2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题----菱形的存在性专题训练

2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题 -一菱形的存在性 专题训练 1,如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A,B点，与y轴 交于点C(0,3),点B的坐标为3,0)，点P是抛物线上一个动点， VA B (1)求二次函数解析式： (2)连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形： 若不存在，请说明理由. 2.如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标 点的坐标分别为-3,0和0,4，抛物线y=。x2+bx+c经过点 直线x=上. 2 YA B D (1)求抛物线对应的函数关系式： (2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C是 否在该抛物线上，并说明理由； (3)若M点是CD所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N. 设点M的横坐标为t,MN的长度为1，求1与t之间的函数关系式，并求1的最大值： 3.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴 试卷第1页，共3页 交于点C O B 甲 (1)求抛物线的解析式： (2)如图甲，在y轴上找一点D,使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A,C,P,Q为顶点 的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-2x+3的图像与x轴分别交于点A、C与y 轴交于点B,顶点为D. (1)点A坐标为 ,点D坐标为 (2)P为AD之间抛物线上一点，直线BP交线段AD于E,交x轴于点F,若SoE=SEF,求 P点坐标 (3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N,使得以B、C、M、N为顶点的四边形 为菱形，求点N的坐标 5.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4,D 是抛物线的顶点. 试卷第1页，共3页 D H 图(1) 图(2) 图(3) ()求抛物线的表达式。 (2)如图(1)，连接BD,E是BD的中点，过点E作直线EG⊥x轴，垂足为G,交抛物线于 点F,连接DF,求ADEF的面积 (3)连接AC,点H为线段AC上一动点，点J在x轴上，在AC右侧作平行四边形AHJ. ①当点J与点O重合时，请在图(2)中画出线段H,J,若四边形AHIJ为菱形，试判断 点【在抛物线的对称轴的左侧还是右侧，还是在抛物线的对称轴上，说明理由 ②如图(3)，当点H为AC的中点时，连接DI,DJ,求△DJI周长的最小值. 6.如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个交点为A, 且与y轴相交于C点. B B 备用图 (1)求m的值及C点坐标。 (2)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q,当四边形PBQC为菱形时，求点P的 坐标， (3)连接BC,在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得四边形ABMC的面积最大， 若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(3,0)两点，与y 轴交于点C0,-3),P是直线BC下方抛物线上一动点. 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式； (2)如图2，连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形P0P'C,当四边形POP'C 为菱形时，求出点P的坐标； (③)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段 BP的长 8.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-2,0),B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,-3). (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接CP,BP,当△CPB的面积最大时，求点P的坐标 及S.CPB的最大值： (3)在(2)的条件下，N为x轴上一点，在平面内是否存在点Q,使以A,P,N,Q为顶 点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 9.已知抛物线L:y=mx2+2mx-8m+1m≥1. B M (1)该抛物线必过点 和 试卷第1页，共3页 (2)如图，抛物线L:y=mx2+2mx-8m+1的顶点为M,与x轴交点分别为A,B,抛物线 L2:y=-m(x-3)+9m-1的顶点为N,与x轴交点分别为C,D(点C在点D的左侧). ①判断抛物线L与抛物线L是否有交点，并说明理由； ②连接AM,MD,AN,DN,证明：四边形AMDN为平行四边形； (3)在(2)中，若平移抛物线L2能使四边形AMDN为菱形，请求出平移的方式和平移距离， 10.如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点 B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点. B (I)求二次函数y=a.x2+2x+c的表达式： (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C,若四边形P0P'C为菱形， 请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标 11.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(2,0)和点C(-1,0.D为 第一象限的抛物线上一点. B B主 备用图 (①)求抛物线的函数表达式： (②)求△ADB面积的最大值： 试卷第1页，共3页 (③)若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD是菱形，直接写出D的坐标. 12.如图，抛物线y=a.x2+bx+6与x轴交于A-2,0),B(6,0)两点，与y轴相交于点C.连 接AC,BC. y y B不 B 图1 图2 (1)求抛物线解析式： (2)如图1，线段EF(点E在点F左侧)是直线BC上一段长度为2的动线段，y轴上C点下 方有点Q,试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点P,使得四边形PEQF是菱形，若存 在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点M为抛物线第一象限图象上点，若LOCM=∠ACB,求点M坐标 13.如图，二次函数y=-x2+(m-1x+m（其中m>1)的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C,连接AC、BC,点D为ABC的外心. B (1)填空：点A的坐标为-，LABC=_°； (2)记△ACD的面积为S,△ABD的面积为S2,试探究S,-S2是否为定值？如果是，求出这 个定值； (3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E,使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形， 则m=_ 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)二次函数的解析式为y=-x2+2x+3; (②)存在，P(P 【分析】(1)将点C(0,3),点B(3,0),代入y=-x2+bx+c,然后求解即可； （2)设点P(x,-x2+2x+3,PP'交CO于点E,然后根据菱形的性质得PE⊥OC, 0E=C5-,最后解方程即可： 此题考查了待定系数法，二次函数与特殊四边形等知识，掌握知识点的应用及数形结合是解 题的关键。 【详解】(1)解：将点B(3,0),点C(0,3),代入y=-x2+bx+c, -9+3b+c=0 得 c=3 「b=2 解得 c=3' .二次函数的解析式为y=-x2+2x+3, (2)解：存在，如图，设点Px,-x2+2x+3,Pp'交C0于点E, A 若四边形POP'C是菱形，连接PP,则PE⊥OC,OE=CE= 2 :2+2x+3= 3 解得5=2+0,52=而 2 2 2- 答案第1页，共2页 210 2.(1)y=2x2- x+4 33 (2)点C在该抛物线上，理由见解析 ③1=-2 3 +学-92<：a 33 【分析】(1)设二次函数顶点式，把B点坐标代入可算出二次函数解析式； (2)利用菱形的性质，可以得到点C的坐标，然后再进行判断即可； (3)利用待定系数求出CD的解析式，设出M、N的坐标，纵坐标作差，就可以得到1与t 的函数关系式，它们的关系是二次函数，配方可得最大值，从而求解。 【详解)少解：设所求抛物线对应的函数关系式为：yx- +m,把点B(0,4)代入 得： .4= 2(。52 解得：m= 6 心所求函数关系武为：y三产之厂633+4： (2)解：在Rt△AB0中，OA=3,OB=4, ∴.AB=V0A2+OB2=5, :四边形ABCD是菱形， .BC=CD DA=AB=5, ∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、（2,0)， ×5+4=4, 点C在所求抛物线上； (3)解：设直线CD对应的函数关系式为y=x+b, 5k+b=4 则 2k+b=0' 4 k= 3 解得： 8 b=3 答案第1页，共2页 :直线CD的解析式为：y=3x-3 48 :MN∥y轴，M点的横坐标为t, .N点的横坐标也为t, 4.8 3+4,=3-3” :I=yx -yM r9 3 0 2 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一 次函数解析式，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键。 3.(1)y=-x2-2x+3; (20,0)或0，-3)或(0,3-3V2)或03+32)： (3)存在，P-1,3-7,Q(-4,-V17)或P-1,3+17,Q-4w17或P(-11),Q(-2,2或 P(-114,0(2,3+v14或P-1,-14,Q(2,3-14 【分析】(1)将A-3,0),B(1,0)代入y=-x2+bx+c,求出b,C,即可得出答案； (2)分别以点D为顶点、以点A为顶点、当以点C为顶点，计算即可； (3)抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为直线x=-1,设P(-1,,Qm,n,求出AC2=18, AP2=t2+4,PC2=t2-6t+10,分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为 对角线. 【详解】(1)解：(1)：A(-3,0),B(1,0)两点在抛物线上， 0=-(-3)2-3b+c 0=-P+b+c 答案第1页，共2页 b=-2 解得， c=3’ :.抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3; (2)令x=0,y=3, .C(03, 由△ACD为等腰三角形，如图甲， y (D) 0 B 甲 当以点D为顶点时，DA=DC,点D与原点O重合， .D(0,0); 当以点A为顶点时，AC=AD,A0是等腰△ACD中线， .0C=0D, .D(0,-3: 当以点C为顶点时，AC=CD=√0A2+0C2=V32+32=32 .点D的纵坐标为3-3√2或3√2+3， :综上所述，点D的坐标为(0,0)或0，-3或(03-3v2)或03+32) (3)存在，理由如下： 抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为：直线x=-1, 设P(-1,t,Q(m,n, :A-3,0),C0,3, 答案第1页，共2页 则AC2=(-32+32=18, AP2=（-1+3)2+t2=t2+4, PC2=(-1)2+(t-32=t2-6t+10, :以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形， :分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线， 当以AP为对角线时，则CP=CA,如图1， P2 o, A B P Q 图1 t2-6t+10=18, 解得：t=3±√7， P-13-7或P-13+17 :四边形ACPQ是菱形， ∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合， 当P(-13-7)时， :m+0=-3-1n+30+3-V7 2=2’2 2 解得：m=-4,n=-17, 0-4,-7） 当B-1,3+17)时， 答案第1页，共2页 :m+0--3-1,n+30+3+7 22’2 2 解得：m=-4,n=V17, 0,-4,17 以AC为对角线时，则PC=AP,如图2， O B 图2 .t2-6t+10=t2+4, 解得：t=1, P-1,1, :四边形APCQ是菱形， .AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合， :m-1=-3+0,n+10+3 22’2-2 解得：m=-2,n=2, 03-2,2; 当以CP为对角线时，则AP=AC,如图3， 答案第1页，共2页 :OB Q 图3 .t2+4=18, 解得：t=±V14, p-1,4,-1,-14, :四边形ACOP是菱形， :AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合， :-3+m=0-1n+03±4 2 2’2 2 解得：m=2,n=3±√4 :0.(2,3+4,0,(2,3-14. 综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：P(-1,3-7,Q(-4,-7)或P(-13+7, 0(-4,v17或P(-11),Q(-2,2)或P-1,w14,Q(2,3+14或P-1,-14,0(2,3-14） 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、 坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关 键 4.(1)-3,0),(-1,4) ②到 (3)2,2或-2,6+3或(-2,3-√6)或(0，-3) 【分析】(1)令y=0,即可求出与x轴交点坐标，把一般式化为顶点式即可求出顶点坐标； (2)分两种情况讨论，当直线BP与x轴交于x正半轴时，不符合题意，当直线BP与x轴 答案第1页，共2页 交于负半轴时，连接OE,设Pm,-m2-2m+3,分别求出直线FB的解析式，直线AD的 解析式，联立即可求出AD与FB的交点E的坐标，再根据面积关系即可得到关于m的方程， 解方程即可求出P点坐标： (3)分三种情况讨论，若以BC,BM为邻边，则以B为圆心，BC为半径作圆与对称轴直线 x=-1有交点M1,M2,根据菱形的性质即可求出N,点坐标，证明RteBEM,≌RtaCOB(HL), 可证以B,C,M2,N为顶点不能作菱形；以CB,CM为邻边，则以C为圆心，CB为半径作圆与 对称轴直线x=-1有交点M,M4,根据勾股定理求出M,-1,V6,再根据菱形的性质和中 点坐标即可求出N,-2,V6+3),同理可求N-2,3-V6)；以MB,MC为邻边，则作BC的 垂直平分线与对称轴直线x=-1有交点M,根据菱形的性质和中点坐标即可求出N点横坐 标，再根据BN,=CN列方程即可求出N点的纵坐标. 【详解】(1)解：令y=0得-x2-2x+3=0,解得x=1或x=-3, .A(-3,0),C(1,0), y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, :抛物线顶点D为(-1,4)， 故答案为：（←3,0)，(-1,4)； (2)解：当直线BP与x轴交于x正半轴时，如图， 1 D 则SoBE<S4r,不符合题意： 当直线BP与x轴交于负半轴时，连接OE, 答案第1页，共2页 设P(m,-m2-2m+3, :P为AD之间抛物线上一点， -3<m<-1, 当x=0时，y=3, .B(0,3, 0B=3, 设直线FB的解析式为：y=kx+n(k≠O), 把P(m,-m2-2m+3,B(0,3)代入得： mk+n=-m2-2m+3 n=3 k=-m-2 解得： n=3 ·直线FB的解析式为：y=（-m-2)x+3, :k≠0， -m-2≠0， m≠-2， 当y=0时，(-m-2)x+3=0, 解得：x=3 +2) F3,0, (m+2 六Af=-3-3=-3m-9 m+2m+2, 答案第1页，共2页 设直线AD的解析式为：y=px+9, -3p+9=0 把A(-3,0),D(-1,4)代入得： -p+q=4’ p=2 解得 9=6’ :直线AD的解析式为y=2x+6, y=2x+6 联立 y=（-m-2x+3' 3 X=- 解得： m+4 s 6m+18 m+4 E3 6m+18】 （m+4’m+4 SOE=S。AEr, .1-3m-96m+181 2m+2m+421 3.3 m+41 整理得2m2+13m+20=0, 解得：m=-4(舍）或m= 2 当m=时，m-2m+3-(-2}3子 (3)解：①若以BC,BM为邻边，则以B为圆心，BC为半径作圆与对称轴直线x=-1有交 点M1,M2,如图： 答案第1页，共2页 M B A 可作菱形BM,N,C, ..OB=ON B(0,3), OB=3, ∴ON=3, N(0,-3), 过点B作BE⊥直线x=-1于E, BE=0C=1, .BM,=BC, .Rta BEM,RtACOB(HL), ∴.∠EBM2=∠OCB, :∠0CB+∠0BC=90°， .∠OCB+∠EBM2=90°， ,∠OCB+∠EBM2+∠OBE=180°， ∴M,与BC共线，以B,C,M2,N为顶点不能作菱形； ②若以CB,CM为邻边，则以C为圆心，CB为半径作圆与对称轴直线x=-1有交点M,M4, 连接BM3,CN,相交于E,如图： 答案第1页，共2页 B A NA 、HO 可作菱形CMNB和菱形CM,N,B, :CM,=CB=P+32=0,CH=0H+0C=2, HM,=o-2=6, M-1,6), :菱形CM,NB, “=-+01 2 2s63 2 xw+11yw,+0V6+3 2 2’2 2 解得x,=-2,y%,=V6+3, N,(-2,6+3: 同理可求得N:-2,3-√6)； ③若以MB,MC为邻边，则作BC的垂直平分线与对称轴直线x=-1有交点M,如图： D B N Ms 答案第1页，共2页 可作菱形CM,BN,则BN,=CN, :四边形CM,BN,是菱形， 0+11 2=2 -1+xx=1 2 解得：xx=2, .BNs=CNs, ∴2+(3-w)=(2-12+w2, yx,=2, N,2,2, 综上所述，点N的坐标为2,2)或(-2，V+3或(-2,3-√6)或(0，-3). 【点晴】本题考查了二次函数综合，涉及求与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析 式，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是分类讨论， 正确的作出辅助线， 5.(1)y=- x2+x+4 @号 (3)①左侧，图形及理由见解析 ②5√2+V5 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、平行四边形和菱形的性质、相似三角形的判 定及性质、解一元二次方程等： (1)采用待定系数法求解即可； (2)过点D作x轴的垂线，交x轴于点N,容易求得△DBN∽△EBG,进而得到点F的坐标、 EF的长度、△DEF中EF边上的高： (3)①容易求得直线AC的解析式为y=2x+4,可设点H的坐标为n,2n+4),进而可求得 AH2=(n+2)+(2n+4),求解之后容易求得点I的坐标；②作点D关于x轴的对称点 D-引，过点u作1的平行线DE,使有0E=1,可知兰点D,E共线时、 DI+EI可以取得最小值，即DI+DJ可以取得最小值，最小值为DE的长度，直线DE可由 直线AC平移得到，所以可设直线DE的解析式为y=2x+b,求得直线D'E的解析式，结合 答案第1页，共2页 DE=J=√5，即可求得点E的坐标，进而可求得答案. 【详解】(1)y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(4,0)和C(0,4),可得 T4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4 1 a=-2 解得b=1 c=4 所以，抛物线的表达式为y=- 4 ②)根据题意可知，点D的坐标为1} D 9 如图所示，过点D作x轴的垂线，交x轴于点N,则点N的坐标为(1,0)，BN=3,DN= 因为DN⊥x轴，FG⊥x轴， 所以∠DNB=∠EGB=90°. 又因为∠DBN=LEBG, 所以△DBN∽△EBG, 所以B-DN-BD2 `BG EG BE1· 所以NG=号8N=GE=DN= 3 3 2 4 所以点G的坐标为 o 所以点F的横坐标为。 所以点F的坐标为 527 2'8 答案第1页，共2页 所以EF-?,。DEF中EF边上的高h= 3 所以S.aer=h:EF=27 2 32 (3)①如图所示，点J与点0重合. A B 根据题意可知y= 2++4的对称轴为r=1. 设直线AC的解析式为y=kx+bk≠O). 因为直线AC经过点A,点C,可得 「-2k+b=0 b=4 k=2 解得b=4 所以，直线AC的解析式为y=2x+4. 因为四边形AHW为菱形， 所以AH=AJ=H1=2,HI∥AJ. 因为点H为线段AC上一动点，可设点H的坐标为n,2n+4),可得 AH2=(n+22+2n+4)2,即 22=(n+2)2+(2n+42 解得%=25 2,n2= 25-2(舍去). 所以点H的坐标为 25245 5 所以点I的坐标为 2545 55 答案第1页，共2页 因为 25 <1, 5 所以25<1。 所以点【在抛物线的对称轴的左侧 ②如图所示，作点D关于x轴的对称点D 过点D作Ⅱ的平行线DE,使得 D'E=JI. 根据题意可知，DJ=DJ,AC=VA02+0C2=25. E D' 因为点H为AC的中点， 所以AH=AC=5 因为四边形AHJ为平行四边形， 所以AH=J=√5. 因为D'E=JI,D'E∥JI, 所以四边形DEW为平行四边形. 所以D'J=E1,DE=J=5. 所以DJ=EI. 根据题意可知，当点D,I,E共线时，D1+EI可以取得最小值，即DI+DJ可以取得最小 值，最小值为DE的长度， 根据题意可知，直线D'E可由直线AC平移得到，所以可设直线D'E的解析式为y=2x+b. 因为直线D'E经过点D,可得 246=号 解得b=-13 2 答案第1页，共2页 所以直线D'E的解析式为y=2x-13 所以可设点E的坐标 m,2m-2 3 所以DE2=(m-1)2+(2-2m2，即 5=(m-1)2+(2-2m)2 解得m1=2,m2=0（舍去). 所以点E的坐标为2引】 所以DE=5V2 所以△DJI周长的最小值=DE+Ⅱ=5√2+√5. 6.(1)m=4,C0,4: (2)P1+V5,1+V5)或1-5,1-5) (3)M(2,6 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函 数、一次函数的解析式： (1)用待定系数法求出抛物线解析式： (2)先判断出四边形PBOC是菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立 方程求解。 (3)设点Mx,-x2+3x+4,首先推导出S。BCw=-2(x-2)2+8,即可求解. 【详解】(1)解：将B(4,0)代入y=-x2+3x+m, 解得，m=4, 二次函数解析式为y=-x2+3x+4, 令x=0,得y=4, C(0,4): (2)解：如图， 答案第1页，共2页 点P在抛物线上， p :设Pm,-m2+3m+4, 当四边形PBOC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上， B4,0),C(0,4), :线段BC的垂直平分线的解析式为y=x, .∴m=-m2+3m+4, m=1±V5, P1+5,1+5或P1-5,1-5: (3)解：过点M作y轴的平行线交BC于点H,如图， B 令y=-x2+3x+4=0,解得x=4或-1， A-1,0, AB=5. 1 ∴.SMBc=5AB.OC=10. 2 :S图边形ABMc=SABC+S,BCM=10+SBCW, 所以当aBCM的面积有最大值时，则四边形ABMC的面积最大， 设直线BC的解析式为y=kx+4. 4k+b=0 :将点B、C的坐标代入得： 1b=4 答案第1页，共2页 ,「k=-1, 解得b=4 :直线BC的解析式为y=-x+4, 设点Mx,-x2+3x+4),则点H(x,-x+4), ∴.SBCM=S.MHc+S.MHB 号w0B 4+344+x-4到 =-2x2+8x =-2(x-2)2+8 -2<0, 故当x=2时，S△BcM有最大值，此时四边形ABMC的面积最大值为10+8=18， 故点M2,6. 7.(1)y=x2-2x-3 3)3v29 【分析】(1)将B(3,0),C(0,-3代入抛物线y=x2+bx+c中，即可求抛物线的解析式； (2)如图，连接PP',设Pt,tP-2t-3,则P'(-t,t2-2t-3,由菱形的性质知Pp'垂直平 分0C,求出0C的中点为@》，则-=-2-3，求出1，进而即可求P1+ V10 3 2,-2 (3)如图，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q,求出A点坐标，则S4Bc=6,设 P八mm-2m-列，则Qm-,即可求5m=引m2+3m小，所以 5mc=5+5,=引m-+尽，当m-,因边形C的面积放大为 2m -2+81 8’ 答案第1页，共2页 时 进而即可得解 【详解】(1)：抛物线y=x2+bx+c过点B(3,0),C(0,-3), 9+3b+c= 0,解得 b=-2 1c=-3 c=-3 抛物线的表达式为y=x2-2x-3; (2)如图，连接PP', 设P(t,t2-21-3),则P-1,t2-2t-3, :四边形POP'C为菱形， .PP'垂直平分OC, C(0,-3), 0c的申点为0-》， :-=2-21-3,整理得2-4-3=0， 2 解得1=1+0或=1-0 2 P点在直线BC的下方， 0<t<3, :0<1=1+0<3, 2 小西引 (3)如图，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q, 答案第1页，共2页 B 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1, A-1,0), B(3,0,C0,-3), AB=4,0C=3, 1 54c=2×4x3=6, 设直线BC的解析式为y=:x+b' /3k+6=0 k'=1 b=-3，解得 b=-3 ·直线BC的解析式为y=x-3, 设Pm,m2-2m-3,则Q(m,m-3, .PQ=m-3-m2+2m+3=-m2+3m, Sem+3mx3=-m+3m测， :-3<0,0<m<3, 2 :当a到，四边形8C的面积最大为多，时P》 3 3v29 4 【点晴】本题主要考查了二次函数图象性质的应用，菱形的性质，一次函数的性质，中点坐 标公式，翻折等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三 角形的面积是解题的关键。 答案第1页，共2页 8.0y=2x-x-3 4 ②5最大值为子：P3-) 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键。 (1)将A-2,0)、B(6,0),C(0,-3)代入y=ax2+bx+c即可求解析式； ②)如图，莲接PC,B,P0,设P行--3 而B6,0),C(0,-3),则S△Boc=9 3 ，Spoc= r,S=-3 x2+3x+9,再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的 4 性质可得答案： (3)根据题意，以A,P,N,Q为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c过A-2,0)、B(6,0),C(0,-3). 1 4a-2b+c=0 a= 4 36a+6b+c=0,解得： b=-1, C=-3 C=-3 抛物线为：y分-3： (2)如图，连接PC,PB,PO, B 设P5-x-3而860，C0-引， 1 3 1 .SB0c=×3x6=9,S.poc=×3x= 2 2 2 S=-22+3x+9+3x-9 4 2 3 x+9x=-3x-3+，其中0<x<6,7 2 4 答案第1页，共2页 9 当x= =3时，SAPC取得最大值 7 3 2×4 此时P的纵坐标为：y=×32-3-3=-15 P3》 所以当P,）时，，取符经大值程 (3)春在，由2)知P3,》,又4-20. N在x轴上，以A,P,N,Q为顶点的四边形为菱形， ①如图，以AP为边构成菱形， AP=AN-25,P0∥AN,且PQ=AN, B 4 3715 4,-41 ②如图，以AP为边构成菱形， PO∥AW,且PO=AW, B AP=AN=25 e-华)@(）： ③如图，当AN⊥PQ,且互相平分时， 答案第1页，共2页 此时PQ关于x轴对称， @如图，当AP上NO,且互相平分时，AEAP=2为 81 设AP,NQ相交于E,过P作PF⊥AB交AB于F, B 易得RtAPF∽RIAANE, 25 NE,即43--28 AP AF AN 25 8 解得4AW=125 32 2915 综上，存在，Q的坐标为 ）县）)2》 9.(1)-4,1,2,1 (2)①有交点，见解析；②见解析 (3)将抛物线L2向左平移4个单位，即可满足四边形AMDN为菱形 【分析】(1)将函数关系式变形整理成y=mx2+2mx-8m+1=m(x+4)(x-2)+1,即可得出 结论； (2)①令y值相等可得一元二次方程，根据根的判别式即可确定是否有交点； ②根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； (3)根据对角形互相垂直的平行四边形是菱形得到M与N的横坐标相同，进而得出结论 【详解】(1)解：：y=mx2+2mx-8m+1=mx2+2x-8+1=m(x+4)(x-2+1, 当x=-4时，y=1;当x=2时，y=1, 二次函数y=mx2+2mx-8m+1的图象必过点-4,12,1： (2)①解：有交点，理由如下： 答案第1页，共2页 令mx2+2mx-8m+1=-m(x-32+9m-1, 化简得：mx2-2mx-4m+1=0, 121 则b2-4ac=4m2-4m-4m+1）=20m2-4m=20m- 105 .m≥1， .b2-4ac≥16， :.抛物线L与抛物线L2有两个不同的交点； ②证明：由抛物线L:y=mx2+2mx-8m+1=m(x+1)2+1-9m, .M(-1,1-9m）, 当y=0时，mx+1)2+1-9m=0, 解得：x=-1± 9m可_-1±9m-m,点A在点B的左侧， m m √9m2-m .点A-1 0 m :抛物线L2:y=-m(x-3)+9m-1, N(3,9m-1, 当y=0时，-mx-3+9m-1=0, 解得：x=3士9m2-m, 点C在点D的左侧， .D3+ 9m2-m m .AD的中点为1,0)，MN的中点为1,0)， 即：四边形AMDN的对角线互相平分， .四边形AMDN为平行四边形： (3)解：由(2)知四边形AMDN为平行四边形， 当四边形AMDN为菱形时，则MN⊥AD, 则此时M与N的横坐标相同，设抛物线L2平移n个单位后的点N的坐标为3+n,9m-), 答案第1页，共2页 .3+n=-1, .1=-4, .只需要将抛物线L向左平移4个单位，即可满足四边形AMDN为菱形. 10.(1)y=-x2+2x+3 P 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)由题意可得OC=3,连接PP',由菱形的性质可得PP'垂直平分OC,从而可得点P的 级坐标为2令y,则-+2+3，计算即可得解， (3)连接AC、CP、BP,求出A(-L,0),则AB=4,计算可得S。4Bc=6,直线BC的解析 式为y=-x+3,作PD∥y轴交直线BC于D,设P(m,-m2+2m+3)(0<m<3),则 D,m+,PD二m3m,衣示S写m-+列 ,再由二次函数的性质 8 计算即可得解。 【详解】(1)解：将C(0,3),B(3,0)代入二次函数的解析式y=ax2+2x+c, 9a+6+c=0 得： c=3 a=-1 解得： (c=3, .二次函数的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：C(0,3), .0C=3, 如图，连接Pp', 答案第1页，共2页 :四边形POP'C为菱形， .PP'垂直平分0C, 点P的纵坐标为) :点P是直线BC上方的抛物线上一动点， 3 令则-x+2x+3 解有：4-24)而，k2-0 (不符合题意，舍去)， 2 2 .P 2+V103 229 (3)解：如图，连接AC、CP、BP, 在y=-x2+2x+3中，当y=0时，-x2+2x+3=0,解得：x1=-1,x2=3, .A-1,0), B(3,0,C(0,3, AB=4,0C=3, 1 SABC=5AB·OC=2×4×3=6 设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0)， 3k+b=0 将C(0,3),B(3,0)代入y=kx+b(k≠0可得： b=3 答案第1页，共2页 [k=-1 解得： 1b=3 :直线BC的解析式为y=-x+3, 作PD∥y轴交直线BC于D, :点P是直线BC上方的抛物线上一动点， 设Pm,-m2+2m+3(0<m<3,则D(m,-m+3, PD=-m2+2m+3-(-m+3=-m2+3m, .S四边形ACPB=S4Bc+SBCP =AB:OC+PD-(x。-c) =6+-m+3mx3-0 =-3m2+9m+6 2 2 2( :、3 <0,0<m<3, 2 当m=时，Sc最大，最大为， 3 当m=3时，-m2+2m+3= 3 +2×+3即P》 4 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合一面积问 题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 11.(1)y=-2x2+2x+4 (2)2 nga 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四 边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键， (1)根据题意得到A(0,4),由抛物线与x轴的交点可设y=a(x-2)(x+1),将点A(0,4)代 入，运用待定系数法即可求解； 答案第1页，共2页 (2)如图所示，过点D作DM⊥x轴于点M,交AB于点N,运用待定系数法可得直线 AB的解析式为y=-2x+4,设点D(m,-2m2+2m+4)(0<m<2,，则点N(m,-2m+4,所 以DN=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,由 DNx082x个-2m+4)加=-2m-广+2，结合二次函数最大雀的计算方法即 可求解； (3)设D(L,-22+2t+4),G(t,-2t+4),则DG=(-212+21+4)-(-2t+4)=-2t2+4t,根据 菱形的性质得到AD=DG,由此列式得t2+(-2t2+2t+4-4)2=(-2t2+4)2,解方程即可求 解。 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+br+4, 当x=0时，y=4, A0,4), :抛物线与x轴交于点B(2,0),C(-1,0), .设y=a(x-2)(x+),将点A(0,4)代入， 得：-2a=4, 解得：a=-2, :y=-2(x-2)(x+1)=-2x2+2x+4; :该抛物线的函数表达式为y=-2x2+2x+4; (2)解：D为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点D作DM⊥x轴于点M,交AB于 点N, 答案第1页，共2页 设直线AB的解析式为y=c+b, A0,4,B2,0), 「2k+b=0 b=4 [k=-2 解得： b=4’ :直线AB的解析式为y=-2x+4, 设点D(m,-2m2+2m+4)川0<m<2),则点N(m,-2m+4, :DN=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m, .5m-DNxOB-x2x(-2m+4m)--2(m-I+2, -2<0, 当m=1时，△ADB面积的最大值为2； （3)解：设D(t,-22+2t+4),Gt,-2t+4), :DG=(-2t2+2t+4)-(-2t+4)=-2t2+41, :四边形AFGD是菱形， B :AD=DG, ：t2+(-212+2t+4-4)2=(-212+4t)2, 11 解得：1=0，=8’ :D195 (8’32 答案第1页，共2页 1 12.(①)y=-5x2+2x+6 2 (2)存在，42 co 【分析】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式， 两个函数的交点问题，坐标与图形，特殊四边形、特殊角的求法，采用数形结合的思想及正 确作出辅助线是解决此题的关键 (1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； (2)连接PQ,PQ与BC交于点G,过点G作GH⊥CQ,先证明△CQG是等腰直角三角 形，进而可得CH=H0=HG,设G(g,-g+6),可得Q(0,-2g+6),再根据中点坐标公式 求出P(2g,6),代入解析式即可求出点g=2,即可得出P(4,6),Q(0,2),根据两点距离公 式求出对布线PQ=4巨，结合菱形面积公式可得S0号EFQP=45 先构造∠0CM=L4CB,很据tan_BCM=tmZ0CA82-求 BN=BCtan∠BCN=2√2，由三角形BNH是等腰直角三角形，所以BH=NH=2,求出 N(8,2),进而可得直线NC解析式是y=- 二x+6,联立抛物线与直线解析式即可求出 引 【详解】(1)解：已知点A(-2,0),B(6,0),代入抛物线解析式为y=ax2+bx+6 4a-2b+6=0 1 a=-2 解得 36a+6b+6=0 b=2 .抛物线解析式为y=-二x2+2x+6 2 (2)连接P0,PQ与BC交于点G,过点G作GH⊥CQ, VA BN 图1 答案第1页，共2页 由抛物线解析式为y=-x2+2x+6可得C(0,6), 2 又：B6,0, 直线BC解析式为y=-x+6,∠0CB=45°， 若四边形PEQF为菱形，则PQ⊥BC,且GQ=GP ∠CQG=∠QCG=∠CGH=∠QGH=45°， .CH=HO=HG, 设G(g,-g+6),则HG=CH=HQ=g, .H(0,-g+6),Q(0,-2g+6), .P(2g,6), 代入抛物线解析式得：-2g2+4g+6=6 解得g=0（舍)，g=2, P(4,6,00,2),G(2,4), .P0=V42+(6-2)2=4V2 所以菱形PEF0的面积S形e0=}EF·QP=)×2×4W2=42 2 (3)延长CM至N,过点B作BN⊥BC,与直线CM交于点N,作NH⊥x轴，与x轴交 于点H, y M W AO B术H末 因为∠OCM=∠ACB,即∠AC0+∠OCB=∠OCB+∠BCN .∠BCN=∠OCA, 因为OC=6,OA=2,所以tan∠BCM=tan∠OCA= 2=1 63 又BC=V0C2+0B2=V62+62=6V2, :BN=BCtan ZBCN=1x6=22, 3 答案第1页，共2页 又：∠0BC=45°， .∠NBH=180°-∠0BC-∠CBN=45°， .三角形BNH是等腰直角三角形，所以BH=NH=2 又：B6,0),所以N(8,2), 又C(0,6),所以直线NC解析式是y=-二x+6 2 1 y=- x+6 联立抛物线与直线解析式得 2 x2+2x+6 y=2 解得 x=0 x3=5 (舍)， 7 y=6 = 2 所以 13.(1)-1,0),45 (②)S-S,为定值，方 (3)V5 【分析】(1)令y=0得-x2+(m-1x+m=0,因式分解求得方程的根，根据等腰直角三角 形的判定，计算∠ABC的度数即可. (2)过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M,交x轴于点N,设点 D(x,y),则CM=ON=x,DN=y,AN=x--1)=x+1,DM=m-y,证明 △AND≌△DMC(AAS),后利用三角形面积解答即可. (3)设点E(,-2+mt-t+m),以对角线为依据，列出方程组计算即可. 【详解】(1)解：令y=0得-x2+(m-1)x+m=0, .X=-1,x3=m, .点A-1,0,点B(m,0), :OB =m, 当x=0时，y=m, 答案第1页，共2页 点C(0,m, .0C=0B=m, .LABC=∠0CB=45°， 故答案为：（-1,0)，45， C2》解：S-3,号为定做，理： :点D为ABC的外心，∠ABC=45°， .∠ADC=90°，∠ACD=∠DAC=45°，AD=CD=BD, 过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M,交x轴于点N, B 设点D(x,y), CM=ON =x,DN=y,AN =x-(-1)=x+1,DM=m-y, :∠CDM+∠ADN=90°，∠ADN+∠DAN=90°， .∠ADM=∠DAN, :∠AND=∠DMC=90°，DA=DC, .aAND≌△DMC(AAS), .AN=DM,CM=DN .x=y且x+1=m-y, 解得：x=y=m-, 2’ :△ACD的面积为S,△ABD的面积为S2, s46Dva+的m 2 4 :△ACD为等腰直角三角形， S-号AD2=m2+1 2 4 答案第1页，共2页 S-S,=m2+1m2-11 442 故S-S,为定值， (3)解：由(2)知，点Dm-1,m-) 2,2 点B(m,0),点C(0,m),设点 E(t,-t2+mt-t+m, 此时，BD=CD, :点E在第一象限内的抛物线上， BC为对角线， 由中点坐标公式： m-m-ltt 2 m=- -12+mt-t+m 2 解得：m=√5或m=-√5（舍去) 故答案为：√5 【点晴】本题考查了抛物线与x轴的交点，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定 理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股 定理是解题的关键， 答案第1页，共2页