上海市金山中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷

**基本信息** 高中数学月考试卷以数学思维培养为核心，通过梯度化问题设计考查抽象能力、运算能力及数据意识，适配阶段性学业评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|集合、函数、几何|结合科技情境考查符号意识| |填空题|4/20|概率统计、立体几何|设置开放问题培养创新意识| |解答题|6/70|函数应用、数列、解析几何|分层设问体现模型观念与推理能力|

2025-2026学年上海市金山中学高三年级下学期3月月考数学试卷 2026.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1若集合M={x-3<x≤1，N={xk2-x-6<0,则M∩N= 2不等式3>-1的解集为一 x-2 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比g=2,S。=63,则a= 4.函数y=2anx+a在，上的最大值为4，则实数a的值为 x2 5.若双曲线C的方程为 =1,则实数k的取值范围是 2-14-k2 6.己知圆锥的母线与底面所成角为30°，高为1，则该圆锥的侧面积为 7.设(1-2x)5=a。+ax+a2x2+.+ar，则a,+a2+..+a5=_ 8.已知离散型随机变量5的分布列为 0 2 3 n 4 2 9 若E(5)=1,则D(5)= 9.截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动 员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员若从这10人中随机选取4人进行技术分 析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有 种 10.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥高速公路里程、高铁甲程双双都 是世界第一建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界 领先水平如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相 切，同时与止四面休的三个面相切设AB=3,则该模型巾5个球的表面积之和为， 11,康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处 3 有一个可以左右自由旋转的夜照灯，共固定照射角度为x,共中c0sα一亏为保路安全， 要求四边形跑道必须完全处于夜照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为 米 12.球O是一个半径为1的球，其大圆O上有一个内接正二十四边形PPB…P,P4,A是球 面上一点，B是正二十四边形PP…P,P4边上一点，A,B均不与P(1≤i≤24，i∈N)重 合，记4=丽4=B职则立a+6)的取预袍调是 24 i-l 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.在复平面内，复数+对应的点位于（） 1-i A.实轴 B.虚轴 C第二象限 D.第四象限 14.已知幂函数f(x)=(m2-4m+4)x-2m在(0，+0)上是增函数，则实数m的值为（) A1或-3 B.3 C.-1 D.-1或3 15.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两 人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则() A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概举为0.42 C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.74 16.对于数列{x,},若存在正数M,使得对切正整数n,恒有1xI≤M,则称数列{x,}有 界；若这样的正数M不存在，则称数列{x}无界，已知数列{a,}满足：a,=l, a,=lm(2an+l(入>0)，记数列an}的前n项和为Sn,数列{a}的前n项和为T,则下列 结论正确的是() A.当元=1时，数列S}有界 B.当元=1时，数列T}有界 C.当1=2时，数列{S}有界 D.当元=2时，数列{T}有界 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”。 为了了解木次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样木进行统计将成绩进行 整理后，分为五组(50<x<60,60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x≤100)，其中第1 组的频数的平方为第2组和第4组频数的积请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图 所示)解决下列问题： (1)求a,b的值： (2)从样本数据在80≤x<90,90≤x<100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6 名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于不同小组的概率： (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x,x2,x,,。,已知这 10个分数的平均数x=90,标准差s=6,若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分 数的平均数与方差 频率 组距 0.040 0.016 0.008 5060708090100成绩（分） 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形，∠BAD=12O°，点E 在线段PD上，PBII平面AEC. (1)证明：E为PD的中点： (2)若AB=2,二面角C-E-D的余弦值为，求PA的长. 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 记△48c内04,8，C的对边分别为a,b,c,已知2a=b+2csm4-名， (1)求C: (2)若△ABC为锐角三角形，且外接圆直径为2w5,求2+3c 的取值范围 2b 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 1如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我 国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤 折纸： 步骤1：设圆心是F,在圆内（除去圆心）取一点，标记为F,且|FF仁2： 步骤2：把纸片折叠，使园周正好通过￡： 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕： 步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越米越多条的折痕 这些折痕围成个图形，设F关于折痕的对称点为Q点。 (1)以FF,所在的直线为轴，FF的巾点O为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图 形C的标准方程： (2)过R的直线1交C于A,B两点，若△ABR内切圆的半径为3N 7 ,求1的方程： (3)设M是坐标平面上的动点，且线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的 轨迹为圆，并求该圆的方程。 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 已知函数y=f(x)的定义域为R,对于实数m>0,定义S={xx2+f(x)m}. (1)设f(x)=2x-1,求S: (2)设fx)=4x2+a,是否存在实数a,使得S是个闭区间？若存在，求a的取值范围： 若不存在，请说明理由： (3)已知函数y=g(x)的定义域是(0，+0)，函数值恒正，导函数为y=g(x),且0<g(x)<1 恒成立若对任意m>0,均有Sm=[-g(m),g(m)],求证：“函数y=f(x)是R上的严格 增函数"当且仅当“{xf(x)≥0=[0，+∞)”.2025-2026学年上海市金山中学高三年级下学期3月月考数学试卷 2026.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.若染合M={x-3<x≤1}，N={xx2-x-6<0,则M∩N= 【答笨】(-2，刂 【解析】由x2-x-6<0可得(x-3x+2)<0,解得-2<x<3, 所以M={x3<x≤I,N={x-2<x<3}, 所以M∩N=(-2,1]. 2.不等式3 -2 >-1的解集为 【答笨】(-0，-1)U(2,+∞) 【解析】3>-1→+>0→x>2或x<-1 x-2 x-2 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q=2,S。=63,则a,=_ 【答茶】1 【解析】因为公比g=2,8=63,S。=0-29=63,解得：4=1. 1-2 4.函数y=21anx+a在巴，上的最大值为4，则实数a的值为 6'4 【答案】2 【解折】因为=2+a在后孕上单调道增。 故当x=严时，函数取得最大值2+a=4,所以a=2. x2 y2 5.若双曲线C的方程为 2一4-=1，则实数k的取值范围是 【答案】(-2，-1)U(1,2) 【解析】，。y2 x2 -4-=1 k2-1k2-4 =1→(k2-10k2-4)<0 →1<k2<4→k∈(-2，-1)U(1,2). 6.己知圆锥的母线与底面所成角为30°，高为1，则该圆锥的侧面积为 第1页（共16页） 【答案】2√3元 【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为1，高为h. 由圆锥的母线与底面所成角为30，$in30=-→1=2→r=5, 77 故该圆锥的侧面积为：πrl=2√3π. 7.设(1-2x)=a。+ax+a2x2+.+ax，则a,+a2+.+a= 【答案】-2 【解析】对于(1-2x)=a。+ax+a2x2+.+ax, 取x=1,可得(1-2)=a。+4+a2+.+a,化简得a。+a,+a2+.+a=1.①， 取x=0,可得1=a。,代入①式可得1+4，+a2+..+a=-1,解得4+42+.+a=-2 8已知离散型随机变量5的分布列为 0 2 3 P 么 4 2 9 若E(5)=1,则D(5)= 【答案】2 3 42 m+n++2=1 【解析】由题可得 99 ,解得n= .8 A 2 -27 0×m+1×+2×←+3n=1 9 9 散D3=0-P×+0-×号+2-×号+0-x分号 9.截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动 员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员若从这10人中随机选取4人进行技术分 析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有 种 【答案】145 【解析】按照男运动员的选取人数分为三类： 若这4人中有4名男运动员，则共有C=5种： 若这4人巾有3名男运动贞，1名女运动员，则不同的选取情况共有CC;=10×5=50种： 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有 (C3-C)C3=10-)×10=90种： 第2页（共16页） 故满足条件的所有不同情况共有5+50+90=145种. 10如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥高速公路甲程、高铁里程双双都 是世界第一建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界 领先水平如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相 切，同时与止四面休的三个面相切设AB=3,则该模型巾5个球的表面积之和为 C 【答案】3π 【解析】如图所示： 设O为大球的球心，大球的半径为R, 大正四面体的底面中心为E,棱长为3，高为h,CD的中点为F, 连接OA,OB,OC,OD,OE,BF, 由BF=BCsin∠BCD-BCsin60°=3y5 则BE=子F-号x32 2.3V5 .5, 正四面体A-BCD的高h=AE=√AB2-BE2=V32-(5}=V6 因为y的n=4袋a0-m,所以写XS.h=4×写xS.m×R, 6 所以R=h= 4 4 设小球的半径为r,小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 日小正四面体的高h三h-2R=发，同理r=么=V6=R 82 枚该模型中5个球的表面积之和为4标R2+4x4=8xR'=8z×心气}=3玩. 第3页（共16页） 11康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处 3 有一个可以左右自由旋转的夜照灯，共固定照射角度为α，共中c0s二亏，为保安全， 要求四边形跑道必须完全处于夜照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为 米 【答案】240W5 【解析】已知cosa=名，且a为锐角，则sinx=亏 3 4 故cos 1+cosa 25 1-cosa 2 5 2 2 5 如图∠BOC=∠DOC=a,∠AOB=∠AOD=π-a, AB=AD=2Rsin=2Rcos4,BC=CD=2Rsin 则总周长y=AB+AD+BC+CD=2x2 RcosR+2x2 Rsin 2 B 0 D 12球O是一个半径为1的球，其大圆O上有一个内接正二十四边形PPR…P,P4,A是球 面上一点，B是正二十四边形PDP…P3P4边上一点，A,B均不与P(1≤i≤24，i∈N)重 24 合，记&=，A=B职，则立(a+b)的取值范围是 第4页（共16页） 【答案】48+3V6+V2),60 【解析】由趣意可得A=(OA-0p)°=DA+l0p-20A.0p=2-20A.0p, 则a=--0丽.a丽例做2=24-0丽2o 由于20丽=0，故01觉0r=0,故24，=12， BP=(O2-0B=1+08-202-0B, 散立4=241+o）-2052o0.同器2o所-0.0s立09=6. 故立4=24+10)月 由题易得，ocos牙，小拉oeos牙小 缘上2(a+h)∈[48+36+2)，.60) 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分) 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.在复平面内，复数！+对应的点位于() 1-i A.实轴 B.虚轴 C第二象限 D第四象限 【答案】B 【解析】在复平面内，复数+1=0+。=2=1对应的点为0，)，位于虚轴 1-i(1-i01+)2 故选：B. 14.已知幂函数f(x)=(m2-4m+4)xm-2m在(0，+0)上是增函数，则实数m的值为() A.1或-3 B.3 C.-1 D.-1或3 【答案】B 【解析】函数是幂函数，则m2-4m+4=1,.m=3或m=1. 当m=3时，f(x)=x在(0，+)上是增函数，符合题意： 当m=1时，f(x)=x在(0，+oo)上是减函数，不合题意.故选：B 第5页（共16页） 15.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两 人是否巾靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则() A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概举为0.42 C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】设甲中靶为事件A,乙中靶为事件B, 则P(A)=0.6,P(B)=0.7 则两人都中靶的概举为P(A)P(B)=0.7×0.6=0.42,故A错误： 两人都不中靶的概率为(1-P(A)(1-P(B)=0.3×0.4=0.12,故B错误： 恰有一人中靶的概率为 (1-P(A)×P(B)+P(A)1-P(B)月=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46，故C正确： 至少一人中靶的概率为1-0.3×0.4=0.88，故D错误. 故选：C. I6.对于数列{xn},若存在正数M,使得对一切正整数n,恒有|xnI≤M,则称数列{xn}有 界；若这样的正数M不存在，则称数列{x}无界，已知数列{an}满足：a,=1, an+1=lm(an+(a>0),记数列{a,}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为T,则下列 结论正确的是（) A.当元=1时，数列S}有界 B.当元=1时，数列{T}有界 C.当=2时，数列{Sn}有界 D.当元=2时，数列{Tn}有界 【答案】B 【解析】附于A.=1时，令y=x-x+),x>0,则y=1-1=x >0,.x>ln(x+l). x+1x+1 a=l,am=a,+0<a,<1,4,=b2> 2 1 下面证明：an>二： h 电x>0,xmx+D,mx+<x中11，r+0>1 x+1’x>0. 假设a,>,则a1=a,+>1-=,因此a,>成立 n a+1 n+1 第6页（共16页） 8>1宁兮…片数列无米因此A猫灵 n 时于B由a=,au=ma,+)<a,≤1.设)=x+03冫x∈0， 石，函政四在eO小上华调淡 (,=1 xe 气a1=mo,+D≤a+3化为：人-人1 0+1an3 11、 ,1、n-1 +1, anan an-an-1 an-2 44a13 53 2t22)2<9(1—-1) n+1n+21 g-t5-t…+-L)= 1 9 .In=G+G+.+a听< 2334 n+1n+2 9n+23 ∴数列T}有界，因此B正确： 对于CD.元=2时，an=1n(2an+1)，由a,=1，a2=lm3>1, 假设an≥l,则a1=ln(2an+1)≥ln3>1, 因此假设an≥1成立. 此时S。与T,都无界，因此CD不正确. 故选：B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”。 为了了解木次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样木进行统计将成绩进行 整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤≤100)，其中第1 组的频数的平方为第2组和第4组频数的积请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图 所示)解决下列问题： (1)求a,b的值： (2)从样本数据在80≤x<90,90≤x<100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6 名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于不同小组的概率： (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x,x2,x,,x。,已知这 第7页（共16页） 10个分数的平均数x=90,标准差5=6，若别除其中的95和85两个分数，求剩余8个分 数的平均数与方差， 频率 组距 0.040 0.016 0.008 5060708090100成绩（分） C答案】①)0=0.032，b=0.004:(2) ,(3)平均数90，方差38.75 【解析】(1)由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，0.162-0.8a,解得 a=0.032,又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1,解得b=0.004, 所以a=0.032,b=0.004. (2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a,b,c,d和A, B,则所有的抽样有：2={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,aC, ad,bc,bd,cd,共l5个样本点， A=“抽到的两位同学来自不同小组”， 则A={Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,共8个样本点， 所以P(0=5 8 (3)因为下.90，所以x+x2++x。=10×90=900, 所以s2=42++…+）-902=6 所以x2+x22+…+x02=81360 别除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为x，x2,x3,,x, 平均数与标准差分别为x。,S。, 则剩余8个分数的平均数：石=+3+…+5_900-95-8 2=90: 8 8 方差：=2+x2++x）-902-81360-952-85）-902=3875. 第8页（共16页） 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在四棱锥P-ABCD巾，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，点E 在线段PD上，PBII平面AEC. (1)证明：E为PD的中点 (2)若B=2,二面角C-AE-D的余弦值为}，求PA的长. 【答案】(1)见解析：(2)1 【解析】(1)证明：连接BD交AC于点O,连接EO, 因为底面ABCD为菱形，所以O为BD的中点， 又因为PBII平面AEC,PBc平面PBD,平面PBD∩平面CE=EO, 所以PBI/EO,所以E为PD的中点 (2)取BC中点F,连接AF. 在菱形ABCD巾，∠BAD=120°，所以∠ABC=60°，则△ABC为正三角形， 所以AF⊥BC,又AD/IBC,所以AF⊥AD 又因为PA⊥平面ABCD,如图建立空间直角坐标系A-z, 设A=0>0,则cw5.0,D0,20),P（0,0),E0l 则Ac=(5,10,P=0,0),E=0,1学， 则平而AED的一个法向量为m=(1,0,0). 设平面ACE的一个法向量为方=(x,y,z), 第9页（供16页） 则/1c AC=3x+y=0 则 n⊥AE i.AE=y+z=0 取i=(←5,3，-S, 因为二面角C-AE-D的余弦值为上 4 m 5 所以|cos<m,i>= 1mll V-+3+( 解得1=1（负值已舍去)， 所以PA=1. 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 记△ABC内0A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=b+2csim(A- 6 (1)求C: (2)若△ABC为锐角三角形，且外接圆直径为2N5,求2D+3C的取值范国 2b 【答类】1)写：2)（子5，号 【解析】(1)易得2a=b+2csin(A-Z)=b4V3 esin A-ccosA, 由正弦定理得2sinA=sinB+V5 sin AsinC-sin CcosA, sin B=sin(+C)=sin AcosC+sin Ccos, 故2sinA=√3 sin AsinC+sin AcosC, 易知sinA≠0， 故2=V3sinC+cosC=2sin(C+乃)， 即sin(C+)=l, 6 又：C∈(0，π)， c+2e区7马， 666 C+=z 62 解得C=号 (2)因外接圆直径为2√5， 第10页（共16页） 则由正弦定理可知，c b sinCsinB =25, 故=25sn8,c=25sin号-3， :△ABC是锐角三角形， 0<B< 2 0sA=2 T -B< 3 2 得<B< 6 sin Be(1), 则b=2v3sinB∈(N3,23), 2b2+3c2 .27 -=b+ ,be(5,2W5), 2b 2b 由对勾函数的性质可知，y=b+22在W5,25)上单调递诚， 2b 故26+3c的取值范围为5，号⑤) 2b 4 3 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 1如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我 国源远流长某些折纸活动蕴含半富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤 折纸： 步骤1：设圆心是F,,在圆内（除去圆心）取一点，标记为F,且|FF=2; 步骤2：把纸片折叠，使园周正好通过F: 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕： 步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕. 这些折痕围成一个图形，设F关于折痕的对称点为点。 (1)以FF,所在的直线为轴，FF的巾点O为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图 形C的标准方程： (2)过R的直线？交C于A,B两点，若△AB5,内切圆的半径为3Y5,求？的方程： 7 (3)设M是坐标平面上的动点，且线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的 轨迹为圆，并求该圆的方程 第11页（共16页） 答案D号+片2)x±y+1=0:3)g-+y0 【解析】(1)设QE与折痕的交点为N, 由题意可知WEI+|NF曰NQ1+|NF,HOF,仁4，IFF=2<4, 所以点N是以F,F,为椭圆的左、右焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为女+少 京+F=1a>6>0),则2a=4,2c=2, 所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3, 所以椭圆的标准方程为父+上 4+3 =1. (2)由题意可知，直线1不与x轴重合， 因为F(-1,0),故设1：x=y-1,A(xy),B(x2,y2） 联立 x=y-1 3x2+4y2=12' 得(3m2+4)y2-6y-9=0, 则△=144(m2+1)>0, 故片+y2 6m 9 3m+4'4=3m2+4' 则1y-y=0+%P-4y=V3m+4 ,6m+36=12m2+1 3m2+43m2+4 第12页（共16页） 故Ss=克FIy-为卡12Nm王 3m2+4 又△ABR内切圆的半径为3Y 7 2,且△ABE,的周长是4a=8, -x32x8125 所以5m=2X7 7 则2m+1122 十4=7，即18m-m-17=0,解得m=主 故直线1的方程为x±y+1=0. (3)证明：设M(xo,o), 当%=0时，FM的垂直平分线方程为x=名-， 2 此时52=2，七=5或-3，即M6,0政(-30： 当，≠0时，线段FM的中点为（西二1，为），直线FM的斜率为 2,2 x+1 则FM的垂直平分线方程为y=-名+出c +台++8 2y% 联立y=o+1x+哈-1 2y%· 3.x2+4y2=12 得B++1r_4++8-Dx++片-少-12=0， 因为线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故-16+(+8--4B+4+公+-少-121=0， 即3(G+片-少-36-48+D=0, 第13页（共16页） 则哈+(2x6-14)y+x0-18x6-32x。-15=0, 即+(2x-14)y+(x+1)2(x+3(x。-5)=0, 即哈+(2x6-14)y6+(x6+2x。+10(x6-2x。-15)=0, 即(0+x号+2x,+100y哈+x-2x-15)=0, 因为x++2x。+1=(x。+1)2+y>0, 所以x6+y8-2x。-15=0, 而(5,0)，(-3,0)也满足该式， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为x2+y2-2x-15=0, 即(x-102+y2=16. 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 已知函数y=f(x)的定义域为R,对于实数m>0,定义Sm={xx2+f(x)≤m2}. (1)设f(x)=2x-1,求S: (2)设f(x)=4x2+a,是否存在实数a,使得S是-个闭区间？若存在，求a的取值范围： 若不存在，请说明理由： (3)己知函数y=g(x)的定义域是(0，+o),函数偵恒正，导函数为y=g(x),且0<g'(x)<1 恒成立若对任意m>0,均有Sm=[-g(m)g(m)],求证：“函数y=fx)是R上的严格 增函数”当且仅当“{xf(x)≥0}=[0，+∞)” 【答案】(1)&=0，：(2)[-1，)：(3)见解析 【解析】(1)m=1时，解x2+(2x-1)2≤1， 即5x2-40,可得S=0,专： (2)即不等式x2+(4x2+)2≤1，即16x4+(8a+1)x2+a2-1≤0的解集是一个闭区间， 设1=x2∈[0，+∞)，不等式左侧记为p)=1612+(8a+1)1+a2-1, 因此p0)0有解，且解集[，2]满足1≤0<12， 第14页（共16页） 此时p(0)=a2-l≤0当p(0)<0时，可得a∈(-l,1): 当a=1时，解A0=16心+9re0,得1el20不符褪意， a=-1时，解p0)=16r2-71<0,得1e0,]符合题意， 16 综上，a的取值范围是[-1,1)： (3)证明：假设f(0)≠0，若m∈(0，f(00,则0gS,因此矛盾，故f(0)=0. ①若{xf(x)≥0=[0，+∞)，证明：函数y=f()是R上的严格增函数， 考虑引理：对任意x>0,当满足m2=x2+(x)时，x=g(m), 证明：已x∈Sm，x≤g(m),假设x<g(m), 设g(m)=x,，任取m。<m,m2=x2+f(x)>,则xES。 因为函数y=g(x)是严格增函数，所以g(m,)<g(m), 即x。=g(m)ESm，所以=g(m)>x>g(m, 由此g(m)-g(m)>x-x, 构造h(x)=g(x)-x,当m。>m-x,+x,则h(m)-h(m,)>x。-x-m+m,>0, 而h(x)=g'(x)-1<0,所以y=h(x)是严格减函数，h(m)-h(m)<0,矛盾， 所以x=g(m),引理得证. 回到原问题，任取x>x2>0,若x+f()=,x+(x2)=m, 两式相减可得(x)-2(x)=m-x-m+x好=(m-m2)m,+m2)-(化-x)x+x), 而g(m)=x,g(m2)=x3,又因为y=h(x)是严格减函数，则x-x3<g(m)-g(m2)<m,-m2, 由于m>x,m2>x2,所以f(x)-2(x2)>0,故f(x)>fx), 同理，可证函数y=f(x)在(-0,0)上为严格增函数，且fO)=0， 故函数y=∫(x)在R上为严格增函数，得证： ②若函数y=()是R上的严格增函数，证明：{xf(x)≥0=[0，+o), 因为函数y=∫(x)是R上的严格增函数且f(O)=0, 第15页（共16页） 当x<0时，f(x)<f(0):当x≥0时，f(x)f0): 因此{x/(x)≥0=[0，+∞)，得证， 综上，命题得证， 第16页（共16页）