专题08一次函数与方程不等式及实际应用复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题08一次函数与方程不等式及实际应用复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的对应关系。 2.会用函数图象解释方程的解、不等式的解集及方程组的解。 3.掌握一次函数实际问题的常见模型：路程、运费、利润、方案选择等。 4.明确实际问题中自变量取值范围的意义与求法。 1.能通过一次函数图象读出方程解、不等式解集、方程组解。 2.会将方程、不等式问题转化为一次函数问题解决。 3.能从实际情境中提取信息、列出函数解析式。 4.会利用函数图象与性质进行方案选择、最值判断、结果解释。 1.函数与方程、不等式的图象题、填空题快速得分。 2.实际应用题步骤规范：列式、求范围、画图、作答不丢分。 3.熟练解决方案选择、最值、最优决策类压轴题。 4.提升数形结合能力，为后续综合题打好基础。 题型01.由直线与坐标轴交点求方程的解 题型02.一元一次方程解判定直线与x轴交点 题型03.利用图象法解一元一次方程 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型05.两直线交点求不等式解集 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 题型07.图象法解二元一次方程组 题型08.求直线围成的图形面积 题型09.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.梯度计价问题 题型12.其他实际应用问题 题型13.一次函数与几何综合 解答题6题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点 04: 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法，称为二元一次方程组的图象解法。 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式： （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 知识点05:一次函数应用解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点06:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 高频易错点 1.看图时：上 > 0，下 < 0，交点 = 0。 2.实际问题：自变量不能为负、要符合题意。 3.方案选择：先列解析式，再比大小，最后写结论。 题型01.由直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系相关知识点．解题关键在于熟练掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标和方程的解之间的对应关系．已知一次函数的图象与轴的交点坐标，根据一次函数与一元一次方程的关系，直接得出方程的解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点．对于一元一次方程，它的解就是使得时的值，也就是一次函数图象与轴交点的横坐标． ∴当时，对应的，即方程的解为． 故选：D． 【跟踪专练1】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是． 故答案为： 【跟踪专练2】下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 题型02.一元一次方程解判定直线与x轴交点 【典例】已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 【跟踪专练1】已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 题型03.利用图象法解一元一次方程 【典例】若一次函数的图像如图所示，则关于的方程的解为_______．    【答案】 【分析】根据题中给出的一次函数的图像即可得出结果． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，读懂函数图像给出的信息是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是. 【跟踪专练1】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大， 当时，，即． 不等式的解集为． 【跟踪专练2】如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 题型05.两直线交点求不等式解集. 【典例】如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 【跟踪专练1】如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数图像，找出直线在直线下方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】由图像可知，直线 与直线 的交点坐标为， 不等式 即为， 观察函数图像可知，当时，直线 的图像位于直线 的图像下方， 所以的取值范围是． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点在直线上求出的值，确定交点横坐标，再结合函数图象，找出直线在直线下方部分对应的的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴交点的横坐标为． 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为． 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 【典例】已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：由图可知，函数的交点坐标为， ∴方程组的解是． 【跟踪专练1】直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据图象读出交点的横坐标，代入已知函数解析式求出纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为 1， 将代入，得， ∴两直线的交点坐标为， ∵方程组可变形为， ∴该方程组的解即为直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 【跟踪专练2】已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，解得，故两直线的交点为， B选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项B不符合题意； 而选项C中交点横坐标是负数，故选项C不符合题意； 选项D中交点横坐标是负数，选项D不符合题意； A选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项A可能正确，符合题意． 题型07.图象法解二元一次方程组 【典例】若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 【跟踪专练2】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 题型08.求直线围成的图形面积 【典例】如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【跟踪专练1】一次函数的图象经过点，，则的面积为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键；利用待定系数法求直线的解析式，即可求得直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， 令，则， ∴直线与y轴的交点C为， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 题型09.分配方案问题 【典例】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 【跟踪专练1】张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，选用方案一更优惠 【分析】（1）先计算总面积及厨房面积，再依据两种方案的优惠规则，分别建立总金额，与卫生间宽度的一次函数关系式并根据卫生间宽度的实际意义确定的取值范围； （2）根据“方案一更优惠”等价于列出一元一次不等式，求解后结合的实际意义，得出最终的取值范围． 【详解】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 【跟踪专练2】快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 题型10.最大利润问题 【典例】某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（    ） A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元 【答案】B 【分析】设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，根据在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台， 根据题意得：， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（元）， 答：该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是46200元． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出x的范围． 【跟踪专练1】某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 【答案】(1)(，且为整数) (2)购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 【分析】（1）先分别计算单个A、B配件的利润，再根据A配件的数量，表示出B配件的数量，最后根据总利润=单个利润×数量列出函数关系式，并注明自变量的取值范围． （2）先根据B配件购进件数不低于A配件的2倍列出不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的增减性，确定利润最大时的值及最大利润． 【详解】（1）解：配件单件利润：(元) 配件单件利润： (元)． 配件数量： ， ∴ (，且x为整数)． （2）解：， ， ， 中，， 随的增大而增大． 当时，取得最大值．． ∴购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 【跟踪专练2】综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 【答案】(1)35件 (2)1630元 (3)当 时，小号数量35 个，利润最大．当时，小号数量可为 35∼40 个；当时，小号数量40 个时，利润最大． 【分析】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，然后根据题意列不等式求解即可； （2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，然后根据题意列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求最值即可； （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，易得则文创店所获得的利润，然后分、和三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个， 由题意可得：，解得：， 所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件． （2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元． （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大． 当时，，小号数量可为 35∼40 个； 当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大． 题型11.梯度计价问题 【典例】某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 【详解】解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)y是x的函数， (2)元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，得，化简为即可求解； （2）根据题意，当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 【跟踪专练2】五月，正是高山杜鹃盛开的季节，小明一家人来到五指峰赏花．售票处有一公告栏，请根据公告栏信息回答下列问题： 公告栏各位游客，您好！欢迎您来到五指峰景区，本景点近期特惠门票价格如下： ①一次性购买10张及以下门票，票价是240元/张； ②一次性购买10张以上门票，超过10张的部分，每张八折优惠． (1)若他们一家人有6人，则门票总费用是________元． (2)设某旅游团有x人来此游玩，求该旅游团门票总费用y（单位：元）关于人数x的函数表达式． 【答案】(1)1440 (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，明确题中的数量关系是解答本题的关键． （1）人时，根据门票费用单价人数列式计算即可得解； （2）当时，门票费用=单价×人数；当时，门票费用张门票的费用超过张的门票费用，据此即可得到函数表达式． 【详解】（1）解：． （元） 门票总费用是元． （2）解：当时，； 当时，． 综上所述，旅游团门票费用关于人数的函数表达式为． 题型12.其他实际应用问题 【典例】在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 【答案】C 【分析】A．根据正比例函数图象的特征判断即可；B．当时，的值即为没有悬挂物体时，弹簧的长度；C．根据“悬挂物体的质量为时弹簧的伸长量此时弹簧的总长度没有悬挂物体时弹簧的长度”计算即可；D．根据图象计算悬挂的物体弹簧的伸长量，再根据“弹簧的长度没有悬挂物体时弹簧的长度悬挂的物体弹簧的伸长量悬挂的物体质量”计算即可． 【详解】解：∵图象是一条直线，但不过原点， ∴弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系，但不成正比例函数关系， ∴A不正确，不符合题意； 当时，，即没有悬挂物体时，弹簧的长度为， ∴B不正确，不符合题意； 当时，，， ∴悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了， ∴C正确，符合题意； 悬挂的物体弹簧的伸长量为， 当时，， ∴当悬挂的物体质量为时，弹簧的长度为， ∴D不正确，不符合题意． 【跟踪专练1】首届福建省城市足球联赛“闽超”于2026年4月19日在海峡奥体中心迎来揭幕战，联赛口号为“福聚八闽，爱拼会赢”，福州球迷小王为了宣传家乡福州队，准备印制大量海报为主队加油，其中有两家印刷厂报价． 甲厂收费标准：每份海报收2.5元印刷费，另收6000元的制版费； 乙厂收费标准：每份海报收5元的印刷费，不收制版费． (1)分别写出两个印刷厂的收费、（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． (2)如何选择印刷厂可以节省印刷费用？ 【答案】(1)， (2)当印刷海报数量少于2400份时，选择乙厂节省费用；当印刷海报数量等于2400份时，选择两个工厂费用相同；当印刷海报数量多于2400份时，选择甲厂节省费用 【分析】（1）根据两厂的收费标准求解； （2）分，，三种情况，分别列不等式或方程求解． 【详解】（1）解：根据甲厂收费标准可得 ， 根据乙厂收费标准可得 ； （2）解：分三种情况讨论： 当时，， 解得， 即当印刷海报数量少于2400份时，选择乙厂节省费用； 当时，， 解得， 当印刷海报数量等于2400份时，选择两个工厂费用相同； 当时，， 解得， 当印刷海报数量多于2400份时，选择甲厂节省费用． 【跟踪专练2】某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________g（结果保留整数）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】（）求出 ，当时，求出即可； （）根据画函数图象方法步骤即可求解； （）求出 ， ，然后相减即可； 由甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量，可知 向下平移个单位，即，然后通过图象即可求解． 【详解】（1）解：∵与近似满足一次函数关系， ∴设， 当时，；当时，， ∴，解得：， ∴ ， ∴当时， ， 故答案为：； （2）解：如图， （3）解：两种营养液中核心成分的质量均为， ∴ ， ， ∴两种营养液的平均株高增长量之差约为 ， 故答案为：； ∵甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量， ∴ 向下平移个单位，即，如图， 观察函数图象可知：两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为或， 故答案为：或． 题型13.一次函数与几何综合 【典例】如图，直线的解析式是，点的坐标是． （1）________； （2）连接，为一次函数图象上的一点（），过点分别作轴，轴，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】（1）将点的坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据勾股定理求出，结合已知条件求出的值，设点的坐标，利用两点间距离公式列方程求解，最后根据确定点的位置 【详解】解：（1）点在直线上 解得； （2）， ，即 由（1）知直线的解析式为 设点的坐标为 解得， 当时，，此时点坐标为 当时，，此时点坐标为 直线与轴交于点，与轴交于点 点为线段的中点 若点为，则点在线段上，此时，不符合题意． ∴． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点，点在轴正半轴上，的面积为． (1)求点的坐标； (2)点，点，连接并延长，使．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点，连接、，若的面积是．求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点，可得，代入的面积，可得，即可得点的坐标； （2）连接，证明，可得，，可得点的坐标； （3）连接，，，证明，可得，可得，，用待定系数法可得直线、的解析式，联立，解方程组，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵的面积为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， 又∵点在轴正半轴上， ∴． （2）解：∵点，点， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）解：连接，，， ∵，，， ∴，轴，轴， ∴， ∴四边形是正方形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， 设，，则，， ∴，， 解得， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得， ∴． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【答案】(1)①，；②2 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 【解答题】 1．定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解； （2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 2．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出一次函数与坐标轴的两个交点，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴一次函数与坐标轴的两个交点为，， ∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为． 3．如图1，在中，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出的面积为3时，的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)函数图象见解析； 性质：当时的面积取得最大值，最大值是6；或当时，的面积随P点运动的时间增大而增大，当时，的面积随P点运动的时间增大而减小 (3)1.5或5.5秒 【分析】（1）分两种情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据函数解析式即可作图，再可从增减性、最值的角度分析即可； （3）从函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，如图： ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 综上：； （2）解：函数图象如图： 性质：当时，的面积取得最大值，最大值是6；或当时，的面积随P点运动的时间增大而增大，当时，的面积随P点运动的时间增大而减小； （3）解：由题意得，当时，或 解得或， 或由函数图象可得，的面积为3时，的值为1.5或5.5秒． 4．如图，直线经过点和． (1)不等式的解集为__________； (2)将直线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位．求平移后得到的直线的函数关系式． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数图象解答即可； （2）先求得原直线的解析式，再利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象知：直线经过点，随的增大而减小， ∴不等式的解集为； （2）解：∵直线经过点和， ∴， 解得， ∴直线， ∵将直线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴． 5．如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）先将点代入直线的解析式求出的值，得到点的坐标；再利用待定系数法，将点和点的坐标代入直线的一般式，求出直线的解析式． （2）先求出直线、与轴的交点、的坐标，得到的长度；再以为底，点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． （3）根据与的面积关系，先求出的面积；设点的坐标，结合直线的解析式表示出点的横纵坐标关系，再利用三角形面积公式列方程求解点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线经过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， ， 点到轴的距离为， ； （3）解：的面积是面积的， ， 设点的坐标为， 直线与轴交于点， （或）， ∴，即， ∴， 当时，解得， 此时 当时，解得， 此时 点的坐标为或． 6．（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 【详解】解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一次函数与方程不等式及实际应用复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的对应关系。 2.会用函数图象解释方程的解、不等式的解集及方程组的解。 3.掌握一次函数实际问题的常见模型：路程、运费、利润、方案选择等。 4.明确实际问题中自变量取值范围的意义与求法。 1.能通过一次函数图象读出方程解、不等式解集、方程组解。 2.会将方程、不等式问题转化为一次函数问题解决。 3.能从实际情境中提取信息、列出函数解析式。 4.会利用函数图象与性质进行方案选择、最值判断、结果解释。 1.函数与方程、不等式的图象题、填空题快速得分。 2.实际应用题步骤规范：列式、求范围、画图、作答不丢分。 3.熟练解决方案选择、最值、最优决策类压轴题。 4.提升数形结合能力，为后续综合题打好基础。 题型01.由直线与坐标轴交点求方程的解 题型02.一元一次方程解判定直线与x轴交点 题型03.利用图象法解一元一次方程 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型05.两直线交点求不等式解集 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 题型07.图象法解二元一次方程组 题型08.求直线围成的图形面积 题型09.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.梯度计价问题 题型12.其他实际应用问题 题型13.一次函数与几何综合 解答题6题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3.三种位置与解的情况 相交 ⇔ 有唯一一组解 平行 ⇔ 无解 重合 ⇔ 有无数组解 知识点 04: 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法，称为二元一次方程组的图象解法。 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式： （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 知识点05:一次函数应用解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点06:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 高频易错点 1.看图时：上 > 0，下 < 0，交点 = 0。 2.实际问题：自变量不能为负、要符合题意。 3.方案选择：先列解析式，再比大小，最后写结论。 题型01.由直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 【跟踪专练2】下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 题型02.一元一次方程解判定直线与x轴交点 【典例】已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______． 【跟踪专练2】已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型03.利用图象法解一元一次方程 【典例】若一次函数的图像如图所示，则关于的方程的解为_______．    【跟踪专练1】如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型04.直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【跟踪专练2】如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型05.两直线交点求不等式解集. 【典例】如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型06.两直线交点与二元一次方程组的解 【典例】已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 【跟踪专练2】已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07.图象法解二元一次方程组 【典例】若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为________． 【跟踪专练1】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【跟踪专练2】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 题型08.求直线围成的图形面积 【典例】如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】一次函数的图象经过点，，则的面积为______ ． 【跟踪专练2】如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 题型09.分配方案问题 【典例】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【跟踪专练1】张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【跟踪专练2】快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 题型10.最大利润问题 【典例】某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（    ） A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元 【跟踪专练1】某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 【跟踪专练2】综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 题型11.梯度计价问题 【典例】某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【跟踪专练1】小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【跟踪专练2】五月，正是高山杜鹃盛开的季节，小明一家人来到五指峰赏花．售票处有一公告栏，请根据公告栏信息回答下列问题： 公告栏各位游客，您好！欢迎您来到五指峰景区，本景点近期特惠门票价格如下： ①一次性购买10张及以下门票，票价是240元/张； ②一次性购买10张以上门票，超过10张的部分，每张八折优惠． (1)若他们一家人有6人，则门票总费用是________元． (2)设某旅游团有x人来此游玩，求该旅游团门票总费用y（单位：元）关于人数x的函数表达式． 题型12.其他实际应用问题 【典例】在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 【跟踪专练1】首届福建省城市足球联赛“闽超”于2026年4月19日在海峡奥体中心迎来揭幕战，联赛口号为“福聚八闽，爱拼会赢”，福州球迷小王为了宣传家乡福州队，准备印制大量海报为主队加油，其中有两家印刷厂报价． 甲厂收费标准：每份海报收2.5元印刷费，另收6000元的制版费； 乙厂收费标准：每份海报收5元的印刷费，不收制版费． (1)分别写出两个印刷厂的收费、（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． (2)如何选择印刷厂可以节省印刷费用？ 【跟踪专练2】某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________g（结果保留整数）． 题型13.一次函数与几何综合 【典例】如图，直线的解析式是，点的坐标是． （1）________； （2）连接，为一次函数图象上的一点（），过点分别作轴，轴，若，则点的坐标是________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点，点在轴正半轴上，的面积为． (1)求点的坐标； (2)点，点，连接并延长，使．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点，连接、，若的面积是．求点的坐标． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【解答题】 1．定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 2．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 3．如图1，在中，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出的面积为3时，的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 4．如图，直线经过点和． (1)不等式的解集为__________； (2)将直线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位．求平移后得到的直线的函数关系式． 5．如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 6．（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $