二次函数与几何图形综合题（与相似三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

二次函数与几何图形综合题（与相似三角形问题）归纳练 1．如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 3．如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线分别交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)为抛物线的顶点，连接，横坐标为的点为第一象限抛物线对称轴右侧的一点，连接，设的面积为，求与的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，过点作轴于点，点在上，，求点的坐标． 4．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 5．如图1，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求m的值． (2)如图2，过点D作轴于点E，连接，，． ①求的正切值． ②若点N是第三象限内抛物线上的一动点，射线上是否存在点P，使得与相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点． (1)求、、的坐标； (2)抛物线与抛物线关于轴对称，、的对称点分别为、，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴分别交于、两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)如图1，点，顶点坐标为． ①求二次函数的解析式； ②点为抛物线上第四象限内一点，直线与相交于点，当时，求点的坐标； (2)如图2，、两点轴正半轴上，点为抛物线上位于第一象限内的一动点（在的右侧），过点、的直线交轴于点，过点、的直线交轴于点．当、两点的横坐标为时，试探究与之间的数量关系． 8．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标； (3)若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标． 9．如图，直线过定点，抛物线与x轴交于两点，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线上，过点的直线：交线段于点，交轴于点，交抛物线于点，若，求的值； (3)如图，是线段上一个动点，点在线段上，且，若有且只有两个不同的点使和相似，求的值． 10．如图，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点C． (1)求该函数的表达式； (2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作，垂足为点Q，连接． ①若，求线段的长度． ②求线段的最大值． 11．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为的中点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以为直角的与相似，若存在，请求出一个符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，B两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标． 13．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线关于y轴对称，且过点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接抛物线上两点，N，若，求点N的坐标； (3)如图2，过点作与y轴不垂直的直线交抛物线于点A和点B，线段的垂直平分线交y轴于点M，交于P，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数与几何图形综合题（与相似三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考》参考答案 1．(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 2．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，和，即可点坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）连接，设点，则 利用二次函数的性质求得最大值，此时点，面积最大为12，连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，有，即有，若点Q和点重合时，取最小值，则即可求得最小值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴，即点， ∵， ∴，即点， 则，解得， 则； （2）解：连接，如图， 设点，则 ∵， ∴时，点，面积最大为12， 连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，如图， 则， ∴， 即， 若点Q和点重合时，三点共线，最小值， 即, ∵， ∴， 则， 故最小值为． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形并找到最短距离是本题的关键． 3．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要运用待定系数法求抛物线解析式，通过作辅助线求三角形面积的函数关系式，以及利用相似三角形的性质和等腰直角三角形的性质求点的坐标，涉及二次函数、三角形面积、相似三角形、等腰直角三角形等知识点． （1）用待定系数法即可求解； （2）过作轴交于，求出抛物线顶点，对称轴，直线的解析式，再求出，从而可求，故； （3）过D作轴于T，延长交于P，设交于Q，证明，可得，从而，有，，求出，，，代入即可求解． 【详解】（1）把代入得： ，解得， 抛物线解析式为； （2）过作轴交于，如图： 抛物线顶点，对称轴为直线， 设直线为，代入，得：， 解得， 直线为， 横坐标为的点为第一象限抛物线对称轴右侧的一点， 的范围是， ∴与的函数关系式为； （3）过作轴于，延长交于，设交于，如图： ∴是等腰直角三角形， ①， 同（2）可知， ， ∴， ， ， 设直线为，代入 得： ，解得， ∴直线为， 当时，， ， ， ， ∴由①得，， ， ∴， 解得或， 经检验，都是原方程的解， ∴可求的坐标为或． 4．(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 5．(1) (2)①，②存在，点坐标分别为，，，，详见解析 【分析】（1）由抛物线的顶点得出，由与y轴交于点得出，进而即可得解； （2）①如图，过E点作交于点F，利用点的坐标和勾股定理得出的长，再利用正切的定义计算即可得解；②先确只有可能等于，再分当和两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵点为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点， ∴， ∴； （2）解：①如图，过E点作交于点F， 令得得，， ∴， ∵，，轴于点E， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②存在点P，使得与相似，理由如下， ∵点N是第三象限内抛物线上的一动点， ∴， ∴只有可能等于， 如图，设交轴于点， ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：点坐标分别为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，三角函数的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 6．(1)，， (2)存在，点的坐标为 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，求直线的解析式，二次函数与几何综合问题等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）分别令和，代入求值会解方程即可得解； （2）分当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，两种情况，理由相似三角形的判定与性质，求出与y轴的交点，从而求出直线的解析式，从而联立方程组求交点． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， 解得：， ∴，， 综上所述：，，； （2）存在，点的坐标为，理由如下： ∵抛物线与抛物线关于轴对称，的对称点分别为，， ∴，， ∵，， ∴， 当点P在x轴上方时，如下图所示： ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程组：， 解得：或， ∴． 当点P在x轴下方时，如下图所示： 同理可得：设直线的解析式为：， 联立方程组：， 则，即， ， 故此时无解； ∴综上所述：点的坐标为． 7．(1)①；②或； (2)，理由见解析 【分析】（1）①设抛物线的表达式为：，然后把代入即可求解； ②求出点的坐标为：，用待定系数法求出直线的解析式，设点，则，证明得，代入数据求出m的值，从而得出点D的坐标； （2）设抛物线解析式为，则，当时，，即．，用待定系数法求出直线的表达式为，得出点的坐标为：，同理可得，点，求出，，进而可证明． 【详解】（1）解：①设抛物线的表达式为：， 把代入，得 ， 解得， ∴； ②令， 解得， 即点的坐标为：， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 如图，作，交直线与H， 设点，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴或； （2）解：，理由如下： 设抛物线解析式为，则，当时，，即． 设点， 设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为：， 同理可得，点， 则，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何综合等，难度较大，属中考压轴题． 8．(1) (2)存在， (3)或或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，掌握相似三角形的性质是关键． （1）运用待定系数求解即可； （2）根据题意得到抛物线的对称轴直线为，则点关于对称轴的对称点，运用待定系数法求值直线的解析式，将代入计算即可求解； （3）根据相似三角形的性质数形结合，分类讨论． 【详解】（1）解：抛物线经过点和， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在，理由如下， 已知抛物线解析式为：， ∴对称轴直线为， ∴点关于对称轴的点的坐标为，如图所示，连接交对称轴与点， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设，且点在直线上， ∴， ∴； （3）解：已知抛物线解析式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， 点M在抛物线上，轴于N点，设点，则， 第一种情况，当点在轴上方时，即， ①点在位置时，，如图所示， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，点于点重合，不符合题意， ∴，则， ∴； ②当点在位置时，， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，（舍去），， ∴， ∴； 第二种情况，当点在轴下方时，即或， ①点在位置时，即，，如图所示， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，（均不符合题意，舍去）； ②点在位置时，即，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 综上所述，或或． 9．(1)抛物线解析式为 (2) (3) 【分析】（1）由求出定点，再把代入计算即可； （2）先求出， 代入得，得到，，再联立，得到，根据，得到，过作轴，过作轴交于，根据，得到，代入列方程计算即可； （3）先求出，，得到，则，即可得到或，再根据有且只有两个不同的点使和相似，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴定点， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， 把代入得，得到， ∴， 令，则， 令，则， ∴，， 联立，整理得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 过作轴，过作轴交于，则， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵过点的直线：交线段于点， ∴， ∴； （3）解：令，解得，令，则， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为，代入可得， 解得， ∴直线解析式为， 设， 过作于，则，， ∴， ∵是线段上一个动点，点在线段上，且， ∴， ∵和相似， ∴或， 当时，， ∴， 解得， ∴当时，成立，即此时存在一个点使； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵有且只有两个不同的点使和相似， ∴方程有且唯一解， ∴， 解得． 10．(1) (2)①；②最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定以及性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把点、代入组成二元一次方程组求解即可得出a，b的值，进而可求出该函数的表达式． （2）①由相似三角形的性质得出，，进而可得出，进而可得出点C和点P关于对称轴直线对称，求出，再求出，，，即可得出线段的长度． ②过P点作轴，交于M点，交x轴于N点，求出直线的解析式，设，则，进而可得出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点、在的图象上， ∴ ， 解得： ∴二次函数的解析式为 （2）解：①：∵ ∴， ∴，即轴， ∴点C和点P关于对称轴直线对称， 当时，， ∴ ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ∴ ②解：过P点作轴，交于M点，交x轴于N点，如图所示 由①知，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ 又∵轴 ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∴ ∴当时，线段的值最大，最大值为； 11．(1)， (2)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键 （1）运用待定系数法，将点，代入，解方程组即可得到抛物线的解析式，进而根据二次函数的图象及性质即可求出顶点C的坐标； （2）把代入抛物线解析式，求出点B的坐标，从而得到，的长，若与相似，则或．设，则，，，分两种情况讨论：①，②，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴，解得： ∴抛物线的解析式为． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴把代入得． ∴顶点的坐标为； （2）解：存在． 当时，代入得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴在中有，， ∴若与相似，则或， ∴或． 设点的坐标为， ∴点的坐标为 ∴，， ∴分两种情况讨论： ①如图1，若， 则， 解得或，（舍去）． ∴当时，， 当时，． ∴此时点的坐标为或； ②如图2，若， 则， 解得或，（舍去）． ∴当时，， 当时，． ∴此时点的坐标为或； ∴综上所述，所有符合条件的点的坐标为或或或． 12．(1)二次函数的解析式为 (2)或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴, 垂足为, 交于点，设表示出点坐标，再利用列式求解． 【详解】（1）把 代入 得，解得， ∴二次函数的解析式为 ； （2）解：如图,过点作轴, 垂足为, 交于点， 当时，解得 ∴, 当时，得 ， 设直线解析式为：，代入, 得，解得 ∴直线解析式为 设则 ， ∵, ，即 解得或 或． 13．(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为 ，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为 ，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 14．(1)； (2)； (3)存在， 或． 【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免漏解． 15．(1) (2) (3)固定不变 【分析】（1）由抛物线对称轴为轴可得，再通过待定系数法求解． （2）过作交于，再过作轴于，过作轴于，则，，即可求出点坐标，再联立和抛物线求出点坐标． （3）设直线解析式为，由点可得，联立抛物线方程可得，，从而可得中点坐标，点作轴于点，作轴的平行线交过点的轴平行线于点，由垂直平分可得所在直线解析式，进而求解． 【详解】（1）解：抛物线关于轴对称， ，即， ， 将，代入得， 解得， ． （2）解：过作交于，再过作轴于，过作轴于，则， ∵，轴，轴 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴ （3）解：设直线解析式为， 直线过点， ， 令，整理得， 设点，，，， ，， 设中点为，，则， ， ， 如图，过点作轴于点，则点坐标为，作轴的平行线交过点的轴平行线于点，   ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求抛物线解析式，正切，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $