专题11图形的中心对称复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题11图形的中心对称复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解中心对称与中心对称图形的概念，能准确区分二者。 2.掌握中心对称的核心性质：对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分；变换前后图形全等。 3.掌握平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：点 P(x,y) 关于原点对称的点为 P′(−x,−y)。 4.了解中心对称与旋转的关系：中心对称是 ** 旋转角为 180°** 的特殊旋转。 1.能根据对称中心，画出已知图形的中心对称图形。 2.能通过连接对应点，找出两个成中心对称图形的对称中心。 3.能利用中心对称的性质，进行线段长度、角度、面积的计算与推理。 4.能识别中心对称图形，并确定其对称中心。 5.能在方格纸中补画图形，使其成为完整的中心对称图形。 6.能运用原点对称的坐标规律，求对称点坐标、判断对称关系或求解参数。 1.准确辨析中心对称与中心对称图形，概念题不丢分。 2.规范完成中心对称作图题，保证对应点、对称中心标注清晰。 3.熟练运用中心对称性质解决几何计算问题，步骤严谨。 4.快速解决关于原点对称的坐标类问题，避免符号错误。 5.能解决中心对称图形的规律探究题，提升几何直观与逻辑推理能力。 题型01.成中心对称 题型02.画中心对称图形 题型03.确定对称中心 题型04.中心对称性质的计算应用 题型05.识别中心对称图形 题型06.找中心对称图形的对称中心 题型07.补全中心对称图形 题型08.中心对称图形规律探究 题型09.原点对称点的坐标 题型10.原点对称与参数求解 题型11.原点对称点的判断 题型12.图形运动过程的描述与绘制 题型13.分析图案的形成过程 题型14.利用图形变换设计图案 解答题6题 知识点01:核心概念：中心对称 vs 中心对称图形（必分清） 1. 中心对称（两个图形的关系） 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形完全重合，就说这两个图形成中心对称。 关键：是两个图形之间的位置关系，有一个对称中心。 一句话记忆：两个图形，绕点转 180°，能重合。 2. 中心对称图形（一个图形的特性） 定义：把一个图形绕自身某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键：是一个图形自身的对称性，对称中心在图形内部。 一句话记忆：一个图形，绕点转 180°，自己和自己重合。 3. 二者关系 中心对称是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质。 把中心对称图形的两部分看成两个图形，它们就成中心对称； 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形。 知识点02:中心对称与中心对称图形的区别 对比项 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形的关系 一个图形自身的特性 旋转 绕一点旋转 180°，与另一个图形重合 绕一点旋转 180°，与自身重合 对称中心 是两个图形的公共点 是图形自身的一个点 知识点03:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点04:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点05:坐标系中的中心对称（最核心考点） 一句话记忆：横纵都变号，原点对称找得到。 高频易错 “避坑指南” 1.概念混淆：中心对称是两个图形，中心对称图形是一个图形，别搞反。 2.性质记错：对应点连线是被对称中心平分，不是 “对称中心在中点上”，本质一样，但表述要准确。 3.坐标符号错：关于原点对称是横纵都变号，别只变一个。 4.判断错误：旋转 180° 才是中心对称，90° 或其他角度不算。 5.作图不规范：对应点要找全，连线要顺次，对称中心要标清。 题型01.成中心对称 【典例】下列动物剪纸作品是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 题型02.画中心对称图形 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型03.确定对称中心 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   题型04.中心对称性质的计算应用 【典例】如图，与关于点成中心对称，则线段___________．（填“=、<、>”） 【跟踪专练1】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和___． 题型05.识别中心对称图形 【典例】欣赏传统吉祥纹样，感受设计之美．下列传统吉祥纹样的图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】魔术师把4张扑克牌放在桌子上（图①），然后闭上眼睛，一位观众上台把其中1张扑克牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张扑克牌如图②所示，被旋转过的牌上的数字是________． 【跟踪专练2】春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型06.找中心对称图形的对称中心 【典例】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【跟踪专练1】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【跟踪专练2】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 题型07.补全中心对称图形 【典例】如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（   ）    A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练1】如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【跟踪专练2】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型08.中心对称图形规律探究 【典例】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【跟踪专练2】如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型09.原点对称点的坐标 【典例】点关于原点的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，的对角线，的交点是原点，若点的坐标是，则点的坐标为__________． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 题型10.原点对称与参数求解 【典例】若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】已知点与点关于原点对称，则的值是______． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型11.原点对称点的判断 【典例】点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【跟踪专练2】已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 题型12.图形运动过程的描述与绘制 【典例】在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【跟踪专练2】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有___（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 题型13.分析图案的形成过程. 【典例】下列图案中，可以看成是由某一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，经过变换得到，正确的变换是（   ） A．把绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2格 B．把绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5格 C．把向下平移5格，再绕点C逆时针旋转180° D．把向下平移4格，再绕点C顺时针旋转180° 【跟踪专练2】下列图案中可分别由平移、旋转、轴对称分析整个图案形成过程的是（   ） A． B． C． D． 题型14.利用图形变换设计图案 【典例】下列图案中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（    ） A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【跟踪专练2】下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【解答题】 1．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位所得的，并求平移过程中扫过的面积； (2)画出关于原点对称的； (3)若与关于点成中心对称，求点的坐标． 2．如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使BC边长为（点C、D都在格点上）． (2)在图2中画一个平行四边形，使平行四边形关于点O成中心对称． 4．平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别是，，． (1)已知与关于点成中心对称． ①若点与原点重合，请在图中画出． ②若把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移 个单位长度；若把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移 个单位长度． (2)直接写出点关于点的对称点的坐标 ． 5．在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 6．习近平总书记在2018年9月10日的全国教育大会上，首次将劳动教育（含劳技教育）纳入党的教育方针，明确提出构建德智体美劳全面培养的教育体系，并强调劳动教育的极端重要性．学校劳技课上组织学生制作“图形变换”教具，需要将长、宽的矩形纸片按下列要求进行裁剪，使裁剪后拼接成的新图形的面积保持不变．要求：把最终拼接所得的图形打上阴影，并标注好必要的数据． (1)一个底边长为的等腰三角形； (2)一个上底，下底的等腰梯形； (3)一个长为的新矩形； (4)一个底为的平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11图形的中心对称复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解中心对称与中心对称图形的概念，能准确区分二者。 2.掌握中心对称的核心性质：对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分；变换前后图形全等。 3.掌握平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：点 P(x,y) 关于原点对称的点为 P′(−x,−y)。 4.了解中心对称与旋转的关系：中心对称是 ** 旋转角为 180°** 的特殊旋转。 1.能根据对称中心，画出已知图形的中心对称图形。 2.能通过连接对应点，找出两个成中心对称图形的对称中心。 3.能利用中心对称的性质，进行线段长度、角度、面积的计算与推理。 4.能识别中心对称图形，并确定其对称中心。 5.能在方格纸中补画图形，使其成为完整的中心对称图形。 6.能运用原点对称的坐标规律，求对称点坐标、判断对称关系或求解参数。 1.准确辨析中心对称与中心对称图形，概念题不丢分。 2.规范完成中心对称作图题，保证对应点、对称中心标注清晰。 3.熟练运用中心对称性质解决几何计算问题，步骤严谨。 4.快速解决关于原点对称的坐标类问题，避免符号错误。 5.能解决中心对称图形的规律探究题，提升几何直观与逻辑推理能力。 题型01.成中心对称 题型02.画中心对称图形 题型03.确定对称中心 题型04.中心对称性质的计算应用 题型05.识别中心对称图形 题型06.找中心对称图形的对称中心 题型07.补全中心对称图形 题型08.中心对称图形规律探究 题型09.原点对称点的坐标 题型10.原点对称与参数求解 题型11.原点对称点的判断 题型12.图形运动过程的描述与绘制 题型13.分析图案的形成过程 题型14.利用图形变换设计图案 解答题6题 知识点01:核心概念：中心对称 vs 中心对称图形（必分清） 1. 中心对称（两个图形的关系） 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形完全重合，就说这两个图形成中心对称。 关键：是两个图形之间的位置关系，有一个对称中心。 一句话记忆：两个图形，绕点转 180°，能重合。 2. 中心对称图形（一个图形的特性） 定义：把一个图形绕自身某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键：是一个图形自身的对称性，对称中心在图形内部。 一句话记忆：一个图形，绕点转 180°，自己和自己重合。 3. 二者关系 中心对称是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质。 把中心对称图形的两部分看成两个图形，它们就成中心对称； 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形。 知识点02:中心对称与中心对称图形的区别 对比项 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形的关系 一个图形自身的特性 旋转 绕一点旋转 180°，与另一个图形重合 绕一点旋转 180°，与自身重合 对称中心 是两个图形的公共点 是图形自身的一个点 知识点03:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点04:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点05:坐标系中的中心对称（最核心考点） 一句话记忆：横纵都变号，原点对称找得到。 高频易错 “避坑指南” 1.概念混淆：中心对称是两个图形，中心对称图形是一个图形，别搞反。 2.性质记错：对应点连线是被对称中心平分，不是 “对称中心在中点上”，本质一样，但表述要准确。 3.坐标符号错：关于原点对称是横纵都变号，别只变一个。 4.判断错误：旋转 180° 才是中心对称，90° 或其他角度不算。 5.作图不规范：对应点要找全，连线要顺次，对称中心要标清。 题型01.成中心对称 【典例】下列动物剪纸作品是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C图形绕其中心点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C； 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，掌握其定义是解题关键． 【跟踪专练1】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 【跟踪专练2】如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由与关于点 O 成中心对称，可得，则，，可判断A；证明，可判断D；由，可得，可判断B；不一定成立，可判断C． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴， ∴，，故A不符合要求； ∵，，， ∴，故D不符合要求； ∴， ∴，故B不符合要求； 不一定成立，故C符合要求； 故选：C． 题型02.画中心对称图形 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 【跟踪专练1】三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 题型03.确定对称中心 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 题型04.中心对称性质的计算应用 【典例】如图，与关于点成中心对称，则线段___________．（填“=、<、>”） 【答案】 【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义． 【跟踪专练1】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【跟踪专练2】如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和___． 【答案】60 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：60． 题型05.识别中心对称图形 【典例】欣赏传统吉祥纹样，感受设计之美．下列传统吉祥纹样的图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义，逐一分析各个图形是否符合题意即可． 【详解】A项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故D正确． 【跟踪专练1】魔术师把4张扑克牌放在桌子上（图①），然后闭上眼睛，一位观众上台把其中1张扑克牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张扑克牌如图②所示，被旋转过的牌上的数字是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据题意可知，旋转的两张牌一定是中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：∵图①和图②的4张扑克牌的图形不变， ∴旋转的1张牌一定是中心对称图形， ∵四张牌中只有牌上的数字是4的牌是中心对称图形， ∴被旋转过的牌上的数字是4， 故答案为：4． 【跟踪专练2】春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合，解题的关键是寻找对称中心．利用中心对称图形的识别方法分别判断各选项即可． 【详解】解：A选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项中图形可以找到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 题型06.找中心对称图形的对称中心 【典例】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 【跟踪专练1】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 【跟踪专练2】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 题型07.补全中心对称图形 【典例】如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（   ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“绕着中心点旋转能与原图形重合即为中心对称图形”进行解答即可． 【详解】解：图中中间的相邻的对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转后将在左下方，即③的位置． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【答案】1 【分析】本题考查的是中心对称图形的含义，在平面内，把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义可得答案． 【详解】解：如图， ∴再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，只有1种涂法， 故答案为： 【跟踪专练2】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 题型08.中心对称图形规律探究 【典例】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ，， 是直角三角形， ， ， 解得：， 正方形的边长为， 点的坐标是， 正方形绕点顺时针旋转，每次旋转， 又， 正方形绕点顺时针旋转次回到出发点， ， 正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称， 将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标． 题型09.原点对称点的坐标 【典例】点关于原点的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于原点的对称点的坐标为． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，的对角线，的交点是原点，若点的坐标是，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】因为平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则点与点关于原点对称，从而根据点坐标可求点坐标． 【详解】解：四边形是平行四边形，且平行四边形是中心对称图形， 当其对角线的交点为原点时，则点与点关于原点对称， 点的坐标是， 点的坐标为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再相加即可． 【详解】解：∵点和关于原点O对称， ∴点B的坐标为点A坐标的相反数，即， ∴，且， 解得：，， ∴． 故选：A． 题型10.原点对称与参数求解 【典例】若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可求解． 【详解】解：∵ 点 与点 关于原点对称， ∴，， ∴，． 【跟踪专练1】已知点与点关于原点对称，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查关于原点对称点的性质，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此求出、的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 题型11.原点对称点的判断 【典例】点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】C 【分析】根据点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称． 故选：C 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特征，熟知关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 【跟踪专练2】已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据函数的自变量取值范围及函数取值范围依次进行判断即可得出结果． 【详解】解：A、因为x≠0，所以与y轴无交点，故A不符合题意； B、y≤0，不可能关于原点中心对称，故B不符合题意； C、由y≤0，可知图象不经过第一、二象限，故C符合题意； D、当0＜x≤1时，函数无意义；原说法错误，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数式的意义，中心对称的定义，坐标系与函数图象等，理解题意，根据函数解析式确定函数自变量与函数值对应点的坐标的位置关系是解题关键． 题型12.图形运动过程的描述与绘制 【典例】在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键． 【跟踪专练1】如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 【跟踪专练2】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有___（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 题型13.分析图案的形成过程. 【典例】下列图案中，可以看成是由某一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的旋转及平移的定义即可解答． 【详解】解：A.可以由圆旋转得到，故不符合题意； B.可以由菱形旋转得到，故不符合题意； C.可以由菱形平移得到，故符合题意； D.可以由等腰直角三角形旋转得到，故不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，经过变换得到，正确的变换是（   ） A．把绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2格 B．把绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5格 C．把向下平移5格，再绕点C逆时针旋转180° D．把向下平移4格，再绕点C顺时针旋转180° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，平移，利用数形结合解决问题是解题的关键．由图形可直接求解． 【详解】解：绕点顺时针方向旋转，再向下平移格即可与重合． 故选：B． 【跟踪专练2】下列图案中可分别由平移、旋转、轴对称分析整个图案形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移、旋转和轴对称变换的定义和性质，逐一分析每个选项即可． 【详解】 解：A、可看成是由基本图形经过平移即可得出原图，不符合题意； B、可看成是由基本图形经过平移得出，不符合题意； C、可看成是由基本图形分别通过平移、旋转、轴对称得到的，符合题意； D、可看成是由基本图形通过旋转得到，不符合题意． 题型14.利用图形变换设计图案 【典例】下列图案中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，进而可得答案． 【详解】解：A、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故符合题意； D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（    ） A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【答案】C 【分析】本题考查几何变换的知识，熟练掌握平移、旋转、轴对称的定义是关键． 根据图形的特征可知图形所在的中心可以是旋转中心，中间两条线段所在的两条直线是对称轴；根据上述特征结合平移，旋转，轴对称的概念解答即可． 【详解】解：A、图案所在的中心可以是旋转中心，因此图案可由旋转变换得到，不符合题意； B、图案中间水平和垂直的两条线段所在的两条直线是对称轴，因此图案可由轴对称变换得到，不符合题意； C、图案无法用平移得到，符合题意； D、图案可以通过轴对称和旋转得到，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了平面图形的分割与组合，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 【详解】解：如图所示：图案是由五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠）， 这两种基本图形是②⑤． 故选：D． 【解答题】 1．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位所得的，并求平移过程中扫过的面积； (2)画出关于原点对称的； (3)若与关于点成中心对称，求点的坐标． 【答案】(1)画图见解析； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，画出，顺次连接，即可求解，再求得平行四边形的面积即可； （2）根据关于原点的对称的性质画出点，顺次连接，即可求解； （3）连接，找到中点即为所求，根据坐标系写成点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，平移过程中扫过的面积为 （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图， 2．如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【答案】8 【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知平分三角形，进而求出的面积． 【详解】解：∵和成中心对称，的面积为4， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使BC边长为（点C、D都在格点上）． (2)在图2中画一个平行四边形，使平行四边形关于点O成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，，四边形即为所求； （2）解：四边形即为所求； 4．平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别是，，． (1)已知与关于点成中心对称． ①若点与原点重合，请在图中画出． ②若把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移 个单位长度；若把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移 个单位长度． (2)直接写出点关于点的对称点的坐标 ． 【答案】(1)①见解析；②2，2 (2) 【分析】（1）①作关于原点成中心对称的即可；②分别以，作的中心对称图形，然后再与对比即可解答； （2）一组对称点的横（纵）坐标之和等于对称点的横（纵）坐标的2倍，由此可解． 【详解】（1）解：①如图：即为所求； ②把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向右平移了2个单位长度得到； 把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向上平移了2个单位长度得到． （2）解：由坐标系可知： 根据在（1）中获得的经验，可得A点关于点的对称点的坐标分别为． 5．在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的坐标为，点与点关于原点对称求出，，然后代入求解； （3）设，则点的“a级伴随点”，表示出，，则，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点的“3级伴随点”是点D， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）∵点是点的“级伴随点”， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设，则点的“a级伴随点”， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：． 6．习近平总书记在2018年9月10日的全国教育大会上，首次将劳动教育（含劳技教育）纳入党的教育方针，明确提出构建德智体美劳全面培养的教育体系，并强调劳动教育的极端重要性．学校劳技课上组织学生制作“图形变换”教具，需要将长、宽的矩形纸片按下列要求进行裁剪，使裁剪后拼接成的新图形的面积保持不变．要求：把最终拼接所得的图形打上阴影，并标注好必要的数据． (1)一个底边长为的等腰三角形； (2)一个上底，下底的等腰梯形； (3)一个长为的新矩形； (4)一个底为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据题意及矩形面积保持不变设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）如图所示即为所求； （3）如图所示即为所求； （4）如图所示即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $