专题10图形的旋转复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题10图形的旋转复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解旋转、旋转中心、旋转角、对应点的概念，知道旋转由旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素决定。 2.掌握旋转的基本性质：旋转前后图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角。 3.了解中心对称及中心对称图形的基本特征，能区分旋转与中心对称。 1.能根据三要素准确画出旋转后的图形。 2.会利用旋转性质进行角度、线段长度的计算与简单推理。 3.能识别生活中的旋转现象，具备数形结合与几何直观能力。 1.旋转概念、性质、旋转角判断等基础题不丢分。 2.作图规范，对应点、旋转中心、旋转角标注清晰。 3.能解决旋转与三角形、四边形结合的简单综合题。 题型01.判断生活中的旋转现象 题型02.旋转图案辩别判断 题型03.找旋转中心.旋转角.对应点 题型04.求旋转中心的个数 题型05.旋转中心的规律性问题 题型06根据旋转的性质求解. 题型07.由旋转性质说明线段或角相等 题型08.旋转的性质及辨析 题型09.画旋转图形 题型10.旋转对称图形的识别 题型11.求旋转对称图形的旋转角度 题型12.求绕原点旋转90的点的坐标 题型13.求绕某点旋转90的点的坐标 题型14.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型15.坐标与旋转规律问题 题型16.旋转综合题 题型17.坐标系中的旋转 解答题10题 知识点01:旋转的基本概念（精准定义） 1.旋转:在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2.旋转三要素（必考） 旋转中心：转动时固定不动的点 旋转方向：顺时针或逆时针. 旋转角度：转动的角的大小 对应关系旋转前、后的点互为对应点，线段互为对应线段，角互为对应角。 已知：△ABC 绕点 O 旋转得到 △A'B'C' 旋转中心：点 O（旋转过程中位置固定不变的点） 旋转方向：顺时针或逆时针（图中为绕点 O 顺时针 / 逆时针旋转） 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如∠AOA′、∠BOB′、∠COC′，且 ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′ 知识点02:旋转的性质（重点） (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 常见旋转角度 旋转 90∘、180∘、270∘、360∘ 旋转 360∘ 图形回到原位。 知识点03:作图要点 · 定：确定图形的关键点（顶点、端点）。 · 连：把每个关键点与旋转中心连接。 · 画：按旋转方向和旋转角，画出对应点。 · 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 步骤 几何作图语言 1. 定三要素 明确旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角为α。 2. 找关键点 选取△ABC的顶点A、B、C作为关键点。 3. 作对应点 ① 连接OA，以O为顶点，OA为一边，顺时针作∠AOA′=α，截取OA′=OA，得点A的对应点A′； ② 同理，作点B的对应点B′，点C的对应点C′。 4. 连点成形 顺次连接A′B′、B′C′、C′A′。 知识点04:旋转角的判断与找法（做题技巧） 1.找旋转中心 O 和一对对应点 A、A′ 2.连接 OA、OA′ 3.∠AOA′ 就是旋转角 4.所有旋转角大小相等 知识点05:平移、旋转、轴对称 高清表格对比 对比项目 平移 旋转 轴对称 定义 沿直线移动一定距离 绕定点转动一定角度 沿直线翻折 180° 三要素 / 关键 方向、距离 旋转中心、方向、角度 对称轴（一条直线） 图形变化 只变位置 只变位置 只变位置 形状大小 完全不变（全等） 完全不变（全等） 完全不变（全等） 图形方向 方向不变 方向改变 方向相反（镜像） 对应点连线 平行且相等 到旋转中心距离相等 被对称轴垂直平分 对应线段 平行且相等 相等 相等 对应角 相等 相等 相等 典型例子 推动窗户、升国旗 钟表指针、风车 蝴蝶、人脸.剪纸 易错点提醒（避坑必备） 1.旋转必须有固定中心，无中心不是旋转。 2.旋转角是对应点与中心的夹角，不是图形内角。 3.旋转不改变图形大小、形状，只改变位置。 4.顺时针、逆时针方向不同，结果不同。 5.作图时对应点要准确，连线要顺次。 题型01.判断生活中的旋转现象 【典例】下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 【跟踪专练1】以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ； 图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ； 图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ； 图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键． 题型02.旋转图案辩别判断 【典例】下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移和旋转，解题的关键是熟练掌握平移和旋转的特点，由平移的性质和旋转的性质依次判断可求解． 【详解】解：选项A、B、C中的图形只通过平移或旋转，可得长方形，选项D中的图形只通过平移或旋转，不能得到长方形， 故选：D． 【跟踪专练1】香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 【跟踪专练2】下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案． 【详解】解：A由图顺时针旋转得到，故A正确； B由图逆时针旋转得到，故B正确； C由图无法旋转得到，故C错误； D由图顺时针旋转得到，故D正确． 故选：C． 题型03.找旋转中心.旋转角.对应点 【典例】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 【跟踪专练1】如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 题型04.求旋转中心的个数 【典例】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 【跟踪专练1】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 题型05.旋转中心的规律性问题 【典例】依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解． 【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形， ∴第四个图形是D． 故答案为：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键． 【跟踪专练1】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项． 【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2021÷4＝505...1， 即第2021次与第1次的图案相同． 故选：A． 【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期． 【跟踪专练2】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 题型06根据旋转的性质求解. 【典例】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，对应边 与 的夹角即为旋转角，从而可以得到 的度数，由 结合角的和差关系可以得到 的度数． 【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ， ， ， ． 【跟踪专练1】.如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先由旋转性质得到，，进而得到是等腰直角三角形，则，再根据，求出，最后利用三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，作，证明，进而得到，得到点的轨迹，作点关于的对称点，连接，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型07.由旋转性质说明线段或角相等 【典例】如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 题型08.旋转的性质及辨析 【典例】在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、图形由经过平移得到，选项说法正确，不符合题意； B、图形不能由经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意； C、图形由经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意； D、图形由经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义． 【跟踪专练2】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 题型09.画旋转图形. 【典例】如图，将图形按顺时针方向旋转后的图形是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义，理解其定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：形状发生了改变，不是旋转，故该选项不合题意； B：符合原图形顺时针旋转后的形状、图案和方向，故该选项符合题意； C：是原图形的镜像或旋转后的图案，故该选项不合题意； D：是原图形逆时针旋转后的图案，故该选项不合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形可以看成是把菱形以点为中心（ ） A．逆时针旋转得到 B．逆时针旋转得到 C．顺时针旋转得到 D．顺时针旋转得到 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质以及旋转的性质，观察图象找出是解题的关键．由结合旋转的性质，即可得出结论． 【详解】解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形可以看成是把菱形以为中心逆时针旋转得到． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 题型10.旋转对称图形的识别 【典例】如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结果． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； C．不能由如图所示的图形经过旋转得到，故本选项符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意. 【跟踪专练2】下列各图案中，不是通过旋转变换设计而成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点，熟练掌握图形旋转后的大小和形状不变是解答本题的关键． 利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、可以通过旋转变换设计而成，故A选项不符合题意； B、不可以通过旋转变换设计而成，故B选项符合题意； C、可以通过旋转变换设计而成，故C选项不符合题意； D、可以通过旋转变换设计而成，故D选项不符合题意； 故选：B． 题型11.求旋转对称图形的旋转角度 【典例】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度即可． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：72． 【跟踪专练1】把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转后的五角星能与自身重合，则旋转角的度数可能是（   ） A．36° B．72° C．108° D．180° 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，即可得出答案． 【详解】解：∵该图形被平分为5部分， ∴， ∴旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故选B． 【跟踪专练2】如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由旋转的性质推出，求出即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 题型12.求绕原点旋转90的点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点绕着原点О逆时针旋转得到点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，解题的关键是数形结合思想的应用得出，的长． 【详解】由已知点的坐标为，如图，可得：， 根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度， ; 又由图可得在第二象限； 从而得点坐标为． 故选． 【跟踪专练1】已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为______． 【答案】 【分析】设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，通过证明即可得到答案． 【详解】解：设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∴， ∵将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为，即将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是． 【跟踪专练2】无人机编队表演，在空中先组成如图所示的四边形图案，然后整体向右平移5个单位，再绕点O逆时针旋转，此时点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：画出菱形如图所示： 由图形可得，点的坐标为． 题型13.求绕某点旋转90的点的坐标 【典例】如图，将线段绕着点A按逆时针方向旋转，得到线段，则点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形，即可解答 ． 【详解】解：如图可知：， 故选：B 【跟踪专练1】如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，写出点的坐标，根据题意画出，结合坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴于点C， ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 题型14.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 【跟踪专练1】某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质．根据题意求得点的坐标为，，再根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：由题意得点C的坐标为，且， 将各点的横、纵坐标都乘以2后，得到点的坐标为，即，且，， 将所得图形绕原点顺时针旋转，得到点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，可得旋转3次为一个循环．再分别求解第次，第次，第次旋转后的坐标，由规律得到第次旋转后与第1次旋转后的位置相同即可解答． 【详解】解： ， ∵三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转3次为一个循环． 第1次旋转，如图，过作轴于 由旋转的性质可得：    点B所在位置的坐标为； 第2次旋转，如图，过作轴于 此时与轴重合，    同理可得： 点B所在位置的坐标为； 第3次旋转，如图，三角形回到原位置，    所以点B所在位置的坐标为； …… ∵， ∴第次旋转后，与第次旋转后的位置相同， 所以点B所在位置的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是与旋转相关的规律探究、含的直角三角形的性质、勾股定理的应用、坐标与图形等知识点，发现每旋转3次为一个循环是解题的关键． 题型15.坐标与旋转规律问题 【典例】已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．由每次旋转可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可得解． 【详解】解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ， 第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A落在x轴的负半轴， 点A坐标为， 故选：． 【跟踪专练1】小夏利用平面直角坐标系绘制了风车图形（如图），他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动，…，那么按照这种转动方式，转动2025次后，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：由题意可得：第4次旋转后回到初始位置， 又∵， ∴此时点A与点重合， ∵点， ∴点 ∴转动2025次后，点A的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【详解】解：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为2，横坐标为， ∴， 故选：B． 题型16.旋转综合题. 【典例】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】.如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 【跟踪专练4】如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是______． 【答案】或 【分析】本题考查图形的旋转，画出将绕点顺时针或逆时针旋转后的图形，然后根据三角形面积公式计算即可．解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形的形状相同． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∵长方形中，，，是的中点， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴； 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴； 综上所述，的面积是或． 故答案为：或． 【跟踪专练5】如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角，即；最后用减去，算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等，旋转角相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练6】如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有__________． 【答案】①②④ 【分析】利用旋转的性质，易证BC=CF，则△BCF为等腰直角三角形，结合垂直平分线的性质，可证；；结合三角形的外角定理和等腰三角形两底角相等，可证；过点E作EG⊥BC与点G，证明EG是△ABC的中位线，． 【详解】①∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴BC=CF，∠BCF=90°，则△BCF为等腰直角三角形， ∵， ∴BF= ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故①正确； ②∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴△ABC≌△DCF， ∴AB=DF， ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故②正确； ③∵△BCF为等腰直角三角形， ∴∠BCF=45°， ∵AF=BF， ∴，故③错误； ④ 过点E作EG⊥BC与点G， ∵BC=CF=2，BF=AF= ∴AC=CD= ∵EG⊥BC，AC⊥BC， ∴， ∵点E为AB中点， ∴EG为△ABC中位线，则EG= ∴，故④正确； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转是一种全等的变化，旋转前后的图形是全等的，对应点与旋转中心的连线所成的夹角等于旋转角，熟练地掌握旋转的性质是解题的关键． 题型17.坐标系中的旋转 【典例】如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为_____； 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据点A的坐标得到，，再结合旋转的性质求解即可． 【详解】解：在x轴上，，点A的坐标为， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】将一个边长为的正方形绕其一个顶点按顺时针方向旋转，则旋转后所得图形与原正方形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转，熟练掌握以上知识是解题的关键．正方形绕一个顶点顺时针旋转后，新正方形与原正方形的重叠部分为一条公共边（线段），因此面积为． 【详解】解：设原正方形，其中， 绕顶点顺时针旋转后，新正方形为，其中， ∴原正方形区域为，，新正方形区域为，， ∴两区域交集为线段从到，面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质，先证为等边三角形，再用含角的直角三角形性质求的长度，最后通过作辅助线构造含角的直角三角形，直接用边长关系求点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，． ∴是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． ∵，， ∴． ∴， 由勾股定理得：． ∴点的坐标为． 【解答题】 1．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，的顶点坐标分别为． (1)将向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的图形为，其中点的对应点分别是点，，画出． (2)将绕点顺时针旋转90°得到，其中点，的对应点分别是点，画出． (3)点C与点的距离是_____． (4)若可以由绕点旋转得到，则点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据平移方式分别平移的三个顶点，再依次连接平移后的三点即可； （2）根据旋转的性质画出的三个顶点旋转后的对应点，再依次连接即可； （3）利用勾股定理即可求解； （4）由旋转的性质确定点P的位置，即可确定其坐标． 【详解】（1）解：如图； （2）解：如图； （3）解：点C与点的距离是； （4）解：如图，点P的坐标为． 2．如图1，在正方形中，E是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，作于点M． (1)求证：； (2)如图2：连接与交于点G． ①直接写出与的位置关系________； ②求证：点G是线段的中点； (3)在（2）条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①②见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得到，，由正方形的性质得到，则可证明，进而可利用证明可得，可得，故可得； （2）①证明，得到； ②过点F作交于L，可证明四边形是平行四边形．得到，再证明，即可证明； （3）连接交于点，则点为的中点，设，得，，，证明是的中位线，，求出，，得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， 又是正方形的对角线， ， ∴， ∴； ②证明：过点F作交于L，如图， ∵，即 又， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G是线段的中点； （3）解：连接交于点，则点为的中点， 设， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 4．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．分别过点和点作轴的垂线，利用全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足为和， 则． ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴，． ∵点坐标， ∴，． ∴点的坐标为． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______； (2)在此网格范围内，若要以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出______个矩形，面积为______． (3)若和关于原点O中心对称，画出； (4)在此网格范围内，若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标______； 【答案】(1)；， 图见解析 (2)2个；13或26 (3)见详解 (4)或 【分析】本题考查作图—旋转变换、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、特殊四边形是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）取格点并证明，即可证明，则有四边形和以其他顶点均为格点的矩形，利用勾股定理和矩形面积公式求解即可； （4）根据平行四边形的判定确定点的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图， 即为所求． 由图可得，点的坐标是，点的坐标是． 故答案为：； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 那么，四边形和是以其他顶点均为格点的矩形， ∵，， ∴矩形的面积为， 矩形的面积为， 则以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出2个矩形，面积分别为13和26； （3）解：如图，即为所求． （4）解：当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为； 当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 【答案】（1）①见解析②见解析；（2） 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握旋转的性质和平移的性质是解此题的关键． （1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）连接、、，交点即为所求． 【详解】解：（1）如图，和为所作； （2）如图，绕点旋转得到．旋转中心的坐标为． 故答案为． 8．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 【答案】(1)75 (2) (3)或 【分析】本题考查了旋转的性质、角的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； （3）分类讨论当在点O的上方和下方时，根据垂直的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在点O的上方时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在点O的下方时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 故答案为：或． 9．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 10．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)不变，的面积为2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C的坐标； （2）过点作轴于点，，同（1）得出，根据点C的坐标即可求出面积； （3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据点的坐标可得，， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 根据旋转得， ∴， ∴根据全等可能，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； （3）解：的面积不发生变化，理由如下： ①如（2）得，当点位于纵轴负半轴时，设B点坐标为， 则， ∴ ∴点C的坐标为， ∴的面积为； ②当点位于纵轴正半轴时，B点坐标为，如图，过点作轴于点， 同理（1）可证， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴； 综上，的面积不发生变化． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10图形的旋转复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解旋转、旋转中心、旋转角、对应点的概念，知道旋转由旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素决定。 2.掌握旋转的基本性质：旋转前后图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角。 3.了解中心对称及中心对称图形的基本特征，能区分旋转与中心对称。 1.能根据三要素准确画出旋转后的图形。 2.会利用旋转性质进行角度、线段长度的计算与简单推理。 3.能识别生活中的旋转现象，具备数形结合与几何直观能力。 1.旋转概念、性质、旋转角判断等基础题不丢分。 2.作图规范，对应点、旋转中心、旋转角标注清晰。 3.能解决旋转与三角形、四边形结合的简单综合题。 题型01.判断生活中的旋转现象 题型02.旋转图案辩别判断 题型03.找旋转中心.旋转角.对应点 题型04.求旋转中心的个数 题型05.旋转中心的规律性问题 题型06根据旋转的性质求解. 题型07.由旋转性质说明线段或角相等 题型08.旋转的性质及辨析 题型09.画旋转图形 题型10.旋转对称图形的识别 题型11.求旋转对称图形的旋转角度 题型12.求绕原点旋转90的点的坐标 题型13.求绕某点旋转90的点的坐标 题型14.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型15.坐标与旋转规律问题 题型16.旋转综合题 题型17.坐标系中的旋转 解答题10题 知识点01:旋转的基本概念（精准定义） 1.旋转:在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2.旋转三要素（必考） 旋转中心：转动时固定不动的点 旋转方向：顺时针或逆时针. 旋转角度：转动的角的大小 对应关系旋转前、后的点互为对应点，线段互为对应线段，角互为对应角。 已知：△ABC 绕点 O 旋转得到 △A'B'C' 旋转中心：点 O（旋转过程中位置固定不变的点） 旋转方向：顺时针或逆时针（图中为绕点 O 顺时针 / 逆时针旋转） 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如∠AOA′、∠BOB′、∠COC′，且 ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′ 知识点02:旋转的性质（重点） (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 常见旋转角度 旋转 90∘、180∘、270∘、360∘ 旋转 360∘ 图形回到原位。 知识点03:作图要点 · 定：确定图形的关键点（顶点、端点）。 · 连：把每个关键点与旋转中心连接。 · 画：按旋转方向和旋转角，画出对应点。 · 连：顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 步骤 几何作图语言 1. 定三要素 明确旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角为α。 2. 找关键点 选取△ABC的顶点A、B、C作为关键点。 3. 作对应点 ① 连接OA，以O为顶点，OA为一边，顺时针作∠AOA′=α，截取OA′=OA，得点A的对应点A′； ② 同理，作点B的对应点B′，点C的对应点C′。 4. 连点成形 顺次连接A′B′、B′C′、C′A′。 知识点04:旋转角的判断与找法（做题技巧） 1.找旋转中心 O 和一对对应点 A、A′ 2.连接 OA、OA′ 3.∠AOA′ 就是旋转角 4.所有旋转角大小相等 知识点05:平移、旋转、轴对称 高清表格对比 对比项目 平移 旋转 轴对称 定义 沿直线移动一定距离 绕定点转动一定角度 沿直线翻折 180° 三要素 / 关键 方向、距离 旋转中心、方向、角度 对称轴（一条直线） 图形变化 只变位置 只变位置 只变位置 形状大小 完全不变（全等） 完全不变（全等） 完全不变（全等） 图形方向 方向不变 方向改变 方向相反（镜像） 对应点连线 平行且相等 到旋转中心距离相等 被对称轴垂直平分 对应线段 平行且相等 相等 相等 对应角 相等 相等 相等 典型例子 推动窗户、升国旗 钟表指针、风车 蝴蝶、人脸.剪纸 易错点提醒（避坑必备） 1.旋转必须有固定中心，无中心不是旋转。 2.旋转角是对应点与中心的夹角，不是图形内角。 3.旋转不改变图形大小、形状，只改变位置。 4.顺时针、逆时针方向不同，结果不同。 5.作图时对应点要准确，连线要顺次。 题型01.判断生活中的旋转现象 【典例】下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【跟踪专练1】以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【跟踪专练2】以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 题型02.旋转图案辩别判断 【典例】下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【跟踪专练2】下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 题型03.找旋转中心.旋转角.对应点 【典例】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型04.求旋转中心的个数 【典例】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【跟踪专练2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 题型05.旋转中心的规律性问题 【典例】依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 题型06根据旋转的性质求解. 【典例】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】.如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，连接．若，则的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型07.由旋转性质说明线段或角相等 【典例】如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【跟踪专练1】如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【跟踪专练2】如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型08.旋转的性质及辨析 【典例】在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【跟踪专练2】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型09.画旋转图形. 【典例】如图，将图形按顺时针方向旋转后的图形是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形可以看成是把菱形以点为中心（ ） A．逆时针旋转得到 B．逆时针旋转得到 C．顺时针旋转得到 D．顺时针旋转得到 【跟踪专练2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 题型10.旋转对称图形的识别 【典例】如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练1】2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各图案中，不是通过旋转变换设计而成的是（   ） A． B． C． D． 题型11.求旋转对称图形的旋转角度 【典例】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______度． 【跟踪专练1】把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转后的五角星能与自身重合，则旋转角的度数可能是（   ） A．36° B．72° C．108° D．180° 【跟踪专练2】如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型12.求绕原点旋转90的点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点绕着原点О逆时针旋转得到点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为______． 【跟踪专练2】无人机编队表演，在空中先组成如图所示的四边形图案，然后整体向右平移5个单位，再绕点O逆时针旋转，此时点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型13.求绕某点旋转90的点的坐标 【典例】如图，将线段绕着点A按逆时针方向旋转，得到线段，则点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 【跟踪专练2】如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型14.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（   ）    A． B． C． D． 题型15.坐标与旋转规律问题 【典例】已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小夏利用平面直角坐标系绘制了风车图形（如图），他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动，…，那么按照这种转动方式，转动2025次后，点的坐标为______． 【跟踪专练2】如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型16.旋转综合题. 【典例】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【跟踪专练3】.如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【跟踪专练4】如图，已知长方形，，，是的中点，连接，将绕点旋转（其中、分别与、对应）使得落在直线上，得，连接，那么的面积是______． 【跟踪专练5】如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【跟踪专练6】如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有__________． 题型17.坐标系中的旋转 【典例】如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为_____； 【跟踪专练1】将一个边长为的正方形绕其一个顶点按顺时针方向旋转，则旋转后所得图形与原正方形重叠部分的面积为______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，的顶点坐标分别为． (1)将向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的图形为，其中点的对应点分别是点，，画出． (2)将绕点顺时针旋转90°得到，其中点，的对应点分别是点，画出． (3)点C与点的距离是_____． (4)若可以由绕点旋转得到，则点的坐标是_____． 2．如图1，在正方形中，E是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，作于点M． (1)求证：； (2)如图2：连接与交于点G． ①直接写出与的位置关系________； ②求证：点G是线段的中点； (3)在（2）条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 4．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，求点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______； (2)在此网格范围内，若要以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出______个矩形，面积为______． (3)若和关于原点O中心对称，画出； (4)在此网格范围内，若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标______； 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 8．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 9．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 10．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点A作直线l，过点C作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为，则点C的坐标为_______． (2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为，请求出的面积． (3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合），的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $