精品解析：山西太原市第五中学校2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试题

2025~2026学年（下）高一中期质量评估 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 零向量没有方向 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误； B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误； C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误； D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确． 4. 若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆柱表面积及体积公式即可求解. 【详解】设圆柱母线长为，,则表面积， 体积，所以． 故选：A 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得，再应用倍角余弦公式求结果. 【详解】由题设， 所以 ， 由， 所以. 7. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以． 因为在上恰有3个零点，所以，解得． 8. 在菱形中，为边上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】建系，由向量模长的坐标表示即可求解 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系． 则， ， 当且仅当时取等号． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，则实数a的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程并检验得到符合条件的的值. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 化简得，解得或．检验知满足题意，故． 故答案为：2. 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】由题设，又与的夹角为锐角， 所以，则， 所以，可得且. 14. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形和题设条件，推出，以及和，利用向量数量积的运算律化简得出，根据图形，即可确定的最大最小值，从而得到的取值范围. 【详解】因，，，则有， 又因是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点， 则得， 因，， 则 ， 由图知，当与同方向时，取得最大值1， 当与反方向时，取得最小值， 故. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，平行四边形中已知，点在边上运动， （1）求点坐标； （2）判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由可得点坐标； （2）由，，以及得到，从而得到D点坐标. 【小问1详解】 由题意，得， 因为四边形是平行四边形， 所以，故； 【小问2详解】 由题意，， ， 若，则， 化简得：，解得， 故存在点，使得，且. 16. 已知函数． （1）的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）求不等式在上的解集． 【答案】（1） （2）单调递增区间为；单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式以及辅助角公式化简得出的表达式.然后即可得出周期； （2）根据正弦函数的性质列出不等式，求解即可得出单调区间； （3）由不等式可得出.根据已知的范围得出.进而结合正弦函数的图象得出，求解即可得出答案. 【小问1详解】 . 所以，的最小正周期. 【小问2详解】 由可得， ， 所以，的单调递增区间为； 由可得， ， 所以，的单调递减区间为. 【小问3详解】 由可得， 整理可得. 因为，所以. 根据正弦函数的图象可知， 要使，应满足， 解得. 所以，不等式在上的解集为. 17. 在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高． （1）求正四棱台的表面积和体积； （2）在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值． 【答案】（1）表面积，体积 （2） 【解析】 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面积； （2）把该四棱台沿侧棱展开在同一平面，可得彩带的路径必须沿路径，计算的长度，可得最短彩带的长度. 【小问1详解】 由题可知正四棱台的体积， 记分别为棱台上、下底面的中心，分别取中点，连接， ，在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，所以， 所以， 所以正四棱台的表面积． 【小问2详解】 把该四棱台沿侧棱展开，得到如图所示的图形，要使这种彩带长度最小，则彩带的路径必须沿如图所示的路径．在等腰梯形中，设，易知． 在中，， 又， 由余弦定理得， 所以彩带最少需要． 18. 在中，角，，的对边分别是，，，． （1）求； （2）若是边的中点，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理求解即可. （2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即． 由余弦定理可得，则，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为D是边的中点，所以， 所以，即． 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 即当时，的面积取得最大值． 19. 如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． （1）当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）表面积为10，体积为2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用长方体的表面积和体积计算方法计算即可； （2）由图和已知可知三棱锥的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，由表示出后，利用基本不等式即可求出最大值； （3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球，则由表示出后代入并化简，利用基本不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为底面 为正方形，所以， 则长方体的表面积为， 体积为. 【小问2详解】 由图和已知， ， 当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为. 【小问3详解】 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为则， 所以， 则， 令，则，， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年（下）高一中期质量评估 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 零向量没有方向 D. 若，则 4. 若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在菱形中，为边上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的表面积之比为 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，则实数a的值是________． 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，平行四边形中已知，点在边上运动， （1）求点坐标； （2）判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由． 16. 已知函数． （1）的最小正周期； （2）求的单调区间； （3）求不等式在上的解集． 17. 在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高． （1）求正四棱台的表面积和体积； （2）在计划中需要用某种彩带从到沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值． 18. 在中，角，，的对边分别是，，，． （1）求； （2）若是边的中点，且，求面积的最大值． 19. 如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． （1）当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $