精品解析：江苏南京市金陵中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试 一、选择题（共8小题） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，结合几何意义，即可得答案. 【详解】由题意，得点坐标为，位于第三象限. 2. 某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据整理为11，12，12，12，14，15，16，17， 又，则该组数据的第70百分位数为第6个数15． 3. 已知向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得， ， 解得． 4. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得各个角度，根据正弦定理，可得BC，根据三角形的性质，即可得答案. 【详解】由已知得在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 又因为仰角为45°，所以三角形是等腰直角三角形， 所以. 5. 若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的平方关系及商数关系求解即可. 【详解】平方得，即， 所以. 6. 在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等面积法，结合三角形面积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以， 解得. 7. 设函数的最小正周期为，若，为的一个零点，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，由，得到， 即有，即， 根据可得，所以， 又由零点得， 即有， 化简得，又，则. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、诱导公式，可得角C，根据正弦定理，可得边长c的值，根据余弦定理，结合基本不等式，可得的范围，分析即可得答案. 【详解】由，得， 则， 因为，所以，则，所以， 又由外接圆半径为1可知，即， 由余弦定理得，则，即， 由基本不等式得， 所以，整理得， 化简得（当且仅当时取等）， 所以周长的最大值为. 二、多选题（共3小题） 9. 若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（ ） A. ，，，的极差等于，，，，的极差 B. ，，，的平均数等于，，，，的平均数 C. ，，，的中位数等于，，，，的中位数 D. ，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【解析】 【分析】由统计中的数学特征进行计算即可． 【详解】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 10. 已知复数（为虚数单位），则下列说法错误的是（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据实部、虚部的定义，可判断A、B的正误；根据求模公式及共轭复数的定义，可判断C、D的正误. 【详解】由题意， 所以z的实部为1，虚部为1，故A正确，B错误， 模为，共轭复数为，故C正确，D错误. 11. 已知，、分别为该三角形的外心、垂心，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则在上的投影向量的坐标为 B. “”是“为等腰三角形”的充分不必要条件 C. 若，，，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出在上的投影向量可判断A；由正弦定理充分条件的定义可判断C；取的中点，则，则可判断C；设，由，，，化简解得，，，求出，可得可判断D. 【详解】对于A，若，，，，， 则在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若，则， 则正弦定理得，得， ，可得或， 所以或，可得不一定为等腰三角形，故B错误； 对于C，若，，，取的中点，则， 则，故C正确； 对于D，因为为该三角形的垂心，所以 ，， ，， 设， 若，则， ，， 所以, ，， ,， ， 解得，，， 则，， 所以，故D错误. 三、填空题（共3小题） 12. 已知是虚数单位，复数的模为________. 【答案】 【解析】 【详解】， 所以. 13. 如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】以为原点，以、为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 设，则，. 所以. 所以当在五边形上移动纵坐标最大时，取最大值. 易知，当点与点重合时，点纵坐标最大，此时， 因此的最大值为. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、诱导公式、正弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 即有，所以有，即，即，所以（舍）或， 即，由三角形内角和可知， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 四、解答题（共5小题） 15. 设复数 （其中为虚数单位，），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）计算 ，根据其为实数求出 的值，再由复数的乘法法则计算即得； （2）根据复数的除法法则化简 ，利用其为纯虚数求出的值即可. 【小问1详解】 因为 ， ，所以 ， 因为 是实数，所以，解得 ，则 ， 所以 ； 【小问2详解】 因为 是纯虚数，所以且 ， 则得，满足 ，故. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知求角，再应用余弦定理求边长； （2）先应用余弦求边长，再结合面积公式求角. 【小问1详解】 由得，所以， 由余弦定理得，解得； 【小问2详解】 ，， ，， ， ， ，， ， ， . 17. 设向量，（，）函数，. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调增，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求出的解析式. 条件①：； 条件②：在区间上单调减. （3）在（2）的条件下，若锐角满足，求的值. 【答案】（1）； （2）选条件②，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变形化简得，再代值求即可； （2）由，则不存在，故选条件②，由单调性可知时取最小值，再代入结合求参数即可； （3）由题可知，再得到，根据，结合二倍角及正弦和角公式求解． 【小问1详解】 ， 若，则有，因为，则； 【小问2详解】 由（1）知，则不存在， 故选条件②，则可知时取最小值，故有， 即，即， 又由得，即， 解得，，所以； 【小问3详解】 由得，因为是锐角，所以， 因此，所以， 所以 . 18. 校园绿化是提升校园品质、改善空气质量、创造怡人学习生活环境的重要组成部分.某校决定对一块半径为，的半圆形空地进行绿化建设. （1）如图，甲单位提供的设计方案是：建设一块矩形绿化园，其中，位于半圆的直径上，，位于半圆上，记.求矩形面积关于的函数解析式，并求的最大值； （2）如图，乙单位提供的设计方案是：在半圆的圆弧上取两点，，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域进行绿化建设，其中，分别在直线，上，与平行，，在扇形的圆弧上，求该方案中绿化区域的总面积的最大值，并请在两个方案中进行选择，同时说明理由. 【答案】（1）， （2） 将延长与相交于点，且设， 在直角三角形中，由三角函数的定义可得，， 所以在直角三角形中，由三角函数定义可得，即， 因此， 所以 ， 所以， 当时取最大值，由于，所以选择方案二. 【解析】 【分析】（1）分析圆内接矩形的几何特征，利用圆心角参数和直角三角形的边角关系，将矩形面积表示为该角的函数模型，随后运用二倍角公式将面积表达式化简为单一正弦型函数，并根据正弦函数的有界性直接确定其最大值及对应的参数取值； （2）将复杂绿化区域分解为两个扇形和一个内接矩形，通过引入新的参数角，在多个直角三角形中利用正、余弦函数逐层表示矩形边长并推导其面积表达式，最后运用降幂公式和辅助角公式将矩形面积合并为正弦型函数，结合扇形常数部分得到总面积函数，利用正弦函数值域求出最大值，并通过数值比较完成方案选择. 【小问1详解】 在直角三角形中，由三角函数的定义可得，， 所以，当时，取最大值900； 【小问2详解】 略 19. 设定义在数集上的函数，其中是正整数，. （1）若，，， ①求函数的最大值 ②解不等式； （2）复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于，求的模的取值范围. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，利用三角恒等变换化简即可求解； ②化简得，再因式分解解三角不等式即可； （2）由已知有，设，则，由题意，得，即可求解． 【小问1详解】 ① ， 当时取最大值； ② ， 由得， 即， 因式分解有，即， 又，即，则，即， 即， 所以解得． 【小问2详解】 由已知有， 设， 则 ， 存在实数，使得为实数且不小于， 则，因为，则， 即在复平面对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上（去掉与轴交点）时满足题意， 所以的模的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试 一、选择题（共8小题） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 3. 已知向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 5. 若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的最小正周期为，若，为的一个零点，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（ ） A. ，，，的极差等于，，，，的极差 B. ，，，的平均数等于，，，，的平均数 C. ，，，的中位数等于，，，，的中位数 D. ，，，的标准差大于，，，，的标准差 10. 已知复数（为虚数单位），则下列说法错误的是（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 11. 已知，、分别为该三角形的外心、垂心，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则在上的投影向量的坐标为 B. “”是“为等腰三角形”的充分不必要条件 C. 若，，，则 D. 若，则 三、填空题（共3小题） 12. 已知是虚数单位，复数的模为________. 13. 如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_________. 四、解答题（共5小题） 15. 设复数 （其中为虚数单位，），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 17. 设向量，（，）函数，. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调增，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求出的解析式. 条件①：； 条件②：在区间上单调减. （3）在（2）的条件下，若锐角满足，求的值. 18. 校园绿化是提升校园品质、改善空气质量、创造怡人学习生活环境的重要组成部分.某校决定对一块半径为，的半圆形空地进行绿化建设. （1）如图，甲单位提供的设计方案是：建设一块矩形绿化园，其中，位于半圆的直径上，，位于半圆上，记.求矩形面积关于的函数解析式，并求的最大值； （2）如图，乙单位提供的设计方案是：在半圆的圆弧上取两点，，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域进行绿化建设，其中，分别在直线，上，与平行，，在扇形的圆弧上，求该方案中绿化区域的总面积的最大值，并请在两个方案中进行选择，同时说明理由. 19. 设定义在数集上的函数，其中是正整数，. （1）若，，， ①求函数的最大值 ②解不等式； （2）复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于，求的模的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $