中选择1袋，第7袋面粉从D、E中选择1袋，使选定7袋面粉质量的中位数仍为， ∴选定的第6袋面粉和第7袋面粉的质量应该一袋不低于，另一袋不高于， 结合题图可得，第6袋面粉和第7袋面粉分别可以选择A和E、或B和D、或C和D， 选项B符合题意 故选：B． 【跟踪专练1】若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 根据中位数的定义，将数据按从小到大排序后，第三个数即为中位数．已知中位数为4，因此排序后第三个数必须为4． 【详解】解：数据由5个数组成，排序后第三个数为中位数4， 已知数据中有2、4、5、6，其中2小于4，5和6大于4． 要保证4在第三位，需至少有两个数小于或等于4． 由于2已满足小于4，故x必须小于或等于4． 因此x的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练2】某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（   ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】根据已知条件，确定捐款总额的范围，即可求解， 本题考查了中位数和众数，解题的关键是：正确理解中位数和众数． 【详解】解：由题意得：捐款数从小到大排列，第三个数是8，第四个和第五个都是10， ∵10是唯一的众数， ∴设第一个数为，第二个数为，则， ∴捐款总额， ∴捐款的总额可能是36元， 故选：B． 题型10.运用中位数做决策 【典例】有名同学参加了学校挫折教育演讲比赛，他们的成绩各不相同，小柯同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入前三名，还需要知道这名同学成绩的（   ） A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数的意义是解题的关键．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第名同学的成绩是中位数，要判断是否进入前名，故应知道中位数， 故选：D． 【跟踪专练1】某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【答案】中位数 【分析】15个不同成绩排序后，第8名的成绩为中位数，可据此判断该学生能否获奖． 【详解】解：由题意可知，15名学生决赛成绩各不相同，将成绩从小到大排列后，第8个数据为这组数据的中位数． 本次比赛前八名获奖，因此该学生将自己的成绩与中位数比较，即可判断是否获奖． 因此这名学生还需要了解这15名学生成绩的中位数． 【跟踪专练2】某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【答案】A 【分析】本题主要考查中位数的定义及性质，首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，逐个分析各选项． 【详解】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在3.5分钟以下，其中编号2的点位于分钟虚线上，编号为1、5的选手演讲时长在3.5分钟以上，则原来5名选手演讲时长从小到大排列，第3个数（中位数）等于3.5分钟， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为， 选项A、，，则新增一个小于m的数和一个大于的数，中位数保持为，符合题意； 选项B、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项C、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项D、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 故选：A． 题型11.求众数 【典例】我国的《全民阅读促进条例》已经于年月日正式实施．某校团委会为了解本校学生一个月内的课外阅读量，随机抽取了名学生进行调查，具体信息如下表所示．则对于这组学生的课外阅读量的众数是________本． 阅读数量（本） 学生数量（个） 【答案】 【分析】本题考查的是众数，理解众数的定义是解题的关键．根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可得到这组学生课外阅读量的众数． 【详解】解：由表格可知，阅读数量为本的学生人数最多，为人，因此这组学生课外阅读量的众数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 【答案】 5 5 【分析】根据中位数与众数的定义，先将给定数据从小到大排序，再根据数据个数确定中位数，最后找出出现次数最多的数据得到众数． 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，， 本组数据共个，根据中位数定义，中位数为排序后中间两个数的平均数， 即，因此中位数为， 根据众数定义，一组数据中出现次数最多的数为众数， 本组数据中出现了2次，出现的次数最多，因此众数为． 【跟踪专练2】若两组数据与的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：，，则这组新数据的众数为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了平均数的定义，求众数，解二元一次方程组． 根据平均数的定义列方程组求出a和b的值，再确定两组数据的具体数值，合并后统计各数出现的次数，众数为出现次数最多的数． 【详解】解：第一组数据的平均数为6，则，即； 第二组数据的平均数为6，则，即； 可得：， 解得， 则第一组数据为3，10，1，10，第二组数据为10，6，2， 合并后新数据为3，10，1，10，10，6，2， 其中10出现3次，其他数均出现1次，故众数为10． 故答案为：10． 题型12.利用众数求未知数据的值 【典例】有一组数据有唯一众数，且众数与中位数相等，则a的值为（  ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据中位数和众数求未知数的值，根据众数的定义得到a一定是2，3，5，6中的某一个数，再分别讨论a的值根据中位数的定义结合中位数和众数相等求解即可． 【详解】解：∵一组数据有唯一众数， ∴a一定是2，3，5，6中的某一个数， ∴当a的值为2或3时，这种数据的中位数3；当a的值为5或6时，这组数据的中位数为5， ∵众数与中位数相等， ∴a的值为3或5， 故选：C 【跟踪专练1】已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的中位数是_______． 【答案】3.5 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，确定，再根据中位数的定义进行求解即可. 【详解】解：∵3、a、4、6的众数为3， ∴， ∴这组数据3、3、4、6的中位数为. 【跟踪专练2】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 题型13.运用众数做决策 【典例】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，销售量如表：根据表中的数据，可建议鞋店进货时，多进尺码为______ 的女鞋． 尺码 22 23 24 25 销售量/双 1 5 12 6 3 2 1 【答案】23 【分析】本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 根据众数的定义即可求解． 【详解】解：观察数据可知，23出现的次数最多，故鞋店多进一些同一尺码的鞋，该尺码为， 故答案为：． 【跟踪专练1】在端午节到来之前，学校食堂推荐了三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下列选项中的统计量，最值得关注的是（   ） A．最高分与最低分 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【详解】解：∵学校食堂最终要选择最多师生爱吃的店铺，需要关注数据中出现次数最多的结果， ∴最值得关注的统计量是众数． 【跟踪专练2】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 【答案】三 【分析】本题主要考查了归纳对比的方法，解决本题的关键是准确算出教室使用的和． 通过计算每天三个教室的使用总次数，比较得出星期三的总次数最小，因此空教室可能性最大． 【详解】星期一总次数：次；星期二总次数：次；星期三总次数：次；星期四总次数：次；星期五总次数：次；比较各天总次数，星期三总次数最小，故空教室可能性最大； 故答案为三． 题型14.统计量选取与数据分析决策 【典例】专卖店统计了一周中不同号码滑冰鞋的销售量，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量（双） 2 4 5 5 12 6 3 2 1 你认为该专卖店最关注的销售数据是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】专卖店关注销售数据通常是为了了解最畅销的鞋号，以便进货或营销. 众数表示出现次数最多的值，即销售量最大的鞋号，符合实际需求. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握意义是解题的关键. 【详解】解：∵ 销售量数据中，鞋号39的销售量12双为最高， ∴ 众数为39号，表示最受欢迎的鞋号， ∴ 专卖店最关注众数， 故选：C. 【跟踪专练1】有7名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的含义可得答案. 【详解】解：由于总共有7个人，且他们的最终成绩各不相同，排序后第4人的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的中位数． 【跟踪专练2】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是________． 【答案】部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为整数，即总参与人数整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 题型15.求四分位数与画箱线图 【典例】将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四分位数与箱线图，理解箱线图各数字表示的含义是解题的关键．根据箱线图从上到下的数据依次是极大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值求解即可． 【详解】解：根据题意得，这10名同学身高的上四分位数是． 故选：B． 【跟踪专练1】某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________． 【答案】 【分析】根据四分位数的定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大排序为：，，，，，，，，计算得，因此上四分位数为第个数与第个数的平均数，即． 【跟踪专练2】学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 题型16.求方差 【典例】在一次“科普知识测试”中，按照公式列出参加选手成绩的方差，则可以知道这次成绩低于平均分的有（    ）人，最低分为（    ）分． A．3，85 B．3，80 C．2，85 D．2，80 【答案】B 【分析】本题考查方差的计算公式，根据题中给的公式可得参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，平均分为89，据此即可得到答案． 【详解】由题可知参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95， 平均分为：89 故这次成绩低于平均分的有3人，最低分为80分． 故选：B． 【跟踪专练1】用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的方差为________． 【答案】207.49 【详解】解：； ． 【跟踪专练2】已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．离差平方和为40 【答案】C 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据的样本容量为10，平均数为4，无法计算出方差、中位数与离差平方和． 题型17.利用方差求未知数据的值 【典例】已知一组数据的方差，则这组数据的总和是（    ） A．1 B．2 C． D．10 【答案】D 【分析】根据方差的计算公式得出这组数据共有5个，其平均数为2，继而可得答案． 【详解】解：∵数据的方差， ∴这组数据共有5个，其平均数为2， ∴这组数据的总和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式． 【跟踪专练1】若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 【跟踪专练2】数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了方差，根据方差计算公式分析x的范围即可得到答案． 【详解】解：数据中，每2个数相差1， 数据，前2个数据也是相差1， 若或时，两组数据方差相等， 而数据的方差比数据的方差大， 则的值大于4或者小于1， 故选：A． 题型18.根据方差判断稳定性 【典例】在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分，7.25分，8.72分，0.48分，则这四人中成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】比较四个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：四人平均成绩相同，方差越小，成绩越稳定． 又∵，，，， ∴，丁的方差最小， ∴四人中成绩最稳定的是丁． 【跟踪专练1】甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【答案】甲 【详解】解：观察成绩分布图可知：甲的成绩大多集中在环，距离平均成绩8环的波动更小，离散程度更小，因此甲发挥更稳定． 【跟踪专练2】甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】平均数反映平均水平，中位数反映数据中间位置，方差衡量数据波动大小，据此逐一判断即可． 【详解】解∶∵甲，乙两班成绩的平均数相等，都是135， ∴甲，乙两班学生成绩的平均水平相同，结论①正确； ∵两班参赛人数均为55人，中位数为排序后第28个数据，甲班中位数为149，小于150，乙班中位数为151，大于150， ∴乙班每分钟输入汉字个的优秀人数多于甲班，结论②正确； ∵甲班方差为191，乙班方差为110，甲班方差大于乙班方差，方差越大，数据波动越大， ∴甲班成绩的波动比乙班大，结论③错误； 综上，正确结论为①②． 题型19 .运用方差做决策 【典例】学校为选拔英才班选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．已知两人成绩的方差分别为：，，且两人4次测试成绩如下：甲平均数乙平均数，根据平均数和方差，应选_________同学参赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义，两人平均成绩相同，乙方差较小，成绩更稳定，即可求解． 【详解】解：甲和乙的平均成绩相等， ，，， 乙的成绩方差小，更稳定， 因此应选乙同学参赛． 故答案为乙． 【跟踪专练1】志志老师要从小凡、小棋、小辰、小珲四位同学中选一位参加田径运动会200米比赛，四位同学最近10次训练成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒）如下表所示，志志老师应选的同学是（   ） 小凡 小棋 小辰 小珲 30.4 30.8 30.4 30.8 2.3 2.7 5.5 5.1 A．小凡 B．小棋 C．小辰 D．小珲 【答案】A 【详解】解：因为200米比赛中，平均用时越短，平均成绩越好，方差越小，成绩越稳定， 先比较平均成绩，小凡和小辰的平均用时为30.4秒，短于小棋和小珲的30.8秒，平均成绩更优，再比较小凡和小辰的方差，小凡的方差为2.3，小于小辰的方差5.5，成绩更稳定， 所以小凡的成绩既好又稳定，因此应选小凡． 【跟踪专练2】在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙、丙、丁四位运动员10次训练成绩的平均时间（秒）和方差如下表所示．要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的运动员代表国家参加冬奥会短道速滑比赛，应该选择__________． 甲 乙 丙 丁 秒 12.1 13.1 12.1 13.1 0.6 0.6 0.9 0.5 【答案】甲 【分析】本题考查了平均数与方差的统计意义，利用平均数判断成绩优劣、方差判断数据稳定性． 解题的关键是先通过平均数筛选出成绩优秀的运动员，再通过方差选出其中发挥最稳定的一位． 先对比四位运动员的平均时间，选出用时更短的甲、丙；再比较二者的方差，选出波动更小的甲，即为最终人选． 【详解】解：1．筛选成绩优秀者：对比平均时间，甲和丙的平均时间为12.1秒，小于乙和丁的13.1秒，因此甲、丙成绩更优秀． 2．筛选发挥稳定者：在甲、丙中，甲的方差，小于丙的方差，说明甲的成绩波动更小、发挥更稳定． 故答案为：甲． 题型20.离差平方和计算及应用 【典例】某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（    ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 【答案】B 【分析】本题考查组间离差平方和的统计意义，核心是明确该统计量与两组平均成绩的关联． 【详解】解：∵组间离差平方和为， ∴两组学生的数学平均成绩相同，故B选项正确，符合题意， A选项中“成绩完全相同”表述绝对，个体成绩可以不同，但均值相同，说法错误， C选项是组内离差平方和为的含义，不是组间离差平方和为的含义，说法错误，不符合题意， D选项与组间离差平方和无关联，不符合题意． 【跟踪专练1】下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【答案】B 【分析】“组内离差平方和最小”是聚类分析中的核心原则，用于将数据划分为组内相似度高的组，选项B中的学生成绩分组直接应用此原则进行分组优化． 【详解】解：∵“组内离差平方和最小”原则主要用于数据分组，如聚类分析，旨在使组内数据点尽可能相似； A、比较疗效，涉及假设检验而非分组，不符合题意； B、将学生按成绩分组，最适合使用该原则，符合题意； C、分析波动。涉及时间序列分析，不符合题意； D、预测变化，涉及回归分析，均不直接适用分组原则，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了“组内离差平方和最小”的原则，解决本题的关键是熟练掌握“组内离差平方和最小”的原则，核心是在对数据进行分组时，让同一组内的数据差异尽可能小，不同组之间的数据差异尽可能大． 【跟踪专练2】在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【答案】{7，9}，{12，13，15} 【分析】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可． 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15， 观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为， 因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}． 【解答题】 1．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请根据以上提供的信息解答下列问题： (1)求出下表中a，b，c的值； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 87.6 80 c (2)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩； ②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩； ③从B等级以上（包括B等级）的人数方面来比较一班和二班的成绩． 【答案】(1)；； (2)见解析 【分析】（1）分别利用平均数、中位数及众数的计算方法即可求解； （2）①两班的平均数相等，一班的中位数大；②两班的平均数相等，二班的众数大；③一班B级以上 （包括B级）的人数为18人，二班B级以上 （包括B级）的人数为12人． 【详解】（1）解：（1）由一班竞赛成绩统计图可得，一班的平均数； 由一班竞赛成绩统计图可得，按数据从小到大排列， D级，C级的总人数为（人），D级，C级，B级的总人数为（人）， ∴数据从小到大排列后第13个数据是90， ∴一班的中位数； ∵由二班竞赛成绩统计图可得，A级的占比最大为， ∴二班的众数． （2）解：①，从平均数和中位数的角度：一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班成绩好于二班； ②从平均数和众数的角度：一班和二班平均数相等，二班的众数大于一班的众数，故二班成绩好于一班； ③从B等级以上（包括B等级）的人数的角度：一班有（人），二班有（人），故一班成绩好于二班．（任选一个即可） 2．从互联网时代到人工智能的飞跃，科学技术的进步解决了人类历史上面临的一个个难题．为了解学生对人工智能知识的掌握程度，某校九年级举行了一场人工智能知识竞赛，并随机抽取了20名学生的成绩（成绩均为整数，满分10分），绘制成如下统计图． (1)求这些学生成绩的平均数； (2)若随机又抽取了2名同学的成绩与之前20名同学的成绩整合到一起，重新计算后，发现成绩的平均数和中位数均变大，求这2名同学分数和的最小值． 【答案】(1)分 (2)18分 【分析】本题考查了平均数的应用，中位数的应用． （1）直接根据平均数的计算方法作答即可； （2）先求出原中位数，由成绩的平均数和中位数均变大可知这2名同学的成绩均大于8分且这2名同学的平均成绩大于分，再由成绩均为整数可知这2名同学得分的最小值均为9分，进而计算即可． 【详解】（1）解：（分）； （2）解：将之前20名同学的成绩按从小到大的顺序排列，中位数为第10，11名同学成绩的平均数， ∴中位数为， ∵添加2名同学的成绩之后，将22名同学的成绩按从小到大的顺序排列，中位数为第11，12名同学成绩的平均数，且成绩的平均数和中位数均变大， ∴这2名同学的成绩均大于8分且这2名同学的平均成绩大于分， ∵成绩均为整数， ∴这2名同学得分的最小值均为9分， ∴这2名同学分数和的最小值为（分）． 3．根据以上信息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是______，10名工人的日均生产件数的中位数是______； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数，中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 【答案】(1)13；12 (2)11件 (3)应选中位数或平均数，理由见解析 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）利用加权平均数公式计算即可； （3）根据中位数、平均数和众数分别计算出能完成任务的工人所占百分比即可进行判断． 【详解】（1）解：∵13出现了4次，出现的次数最多， ∴众数是13； 把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，排在第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则中位数是． （2）解：10名工人的日均生产件数的平均数为（件）， 答：10名工人的日均生产件数的平均数为11件． （3）解：若要使占的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额，理由如下： 若选中位数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为； 若选平均数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为； 若选众数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为； 所以若要使占的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额． 4．在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为________环，乙的平均数为_______环； (2)在图2中，A反映________的成绩；（填“甲”或“乙”） (3)图2中，直接写出A的和B的，并判断甲和乙谁的成绩比较好． 【答案】(1)7；8 (2)乙 (3)A的为7，B的为8，乙的成绩比较好 【分析】（1）根据众数，平均数的定义解答即可； （2）直接根据箱线图解答即可； （3）根据上四分位数，下四分位数的定义，平均数的意义解答即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩中7环出现的次数最多， ∴甲的众数为7环， 由题意得，乙的平均数为环； （2）解：根据题意得：在图1中乙的成绩波动较小，在图2中，的数据比较集中，故反映乙的成绩； （3）解：根据（2）可知反映乙的成绩，反映甲的成绩， 的； 的， ∵甲的平均数为， ∴甲的平均数小于乙的平均数， ∴乙的成绩比较好． 5．某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分） 测试项目 测试成绩 小王 小李 小林 唱功 8 9 9 音乐常识 10 8 6 综合知识 8 9 10 (1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？ (2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？ 【答案】(1)冠军是小李，亚军是小王，季军是小林 (2)小李的成绩最稳定 【分析】（1）先分别计算三人的加权平均分，比较大小后确定名次； （2）计算三人成绩的方差后比较得出结论． 【详解】（1）解：小王的加权平均分：（分）， 小李的加权平均分：（分）， 小林的加权平均分：（分）， ， 冠军是小李，亚军是小王，季军是小林； （2）解：小王的平均成绩：，小王的方差：， 小李的平均成绩：，小李的方差：， 小林的平均成绩：，小林的方差：， ，方差越小成绩越稳定 小李的成绩最稳定． 6．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 【答案】(1)乙班 (2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班 (3)乙班同学表现最出色（答案不唯一），理由见解析 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定， 因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； （2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班； （3）解：乙班同学表现最出色，理由如下： 因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等． 7．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【答案】第一组：65，69，70 第二组：75，76，76，78，80，80，81 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 先将数据排列，再分9种情况讨论求解即可． 【详解】解：将10个数据按照从小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81，把10个数据分成两组，共有9种情况． ①第一组：65，第二组：69，70，75，76，76，78，80，80，81， 第一组的平均数为65， 第二组的平均数为， 组内离差平方和 ； ②第一组：65，69，第二组：70，75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ③第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为48； ④第一组：65，69，70，75，第二组：76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为76； ⑤第一组：65，69，70，75，76，第二组：76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ⑥第一组：65，69，70，75，76，76，第二组：78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为108； ⑦第一组：65，69，70，75，76，76，78，第二组：80，80，81，同理可得，组内离差平方和为137； ⑧第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，第二组：80，81，同理可得，组内离差平方和为184； ⑨第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，80，第二组：81，同理可得，组内离差平方和为219， 第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81组内离差平方和达到最小． 8．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 【答案】把10个苹果按直径大小分成两组是，． 【分析】先对数据排序，再尝试不同的连续分段划分方式，计算每种划分的总离差平方和，选出最小的那个划分． 【详解】解：将个数据由小到大排序为，，，，，，，，，． 计算不同分组的组内离差平方和，结果如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第三种情况的组内离差平方和最小． 因此把个苹果按直径大小分成两组是，． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算与最优分组，解题关键是先对数据排序，再通过计算不同连续分段划分的总离差平方和，找到最小值对应的分组． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $