2026年中考数学热门考点通关练——二次函数与特殊四边形综合常见题型练

2026年中考数学热门考点通关练一二次函数与特殊四边形综 合常见题型练 1.如图，己知二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A(-1,0),B(2,0),交y轴于点C ,P是抛物线上一点. B 备用图 ()求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线BC上方时，求△PBC面积的最大值； (③)直线PE‖x轴，交直线BC于点E,点D在x轴上，点F在坐标平面内，是否存在点P, 使得以D,E,F,P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在， 请说明理由. 2.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A-3,0)和点B,与y轴交于点 C(0,-3. 备用图 (①)求二次函数的表达式： (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足∠QAB=∠OBC,请求出点Q的坐标： (③)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F,使得以A,C,E,F为顶点的四 边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 3.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,其中点A(-4,0) 试卷第1页，共3页 点C(0,4),点D为抛物线上动点. B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②图1，点D在第二象限，连接0、CD.作AE10D丁点E,当am∠01E-时，求 △OCD的面积； (3)如图2，取OC的中点F,作直线AF,点P为直线AF上一点，若点A,C,D,P为顶点的 四边形为平行四边形，请直接写出点D横坐标。 4.如图，抛物线y=ax2+bx-2(a>0经过点A-1,0)和B3,4),点M(x,y)是线段AB上 的动点（不包含端点），过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N. (1)求抛物线的表达式： (2)求△ABN面积的最大值； (3)设P为抛物线的顶点，在坐标系内存在点D,使得以A,B,P,D为顶点的四边形是平行 四边形，则满足条件的点D一共有多少个？请任意求出其中一个点D的坐标， 5.如图，已知二次函数y=-x+r+c(其中b,c为常数)的图象经过点A6,2引，点 C(O,8),顶点为点M,过点A作AB∥x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连 接BC. 试卷第1页，共3页 D 备用图 ()求该二次函数的解析式及点M的坐标. (2)若点E是直线AC上方的抛物线上的动点，求四边形AECB面积的最大值， (3)点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE,记点M关于直线PE的对称点 为Q.当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求直线AC的解析式； (2)求B,D两点的坐标； (3)请在抛物线的对称轴上找一点M,使△ACM的周长最小，求出M点的坐标； (④)点P是x轴上一个动点，点P作直线‖AC交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运动， 在抛物线上是否存在定点Q,使得A,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形，若存在， 请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 地物线y=ar'2+c经过ABC的三个顶点，与y轴相 点A坐标为 (-1,2),点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上. 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E,G,当四边形 OEFG为正方形时，求出F点的坐标； (3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG, 当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t,正方形DEFG的边EF与AC交于点M, DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形？ 若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由 8.如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2, OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对 称轴交于M点，P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q M B O (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式； (2)是否存在点P,使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条 件的点P的坐标；若不存在，请说明理由： (③)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否 成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由。 9.如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为-1,0)，OC=2, 试卷第1页，共3页 OB=3,点D为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式： (②)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标： (3)连接BC,点M是抛物线上的动点且在直线BC上方，求点M到直线BC距离最大时，点 M的坐标及最大距离值 10.如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点 B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式： (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C,若四边形POP'C为菱形， 请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标 11.综合与探究 如图，抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C,顶点 为D,对称轴分别交x轴，BC于点F,E.P是射线DF上一动点，过点P作BC的平行线 MN交x轴于点Q,交抛物线于点M,N（点M位于对称轴的左侧)，设点P的纵坐标为m. 试卷第1页，共3页 E (1)求A,B,C三点的坐标并直接写出直线BC的函数表达式. (2)①点P在线段DF上运动，当MQ=3PQ时，求m的值； ②J是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，当满足以点C,P,M,J为顶点的四边形是平 行四边形时，直接写出m的值. 12.如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C. D M E 0 B 图1 图2 (1)请直接写出：抛物线的解析式为 (2)点D在第二象限内的抛物线上，OD交AC于点E,若△AOE与△ABC相似，求点D的坐 标； (3)如图2，点T(-1,1)在对称轴上，过点T任作直线！（不同于对称轴）交抛物线于M、N两 点，点P为对称轴上的一个定点，以PM、PN为邻边作平行四边形PMQN,若在MN的旋 转变化过程中，点Q始终落在抛物线上，求点P的坐标. (④)（选做，不计总分）若平行四边形PMQN的面积为12，请直接写出直线1的函数解析式 为 试卷第1页，共3页 2 13.如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点（点A在点B的左侧）， 3 与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D,动点M在抛物线上运动，过 点M作MP⊥x轴，垂足为P,交直线CD于点N. B x (1)求抛物线的解析式： (②)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M运动过程中，若C、E、F、 M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标 试卷第1页，共3页 参考答案 1,(1)解：：二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A-1,0),B(2,0), 」-(-102-b+c=0 -22+2b+c=0 b=1 解得 c=2' .y=-x2+x+2. (2)解：在y=-x2+x+2中，令x=0,得y=2, C(0,2）, 设P(a,-a2+a+2, :点P在直线BC上方，B(2,0),C(0,2), .0<a<2,0B=0C=2, 作PH⊥x轴于点H,则OH=a,PH=-a2+a+2, B 用割补法求面积： ·△PBC的面积等于梯形PHOC的面积加△PHB的面积减去△COB的面积， 榜形PH0C的面积=PH+CooH=a+a+2+2列a, aPHB的面积=PHB1=a+a+22-a. AC0B的面积=】OB0C=2×2 2 .△PBC面积 -+a+2+2列a+-a2+a+2]2-o)-2x2x =-a2+2a =-(a-12+1, 答案第1页，共2页 (a-120, .-a-1≤0， -(a-12+1≤1， .△PBC面积的最大值为1. (3)解：存在点P,使以D,E,F,P为顶点的四边形是正方形， 设直线BC的解析式为y=+b, B(2,0),C(0,2), [2k+b=0 1b=2 ,k=-1 解得6=2' .直线BC的解析式为y=-x+2, 设Pm,-m2+m+2,En,-n+2, :PEx轴， -m2+m+2=-n+2, .n=m2-m, .Em2-m,-m2+m+2), ①如图，四边形PDFE为正方形，则PE=PD, A B DOF ∴.m2-m-m=-1m2+m+2, 解得m=-或m=2(不合题意，舍去)， 4m2=-- 答案第1页，共2页 P2》 ②如图，四边形PDEF为正方形，点F在PE上方， 连接PE,DF,交于点M,则MD⊥PE,PE=2MD, m2-m-m=2-m2+m+2）, 解得m=或m=2(不合题意，舍去 +2=8 9 8 ③如图，四边形PFED是正方形，点F在PE下方， 连接PE,DF,交于点N,则ND⊥PE,PE=2ND, m2-m-m=2[-(-m2+m+2], 解得m=-2或m=2(不合题意，舍去)， -m2+m+2=--2)2-2+2=-4, P(-2,-4), B(D) 15)28) 点P的坐标为24或5或-2，-4. 答案第1页，共2页 2.(1)二次函数解析式为y=x2+2x-3 (2)0(-2,-3 (3)存在，以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为(2,5)或(-2，-3)或 (-4,5) 【分析】(1)把A-3,0),C(0,-3)代入，运用待定系数法求解即可； （2)根据题意得到OB=L,0C=3,由正切值的计算得到an∠0BC=0C-3,结合题意， OB tan∠QAB=tan∠OBC=3,设Q(q,q2+2q-3(-3<q<0),过点2作QM⊥x轴于点M, 代入计算即可求解； (3)根据题意得到二次函数对称轴直线为x=-1,设E(-l,,F(f,f2+2f-3,且 A(-3,0),C(0,-3),根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求 解。 【详解】(1)解：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,与y轴交于 点C(0,-3), f9-3b+c=0 c=-3 [b=2 解得， (c=-3' 二次函数解析式为y=x2+2x-3; (2)解：二次函数解析式为y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0, 因式分解得，（x-1)(x+3=0, 解得，x=1,x2=-3, B1,0), .OB=1,OC=3, 答案第1页，共2页 如图所示，连接BC, M B :∠B0C=90°， :tan∠0Bc=OC =3, OB :点Q是抛物线在第三象限上的一点， 设Q(9,g2+2g-3(-3<g<0),过点0作QM⊥x轴于点M, .M9,0),AM=9-（-3)=9+3,0M=-q2-2q+3, :满足∠QAB=∠OBC, .tan∠QAB=tan∠OBC=3, :2w-3. AM -9-2g+3-3, 9+3 整理得，g2+5g+6=0, 因式分解得，（9+2)(g+3)=0, 解得，9=-2,92=-3（舍去)， .9=-2,则g2+2g-3=(-2)+2×(-2)-3=-3, 0-2,-3)； (3)解：二次函数解析式为y=x2+2x-3, :对称轴直线为x=-2-1, 2 设E(-1,e,F(f,f2+2f-3,且A-3,0),C(0,-3), 当四边形ACFE是平行四边形时， 答案第1页，共2页 E 对角线交点的横坐标相等，即∫-3_0-1， 221 解得，f=2, f2+2f-3=22+2×2-3=5, .F(2,5); 当四边形AECF是平行四边形时， 0-3-1+f 2 2 解得，f=-2, .f2+2f-3=(-2+2×(-2)-3=-3, f(-2,-3): 当四边形ACEF是平行四边形时， 答案第1页，共2页 2 解得，f=-4, .f2+2f-3=（-4)2+2×(-4)-3=5, .F(-4,5); 综上所述，存在以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为2,5)或 -2,-3或(-4,5. 3.(1)y=-x2-3x+4 (2)V17+1 ③)-7+3或7-下或7 4 4 【分析】(1)利用待定系数法解答，即可； (2)设点D的坐标为(t,-t2-3t+4),过点D作DM⊥y轴于点M,则 DM=-4,0M=--31+4,证明∠0AE=∠C0D,可得an∠0AE=tan∠COD-=DF={, -t1 从而得到一3+42，即可求解： 1 (3)先求出直线4F的解析式为y=方+2，设点Pmm+2小，Dm--3n+,然后表 据平行四边形，分三种情况讨论，即可· 【详解】(1)解：把点A-4,0),点C(0,4)代入抛物线y=-x2+bx+c,得： 6+-0,解等：3 b=-3 c=4 答案第1页，共2页 ∴.抛物线的解析式为y=-x2-3x+4; (2)解：设点D的坐标为1，-12-31+4)， 如图，过点D作DM⊥y轴于点M,则DM=-t,OM=-t2-3t+4, M B :AE⊥OD, .∠AE0=∠DMC=∠A0C=90°， .∠OAE+∠AOE=∠COD+∠AOE, :ZOAE ZCOD :tan∠0AE=2' 1 tan∠0AE=tan∠CoD=DF=1 0F2' -t 1 -P-3+42' 解得：{=-v7 .(舍去) 2 DM=1+17 2 ..0c=1.OC.DM=x4x 1+7三7+1： 2 2 (3)解：：点F为0C的中点， 点F(0,2, 设直线AF的解析式为y=kx+b,, 把点F(0,2),A-4,0)代入得： [-4k+b=0 1 k= ,解得： 2, b,=2 b=2 1 :直线AF的解析式为y=2x+2, 答案第1页，共2页 1 设点Pm2m+2D(m-n2-3n+4到， 当AD,CP为对角线时， -4+n_m+0 15 2 2 m=- m=-4 2 1 (舍去)或 0-n2-3n+4 m+2’解得： 4+ n=0 n=- 2 2 2 此时点D的横坐标为2 7 当AP,CD为对角线时， [-4+m=n+0 [9+V113 [9-V113 2 2 m=- m=- 02 解得： 4 (舍去)或 4 4-n2-3n+4 -7+V113 -7-√113 n= n= 2 2 4 此时点D的横坐标为-7+3或-7-3 4 当AC,DP为对角线时， [4+0_n+m 2 m=- 1m=-4 2 0+4_2m+2-n2-3n+4'解得： (舍去)或 n=0 7 n=- 2 2 此时点D的横坐标为) 踪上所述，点D的横坐标为7+13或713或一子 4 4 4.(1)y=x2-x-2 (2)8 8满远张件的点0兆精3个0号）成-子-]或侣引 【分析】本题考查了二次函数综合。 (1)点A-1,0)和B(3,4代入y=ax2+bx-2,求出a和b的值即可；、 (2)求出AB的解析式为y=x+1,则M(xox+1N(xo,x,2-x。-2,得出MN的表达式， 再用铅锤法得出，S=)MN(X。-x,小，根据二次函数的性质，即可解答， 2 (3)根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：将点A(-1,0)和B(3,4)代入y=ax2+bx-2得： 0=a-b-2 4=9a+3b-2' a=1 解得： b=-1' .抛物线的表达式为y=x2-x-2; (2)解：设AB的解析式为y=x+m, 0=-k+m 将点A-1,0)和B3,4)代入得： 14=3k+m k=1 解得： m=1' .AB的解析式为y=x+1, .M (xoxo+1) .N(ox2-x-2), 点M(xoyo是线段AB上的动点 .MW=x。+1-x,2-x0-2=-x,2+2x。+3, S.mw=MN(x-x4) -x2+2%+3列x4 =-2x02+4x0+6, :-2<0,开口向下， 当% 一=1时，△ABN面积取最大值， 此时S。BN=-2+4+6=8. 答案第1页，共2页 M 3》解--2(} 哈 设D(x,y), ①当AB为对角线时： ，解得： 2 x= 0+4=-9 25 +y 4 ②当AP为对角线时： 1 -1+二=3+x 7 X=- 2 09 ,解得： 2 =4+y y=- 25 4 4 子 ③当AD为对角线时： -1+x=3+ 9 x= 2 解得： 0+y=4- 7 4 y= 4 综上：满足条件的点D一共有3个，D曾)或D子空)成) 5.0y=22+2x+8:M2,10 答案第1页，共2页 (3)点P的坐标为2,6或(-6,14) 【分析】(1)利用待定系数法和配方法解答即可； (2)先求出直线AC的解析式为.求得△ACE面积的最大值即可求得结论； (3)利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似 三角形的判定和性质解答即可. 【详解】(1) 1 解：：二次函数y= 2 x2+bx+c的图像经过点A(6,2),点C(0,8), [1 ×36+6b+c=2 2 c=8 b=2 解得： (c=8' :该二次函数的解析式为y=-x+2x+8, 2 1 y=- x2+2x+8= 2 2x-22+10, :顶点M(2,10); (2)解：：对称轴为直线x=2,点A6,2),AB∥x轴， B(-2,2), AB=8,CD=6, 5mB.cD-x8x6=24, 设直线AC解析式为y=mx+n, n=8 则 6m+n=2' n=-1 解得n=8' :直线AC解析式为y=-x+8, 过E作EG∥y轴交AC于点G, 答案第1页，共2页 设E-+2+8,则G-1+8 .EG=- 2+2+8-(-1+8=-+3， 22 边0=Sc+Sc=-32+9g+24=-3 2 -32+75 当1=3时，S=75为最大值， :四边形48CB面积的最大值为5， (3)解：当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为(2,6)或 （-6,14), 理由：①当四边形PAQM为平行四边形时，MQ=PA. 连接MC,过点M作MH⊥y轴于点H,设MQ与PE交于点F,如图， M(2,10),C(0,8), MH=2,CH=0H-0C=10-8=2, :CH =MH, .∠MCH=45°， 答案第1页，共2页 :AD=6,CD=0C-0D=8-2=6, :AD=CD, .∠ACD=∠CAD=45°， LMCP=90°， .四边形PCMF为矩形， .PC=MF, :点M关于直线PE的对称点为Q, 过点P作PG⊥y轴于点G, 设P(x,-x+8),则PG=x, :PG∥AD, :aPCG∽aACD, PG CP 1 AD CA3 .x_1 631 .x=2. .P(2,6); ②当四边形PAMQ为平行四边形时，MQ=PA,连接MC, 过点M作MH⊥y轴于点H,设MQ与PE交于点F,如图， O E F h B D :M(2,10),C(0,8), 答案第1页，共2页 MH=2,CH=OH-OC=10-8=2, :MH =CH, .∠MCH=45°， :AD=6,CD=OC-OD=8-2=6, :AD =CD :∠ACD=∠CAD=45°， LMCP=90°， ∴四边形PCMF为矩形， .PC=MF, :点M关于直线PE的对称点为Q, .PC-MF-MO-PA. 过点P作PG⊥y轴于点G, 设P(x,-x+8),则PG=-x, :PG∥AD, .△PCGAACD, ..Pa_Pc AD AC =1, x=1. 6 x=-6,P(-6,14. 综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为2,6或(-6,14) 6.(1)y=3x+3 (2)B(3,0,D1,4 (3)1,2） (4(2,3)或1+7，-3或1-V7,-3 【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二 次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质； (1)令y=0,解方程求出A、B的坐标，再令x=0求出点C的坐标，然后利用待定系数 答案第1页，共2页 法求一次函数解析式求解即可； (2)把函数解析式整理成顶点式形式求出顶点D的坐标，即可求解； (3)根据轴对称确定最短路线问题，连接BC,与对称轴的交点即为所求的点M，然后求 出直线BC的解析式，再求解即可； (4)分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、 C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解 即可. 【详解】(1)解：令y=0,则-x2+2x+3=0, 整理得，x2-2x-3=0, 解得x=-1,x2=3, 所以，点A-1,0),B3,0), 令x=0,则y=3, 所以，点C的坐标为0,3)， 设直线AC的解析式为y=x+b, -k+b=0 则 b=3 k=3 解得b=3 所以，直线AC的解析式为y=3x+3; (2):y=-x2+2x+3=-(x-12+4, :顶点D的坐标为1,4)， 由(1)可得B(3,0 ：B(3,0,D(1,4 (3):A、B关于对称轴直线x=1对称轴， :直线BC与对称轴的交点即使△ACM的周长最小的点， 设直线BC的解析式为y=mx+n, 答案第1页，共2页 3m+n=0 则 n=3 m=-1 解得 n=3, 所以，直线BC的解析式为y=-x+3, 当x=1时，y=-1+3=2, 所以，点M的坐标为1,2)； (4):直线1I‖AC, .PQ‖AC且PQ=AC, :A(-1,0,C(0,3, :设点P的坐标为x,0), 则①若点0在x轴上方，则点Q的坐标为x+1,3), 此时，-(x+1)+2x+1+3=3, 解得x=-1（舍去)，2=1， 所以，点Q的坐标为2,3)， ②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为x-1,-3), 此时，-(x-1)2+2(x-1)+3=-3, 整理得，x2-4x-3=0, 解得x1=2+√7，x,=2-√7， 综上所述，点0的坐标为：(2,3)或1+7，-3或1-V7,-3列 7.0-号 4 (2)(1,1 (3)存在，的值为，或3-V5或1 【分析】(1)由二次函数的性质可得抛物线的顶点为 0 即得y=ar2+ 4’再利用待 定系数法解答即可求解： 答案第1页，共2页 (2)分点F在第一象限和第二象限两种情况，先求出直线AC的解析式，再利用正方形的 性质求出点F坐标即可； (3)过点M作MH⊥DN于H,表示出M、N的坐标，再根据等腰三角形的定义分三种情 况解答即可求解： 本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解 题的关键 【详解】(1)解：：点B是点A关于y轴的对称点， 抛物线的对称轴为y轴， 抛物线的顶点为 ·抛物线的解析式为y=ar2+? :A(-1,2)在抛物线上， 9 :.2=a+4' 解得a= 4' :抛物线的函数关系表达式为y=一4+4： 1 9 4 (2)解：①当点F在第一象限时，如图1， 图1 令=0，得-2+9 =0 4 4 解得x=3,x2=-3, 点C的坐标为3,0)， 设直线AC的解析式为y=mx+n, 2=-m+n 0=3m+n 答案第1页，共2页 1 m=- 解得 2 3 直线4C的解析式为y=-x+3 2x+21 设正方形OEFG的边长为p,则F(P,P), 点Fpp在直线y之x+上 2 13 ·p=-2P+2 解得p=1, 点F的坐标为1,1)： ②当点F在第二象限时，同理可得点F的坐标为-3,3)，此时点F不在线段AC上，故舍 去： 综上所述，点F的坐标为1，)： (3)解：存在，理由如下： 过点M作MH⊥DN于H,如图2，则OD=t,OE=t+1, 图2 :点E和点C重合时停止运动， .0≤t≤2， 3 当x=t时，y=-。t+ 22’ 13 一t+ 22 3 当x=1+1时，y=-21++ -t+1, 2 M++ME=+1 答案第1页，共2页 在RDE中.0w=++j--+2. 在RIA NHN中，MH=1,NH=(+}(+ aw=r- ①当DN=DM时， (+--*2 解得1=分 ②当ND=NM时， 解得t=3-5: ③当MD=MN时， 解得1=1或t=3, 0≤t≤2， .t=1; 综上所述，存在1的值为，或3-V5或1，使aDMN是等腰三角形. 8.(1)y=-x2+3x+4 ②P点坐标为2-5,4-)或3-，7-面 2,2 (3)①不能成为菱形，理由见解析；②能成为等腰梯形，点P的坐标是2.5,4.5). 【分析】(1)由条件可以求出点B、E、C的坐标，然后利用待定系数法就可以直接求出抛 物线的解析式 (2)易知△AOD是等腰直角三角形，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么 △PM也必须是等腰直角三角形；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：①P9为斜边， M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；首先求出直线AD的解析式，进而可得到M 答案第1页，共2页 点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标， 即可得到P2的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长 正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标； (3)①分别设出P,Q点坐标，结合菱形的条件，求P点坐标，判断是否存在即可得到答 案；②分别设出P,Q点坐标，结合等腰梯形的条件，求P点坐标，判断是否存在即可得到 答案， 【详解】(1)解：：0A=0D=2,0C=0E=4,DB⊥DC, .C(4,0),E(0,4),D(0,2),A-2,0,CD=V22+42=25, :tan∠DCO=OD=1_DBDB 0C2DC25, :DB=5, 0B=VDB2-0D2=1, B(-1,0), 设函数解析式为y=a(x+1)(x-4), .a×1×(-4)=4, 解得a=-1, :经过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y=-(x+1)(x-4)=-x2+3x+4. (2)解：设直线AD的解析式为y=x+b A(-2,0),D(0,2); 「-2k+b=0 b=2 ,[k=1 解得b=2 所以直线AD为y=x+2; 联立y=-x+3x+4 y=x+2 解得 x=1-V5[x=1+5 y=3-3'by=3+5 答案第1页，共2页 F1-5,3-V),G1+5,3+5: 设P点坐标为P(x,x+21-V5<x<1+V⑤，则(x,-x2+3x+4): .PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2; 33 :y=-x2+3x+4的对称轴为直线：x= 2×-1)2’ 引 若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△POM为等腰直角三角形；如图， :∠QPM≠90°，则分两种情况如下： (P) p A BO ①以M为直角顶点，PO为斜边；PQ=2xM-xp, :+2*2=得 解得x=2-√5，x=2+√5（不合题意舍去） P2-5,4-5): ②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=xw-xg, 即：-x2+2x+2=3 2 解得x3=面，x3+(不合题意舍去) 2 3-i7- 22 收行布特合务件的P且坐-54同安，7- 答案第1页，共2页 《3)解：揽物发解析式为y=一+3x+4=x-引+， 点N坐标是 325 2’4 :点M坐标是22 37 MN=11 设点P为n,n+2),则Qn,-n2+3n+4, .PQ=-n2+2n+2, ①若四边形PMNO是菱形，则PQ=MN, 6-2+2n+2= 可得n=0.5,乃2=1.5， 当h=1.5时，点P与点M重合，舍去： 当n=0.5时， 点P的坐标为0.5,2.5， 2 )2 ∴.PM -0.5 =√2≠MN .四边形PMWQ不能为菱形，即菱形不存在. ②能成为等腰梯形，理由如下： 过点Q作OH⊥MN于点H,作PJ⊥MN于点J, 四边形PHQ为矩形，∠QHN=∠PJM=90°， .PO=HJ,OH=PJ, 结合等腰梯形可得：NQ=PM, △QNH≌△PMJ, .NH =MJ 答案第1页，共2页 YA M F 则空-(+3n+4列=a+2-召 解得：h=2.5,n2=1.5(不符合题意，舍去) 此时点P的坐标是(2.5,4.5. 【点晴】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的 判定与性质，等腰梯形的性质，菱形的性质，勾股定理，同时还考查了分类讨论的数学思想， 2 ，4 9.(1)y=-2x2+2x+2 3 3 14 ⑧点业的坐标为号引最大距腐崔为” 35 26 【分析】(1)先求出B(3,0),C(0,2),再设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0)，将 点C(0,2)代入求解即可得： (2)先求出顶点坐标为D 8 再设点P的坐标为P(m,n,分三种情况：①当点 B,C,D,P组成的四边形是平行四边形BCDP时，②当点B,C,D,P组成的四边形是平行四边 形BDCP时，③当点B,C,D,P组成的四边形是平行四边形BCPD时，根据平行四边形的对角 线互相平分求解即可得； (3)连接BC,过点M作MN∥BC,交y轴于点N,先求出直线BC的解析式为 一3x+2,设直线MW的解析式为y=-2 2 x+c,与二次函数的解析式联立，利用一元二 3 次方程根的判别式求出C的值，则可得点M的坐标，再过点C作CE⊥MN于点E,解直角 三角形可得sin∠OCB的值，则可得sin∠CNE,然后在Rt△CEN中，解直角三角形可得CE 的值，由此即可得。 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：：0C=2,0B=3, .B(3,0,C(0,2), :A-1,0, 设抛物线的解析式为y=ax+1)(x-3)(a≠0)， 将点C(0,2)代入得：-3a=2,解得a=-2 3 =x+x--2++2. 3 3 即抛物线的解析式为y=一 *2 ②)解由得=++2引-+ 4 3 3 :指物线的项点坐标为》 设点P的坐标为P(m,n, ①当点B,C,D,P组成的四边形是平行四边形BCDP时， .对角线BD,CP互相平分， m+03+1 2 m=4 8,解得 2, n+2 0+ n=- 3 3 02 2 此时点P的坐标为 4. 3 ②当点B,C,D,P组成的四边形是平行四边形BDCP时， .对角线BC,DP互相平分， m+13+0 2 2 m=2 解得 2 3_0+2 n=- 3 2 :此时点P的坐标为2-引 ③当点B,C,D,P组成的四边形是平行四边形BCPD时， .对角线CD,BP互相平分， 答案第1页，共2页 m+31+0 2 m=-2 8 2’ 解得。14， n+0_3 n= 3 2 .此时点P的坐标为 14 -2,3 综上，点P的坐标为4号或2)或(2) (3)解：如图，连接BC,过点M作MN∥BC,交y轴于点N, 设直线BC的解析式为y=kx+bk≠O), 3k+b=0 2 = 将点B3,0),C(0,2)代入得： 3, 1b=2 ，解得 b=2 “.直线BC的解析式为y= 3t+2, :可设与直线BC平行的直线MN的解析式为y= 3r+c, 2 y=- -x+c 联立{ 3 22 得：2x2-6x+3c-6=0, 4 y=-2x2+x+2 3 3 要使点M到直线BC距离最大，则关于x的方程2x2-6x+3C-6=0只有一个实数根， :.这个方程根的判别式△=(-6)-4×2(3c-6)=0, 7 解得c=2 2.,7 8方程2P6x+3c-6=0为26x十0，直线Mw的解式为y字；+分 3 解得x==2' 将x代入直线y=子+子得：y=子×子 3 2 3222’ 答案第1页，共2页 当点M到直线BC距离最大时，点M的坐标为 35 2’29 如图，过点C作CE⊥MN于点E, :MN∥BC, ,CE即为点M到直线BC最大距离， 将x=0代入直线y=- 32 sov CN=ON-0C-7-2-3 2, :0C=2,0B=3,0C10B, BC=OB2+OC2 =13, ∴.sin∠OCB= OB 313 BC-13 又：MN∥BC, .∠CNE=∠OCB, :sin∠CwE=sin∠0cB=3iE 13 在R△CEN中，sin∠CwE=CE_3国 CN 13 CE-313 CN3393 13 13×226 综上，点M到直线BC距最大时，点W的华标引，最大距肉值为 35 26 【点晴】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、平行四边形的性质、勾股 定理、解直角三角形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是 解题关键。 10.(1)y=-x2+2x+3 2+103 ②P22 ) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)由题意可得OC=3,连接PP',由菱形的性质可得PP'垂直平分OC,从而可得点P的 答案第1页，共2页 数坐标为令y则-+2x+3-计第即可行福， 3 (3)连接AC、CP、BP,求出A(-1,0),则AB=4,计算可得S。4Bc=6,直线BC的解析 式为y=-x+3,作PD∥y轴交直线BC于D,设P(m,-m2+2m+3)(0<m<3),则 O,一m+3,Pp三m+3m,表示出S一m-上+，再由三次函数的 2+ 计算即可得解， 【详解】(1)解：将C(0,3),B(3,0)代入二次函数的解析式y=ax2+2x+c, 9a+6+c=0 得： c=3 「a=-1 解得： c=3’ 二次函数的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：C(0,3, .0C=3, 如图，连接Pp', :四边形POP'C为菱形， .Pp'垂直平分OC, :点P的纵坐标为 3 :点P是直线BC上方的抛物线上一动点， 令y子则-+2x+3 2 解得：七=2+10，x32-10(不符合题意，舍去) 2 答案第1页，共2页 (3)解：如图，连接AC、CP、BP, B 在y=-x2+2x+3中，当y=0时，-x2+2x+3=0,解得：x1=-1,x2=3, A-1,0, B(3,0,C0,3, .AB=4,OC=3, c-48-0C-x4x3=6, 1 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O), 将C(0,3),B(3,0)代入y=kx+bk≠0)可得： 3k+b=0 b=3, [k=-1 解得： b=3’ 直线BC的解析式为y=-x+3, 作PD∥y轴交直线BC于D, :点P是直线BC上方的抛物线上一动点， 设Pm,-m2+2m+3(0<m<3,则D(m,-m+3, PD=-m2+2m+3--m+3)=-m2+3m, .S四边形ACPB=SABC+S。BcP =1AB-OC+1PD-(xg-xc) =6+-m+3mx3-oy 答案第1页，共2页 、3 .9 m+二m+6 2 2 -3m-3275 -2m-2+ 8 :、3 0,0<m<3, 2 当m=时，S0最大，最大为空， 3 2 当m=3时，-m2+2m+3= 3-2 +2x+3=15,即P3,15 2 4 (2’4 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合一面积问 题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 11.(1)A-1,0),B3,0),C(0,3;y=-x+3. 20-3+75,②-8或7-1. 8 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、平行线等分线段定理、解直角三角形、等腰三角 形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键， (1)先求出y=-x2+2x+3与坐标轴的交点坐标，然后运用待定系数法求出直线BC的函数 表达式即可； (2)①先根据二次函数的性质确定对称轴为x=1,进而得到P(1,m)；如图：过M作 MH⊥x轴，证明△OBC是等腰直角三角形可得∠OCB=∠OBC=45°，进而得到 MH=QH,PF=FQ=m,再根据平行线等分线段定理可得 F2-PQ-P9-1 0M03Pg3,易得 HQ=3m=MH,则OH=HQ-OF-FQ=3m-1-m=2m-1即M(1-2m,3m,再将 M(1-2m,3m代入抛物线解析式求解即可；②分PM为平行四边形的边和对角线两种情况 求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A,B两点，交y轴于点C, 当y=0时，即-x2+2x+3=0, 解得：x=-1,x2=3, 则A-1,0,B(3,0): 当x=0时，y=3, 答案第1页，共2页 则C(0,3): 设直线BC的解析式为y=x+b, 3k+b=0 k=-1 由题意可得： b=3 ，解得： b=3 .直线BC的函数表达式为y=-x+3. （2)解：①：抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)+4, 对称轴为x=1, F(1,0),D(1,4), 点P的横坐标为1，纵坐标为m, 即P(1,m), 如图：过M作MH⊥x轴， E C(0,3,B(3,0), .0B=0C, △OBC是等腰直角三角形， .∠0CB=∠0BC=45°， MN∥BC, .∠MQH=∠CB0=45°， :∠PQF=∠QPF=45°，∠HMQ=∠MQH=45°， .MH=OH,PF=FO=m, :PF∥MH, 答案第1页，共2页 FO POPO 1 ÷H0M03P03' ·H03,即H0=3m=MH, m 1 .OH=HO-OF-FO=3m-1-m=2m-1, .M(1-2m,3m, 将M(1-2m,3m代入y=-x2+2x+3,可得： 3m=-(1-2m)2+21-2m+3, 解得：m1= -3+√73 8 m,3-月 (不合题意舍弃)， 8 m的值为-3+V73 8 ②当PM为平行四边形的边时，C(0,3),P(L,m),设M(xMyM),J(xy), :PM∥CJ,PM=CJ, 点J与点C重合， .XM -Xp=XC-XB,yM -yP YC-yB, xM-1=0-3=-3,yM-m=3-0=3 :xM=-2,yM=3+m, M-2,3+m, 将M(-2,3+m)代入3+m=-(-22+2×(-2)+3,可得：m=-8; 当PM为平行四边形的对角线时，则CP∥MJ,PC=MJ, :Xp -Xc =XJ-XM,yp-yc=yJ-yu, :.1-0=x-xy,m-3=y-yw .x=1+x=m-3+ym, 设点Ma,-a2+2a+3,则Ja+1,-a2+4, -a2+4=-a2+2a+3+m-3,整理得：m=4-2a, :MN∥BC, .设直线MW的表达式为y=-x+n, 答案第1页，共2页 将P(1,m代入可得：m=-1+n,即n=m+1, .设直线MN的表达式为y=-x+m+1, 把点Ma,-a2+2a+3代入y=-x+m+1得：-a2+2a+3=-a+m+1, 将m=4-2a代入-a2+2a+3=-a+m+1得： -a2+2a+3=-a+4-2a+1, 整理得：-a2+5a-2=0,解得：a,=5-7,-5+7 (舍弃) 2 :m=4-2x5-匝-7-1. 2 综上，m的值为-8或7-1. 12.(1)y=-x2-2x+3 1-√13-3+313 (2)点D的坐标为 2， 或-5,25) 2 (3)点P的坐标为-1，-2) (4)y=-2x-1或y=2x+3 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定. (1)利用待定系数法求解即可； ②分两种情况：当A0 EABC时，∠A0E=∠4BC:当△40BO△ACB时，行-4C一 分别求解即可； (3)设Mm,-m2-2m+3,Nn,-n2-2n+3,待定系数法求得直线1的解析式为 y=(-m-n-2)x+mn+3,代入T(-1,1)得出m+n=-mn-4,进而根据平行四边形的性质 以及平移的性质得出Qm+n+1,-m2-n2-2m-2n+6-t,代入抛物线解析式，得出 6-t=-2mn-2(m+n,进而求得1=-2，即可求解； (4)根据已知得Sp=PTm-小=6，则m-1=主4，结合m+月=-mn-4,求得m,n的 值，代入直线1的解析式为y=（-m-n-2)x+mn+3,即可求解. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点， 答案第1页，共2页 9a-3b+3=0 a+b+3=0 a=-1 解得： b=-2' 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; 故答案为：y=-x2-2x+3. (2)解：在y=-x2-2x+3中，令x=0,则y=3,即C(0,3, A-3,0),B(1,0, .AB=4,A0=3,0C=3, ·△A0C为等腰直角三角形，AC=V-3-0)2+(0-3)2=3V2, .∠CA0=45°， 设直线BC的解析式为y=kx+b, k+b=0 将B(1,0),C(0,3)代入解析式可得 b=3 k=-3 解得： 6=3· 直线BC的解析式为y=-3x+3, D HO B 图1 :△AOE与ABC相似， 当△AOE∽△ABC时，∠AOE=∠ABC, .OE∥BC, .设直线OE的解析式为y=-3x+b2, 答案第1页，共2页 将0(0,0)代入解析式可得b=0, .直线OE的解析式为y=-3x, 联立y=-2-2x+3 ,可得-x2-2x+3=-3x, y=-3x 解得：5-上西，51+丽 (不符合题意，舍去)， 2 2 此时点D的横坐标为，纵坐标为3+3V因 2 2 :D1-3-3+3w3 2 2 当&40E∞AACB时，5=4C,即G、3 4=3W2' AE=2√2， 过点E作EH⊥AB于H,则△AEH为等腰直角三角形， ÷AH=EH= AE=2, 2 0H=1, E(-1,2), 设直线OE的解析式为y=kx, 将E(-1,2)代入解析式可得2=-k, k=-2, .直线OE的解析式为y=-2x, 联立y=-2-2x+3 y=-2x 可得-x2-2x+3=-2x, 解得：x=-V3,x2=V3(不符合题意，舍去)； 此时点D的横坐标为-√3，纵坐标为2√3， D-5,25, 综上所述，点D的坐标为 1-V13-3+3V13 2 ，2 或-V5,25 答案第1页，共2页 (3)解：设Mm,-m2-2m+3,Nn,-n2-2n+3 设直线1的解析式为y=k2x+b2,代入M(m,-m2-2m+3,(n,-n2-2n+3, -m2-2m+3=km+b2 得 -n2-2n+3=k2n+b2 k2=-m-n-2 解得： b=mn+3’ ∴.直线1的解析式为y=（-m-n-2)x+mn+3, 代入T(-1,1, .m+n=-mn-4, 设P(-1,, :P(-l,到N(n,-n2-2n+3向右平移1+n个单位，向下平移t+n2+2n-3个单位长度， :将Mm,-m2-2m+3向右平移1+n个单位，向下平移t+n2+2n-3个单位长度得到Q, .Qm+n+l,-m2-n2-2m-2n+6-t, 又：Q在抛物线上， .-m2-n2-2m-2n+6-t=-(m+n+1)-2(m+n+1+3, 6-t=-2mn-2m+n, 又：m+n=-mn-4, .6-1=8, 解得：t=-2 .P(-1,-2; (4)解：：P(-1,-2),T(-1,1, PT=1-（-2)=3, 设M(m,-m2-2m+3,Nn,-n2-2n+3, 由(3)可得直线1的解析式为y=（-m-n-2)x+n+3, :平行四边形PMQN的面积为12， 答案第1页，共2页 Sw=Pmm-小=6， 2 .m-n=±4， 又.m+n=-mn-4, [m=0「m=2 当m-n=4时， m+n=-mn-4 ,解得： m-n=4 (n4或 n=-2’ m+n=-mn-4 当m-n=-4时， m-n=-4 解得： m=4m=-2 (n=0 或 n=2, 又：直线l的解析式为y=（-m-n-2)x++3, .y=-2x-1或y=2x+3, 故答案为：y=-2x-1或y=2x+3. 13.0y=-名x2+号x+2 4 3 3 (2)F(-l,0)或F(V7,0)或F(-√7,0)或F(3,0 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行 求解，是解题的关键： (1)待定系数法求出函数解析式即可； (2)分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可. 【详样1解：把-10，C02到代入=号++c,得： 2 -b+c=0 4 3 ,解得： 3, c=2 c=2 2 4 .y=-2x2+。x+2; 3 (2):y=-2x+x+2, 33 4 :抛物线的对称轴为直线x=-3一=1， 2 ×2 3 2 E(1,0),设F(n,0),Mm, 3m2 m+2 3 C(0,2), 答案第1页，共2页 m+n=1+0 m=0 当以CE为对角线时，则： 3m+2=2'解得： m=2 或{ n=-1 n=1 (舍去)： F-1,0); m+0=1+n m=1+7m=1-万 当以EF为对角线时， 2 4 m+m+2+2=0'解形 n=V7 或 3 n=-V万1 :F万，0或F(-7,0: m+1=n+0 m=2m=0 当以CF为对角线时， 3m+m+2=2’解得： 2 4 或 ln=3域n=1 (舍去)： 3 F(3,0): 综上：F(-1,0)或F(7,0)或F(-√7,0)或F(3,0). 答案第1页，共2页