上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高一下学期期中考试考数学试题

**基本信息** 聚焦高中数学期中考查需求，以现实情境为载体，通过分层设问考查抽象能力、推理意识与模型观念，凸显数学思维与实际应用的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数性质、立体几何、概率统计|结合科技数据情境设计问题，需构建数学模型分析，考查数据意识与逻辑推理|

2026年上师宝分高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1.设角a终边上一点P(-4a,3a)(a≠0)，则sina的值为一· 【解折)政- 2.若x1=牙，2=π是函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)两个相邻的零点，则ω的值 为一 【行】号 3.函数y=snal+2o+ae的值域为一 sina cosal tana 【解析】{4，-2,0} 4.已知tanatanB=2,cos(a-B)=3,则cos(a+B)= 【解析1-分 5.己知函数f)=cosx·sinx+V3cos2x-号，则函数f)在[-号周上的单调递 增区间为 【解析】 5n 12’12 6.设k∈R,向量d=(3,4),b=(飞，-1).若b在a方向上的数量投影为1，则 k= 【解析】3 7.在△ABC中，角AB,C所对的边分别为ab,c,且3a=2c,c0sB=号，则。 sinB 【解行号 8.把2sinx(V3sinx+cosx)-V3化为Asin(wx+p)(A>0,w>0,p∈[0,2m)的形 式： 【解折】2in(2x+受 9.若sin30-cos30≥cos0-sin8,0≤0<2π，则角0的取值范围是 【解析】 10.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得 AB=5km,AD=7km,∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD=11T,据以上条件可 求得两景点B与C之间的距离为km〔精确到O.1km). B 【解析】5.8 11.已知A(0,2),点P(sin(2t-),cos(2t-)是平面上一个动点，则当t由0 连续变到时，线段AP扫过的面积是 【解折】5-号 12.已知函数f(x)=v3sinx-cosx|,有以下命题： ①函数y=f(x)的最小正周期为π； ②函数y=f()在[-上为增函数： ③直线x=是函数y=f()图像的一条对称轴； ④函数y=f(x)-1在[0，π上有三个零点： ⑤函数y=f(x)的最小值为-1. 请写出正确命题的全部序号 【解析】①③⑤ 二、选择题 13.如果0是第一象限角，则() A.sin28>0且tan28>0 B.sin号>0且tan20>0 Csin20>0且tang>0 D.sing>0且tang>0 【解析】C 14.在平行四边形ABCD中，B正=BC,A正=A正.若A正=mDF+nA正，则m+n= 〔) A月 B D. 【解析】D 15.函数y=sin(2x+p)的图像向左平移g个单位长度后与函数y=cos(2x+)的 图像重合，则I的最小值为() A B号 c D. 【解析】C 16.己知0是△ABC内一点，且0A+0B+0C=⑦，点M在△0BC内（不含边 界)，若AM=AB+AC,则+2μ的取值范围是() A.(（1,月)B.G,1c.(f,1D.(1,2) 【解析】 因为0是△ABC内一点，且OA+OB+OC=O,所以0为△ABC的重心 又点M在△OBC内，所以当点M与点0重合时，1+2μ最小，此时AM=AB+AC= ×(E+AC]=AB+C,所以=号μ=号即入+2μ=1. 当M与C重合时，1+2μ最大，此时AM=AC,所以1=0，u=1,即1+2μ=2， 因为M在△OBC内且不含边界，所以取开区间，即λ+2μ∈(1,2). 3 三、解答题 17、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知@=3，=4，a-=3. 〔1)求a,: 〔2)求反+2的值. 【解析】 (2)√97 18、〔木题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知f(x)=2 cosxsin(x+)-V3sin2x+sinxcosx. (1)求函数f(x)的单调递增区间： 2)若x∈(-)，求y=f)的值域。 【解析】 (1)f(x)=2cosxsin(x+-/sinx+sinxcosx, -2cosx(sinx+cosx)-V3sinx+sinxcosx, sinx cosx V3 cos2x-V3 sin2x+sinxcosx, sin2x+3c0s2x=2si(+) 令2km-≤2x+号s2km+号kez,解得，km-晋≤x≤km+后 放函数f)的单调递增区间km-%,km+引，k∈Z。 2xE(-司)-君<2x+<号 3 -3<sin(2x+9≤1， -1<f(x)≤2，即函数的值域(-1,2]。 19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y(m)关于时间t(min)的函数表达式为： y=Asin(ωt+p)+b,(A>0,w>O,lpl≤π).已知摩天轮的半径为30m,其中心 点0距地面40，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位 置在摩天轮的最低点处 〔1)根据条件具体写出y关于t的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过 55m? 【解析】 〔1)根据中心点0距地面40m,可得b=40, 由摩天轮的半径为30m,即A=30,周期T=12,可得红=12，解得 ω=，因为摩天轮最低点到地面距离为10m,所以f(0)=30sin9+40=10, 解得sinp=-1,结合p∈-兀，π，可得p= 所以y关于t的函数表达式为y=30sin(t-+40,t>0; 2)设y>55,则30sin(t-到+40>55，解得sin(t-到)> π5π 结合正弦函数的图象与性质，可得+2kπ<t-z<。+2kπ(k∈Z), 解得4+12k<t<8+12k(k∈Z),取k=0,可得4<t<8, 根据8-4=4，可知：在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过55m的时间为4 分钟. 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心.过点G的直线I与线段AB交于 点D,与线段AC交于点E.设AD=AB,AE=AC·(≠O,u≠O) (1)求+的值： 5 (2)设△ADE的周长为C,△ABC的周长为C2,设t=,记的表达式为f(t), C2 求f(t); (3)在(2)的条件下，设g(t)=f(t)-t,求g(t)的取值范围， D 【解析】 (1)连接AG并延长，交BC于点F,则F为BC中点， 所以AF=AB+AC),又G为△ABC的重心， 所以AG=亦=子·(AB+AG=A而+A=员Ad+A正 3μ 又D,G,B三点共线所以员+品=1，即+=3： (2)设△ABC的边长为1，则AD=元，AE=H 在△ADE中，DE2=AD2+AE2-2 AD X AE X c0S60°=λ2+2-14， 所以DE=√2+2-4，所以9=A0+AB+DE=+2+2-应 C2 3 3 因为号+=3→1+u=3,2+2=0+2-2=9002-2, 所以=y+2--3+9-3 3 3 因为t=所以f间==t+P-月 3 3)9=f回-t=2- 因为0<1≤1,0<μ≤1，所以之1之1 义3-≤21≤≤2， 因为私=点以品方 1 6 因为1≤≤2，所以=时，的最小值当=1或2时，μ的最大值为： 所以t=e[后引，所以2-e[奇， 所以9因=、2-e,. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数 与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：sinh()=兮，双曲余弦函数：cosh()= g.e是自然对数的底数，e=271828) (1)计算cosh(2)-2cosh2(1)的值： (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：cosh(x+y)=一，并加 以证明： (3)若对任意t的[0，ln2,关于x的方程sinh(t)+cosh(x)=a有解，求实数a的 取值范围。 【解析】 (1)根据题意，cosh()=产+ 2 则cosh(2)-2cosr④=g2-2("gP=g-2=-1. 2 2 2 (2)证明：cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y) =(ex+ex)(e+e-)+(e*-e-)(ey-e-) exty+e-x-y cosh(x+y). cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y); (3)'t∈[0，ln2],·1≤e≤2， a=sinh(t)+cosh()= 2 2 所以a-g-g≥ee=1, 2 当且仅当x=0时，等号成立，则a≥+1恒成立， 因为函数y=e,y=-e-t均是[0，ln2]上的增函数， 故函数g回=+1在[0，ln2]上为增函数 所以，a≥9dmax=g(n2)=子故实数a的取值范围为匠，+∞)， 82026年上师宝分高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1.设角a终边上一点P(-4a,3a)(a≠0)，则sinc的值为 2.若为，=，为2=π是函数fx)=sin(ox-)(@>0)两个相邻的零点，则ω的值 为一 3.函数y=++e的值域为 sina cosal tana 4.已知tanatanB=2,cos(a-B)=3，则cos(a+B)=一 5.已知函数f)=cosx·sinx+V3cos2x-号，则函数f()在[到上的单调递 增区间为 6.设k∈R,向量d=(3,4),b=(k-1).若b在a方向上的数量投影为1，则 k=一 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a=2c,c0sB=号，则= sinB 8.把2sinx(V3sinx+cosx)-V3化为Asin(wx+p)(A>0,ω>0，p∈[0,2π)的形 式： 9.若sin30-cos30≥cos8-sin8,0≤0<2π，则角0的取值范围是 10.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得 AB=5km,AD=7km,∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD=11T,据以上条件可 求得两景点B与C之间的距离为km(精确到O.1km). 11.已知A(0,2),点p(sin(2t-),cos(2t-)是平面上一个动点，则当t由0 连续变到时，线段AP扫过的面积是 12.己知函数f(x)=V3 sinx-lcosxl,有以下命题： ①函数y=f(x)的最小正周期为π： ②函数y=f()在【上为增函数： ③直线x=是函数y=f()图像的一条对称轴； ④函数y=f(x)-1在[0，π上有三个零点： ⑤函数y=f(x)的最小值为1. 请写出正确命题的全部序号一 二、选择题 13.如果0是第一象限角，则() A.sin28>0且tan20>0 B.sin号>0且tan28>0 C.sin28>0且tan>0 D.sin号>0且tang>0 14.在平行四边形ABCD中，BE=BC,AF=A正.若A丽=mDF+nA正，则m+n= 〔) A月 B ci D 15.函数y=sin(2x+p)的图像向左平移：个单位长度后与函数y=cos(2x+)的 图像重合，则Ip的最小值为() A B c D,8 16.己知0是△ABC内一点，且0A+OB+OC=0,点M在△0BC内（不含边 界)，若AM=AB+uAC,则1+2μ的取值范围是() A(1,习B.,1）c61D.(1,2) 三、解答题 17、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知=3,6=4，a-=V13 (1)求，b: (2)求a+2的值， 18、(本题满分14分)木题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知f()=2 cosxsin(x+)-V3sin2x+sinxcosx. (1)求函数f(x)的单调递增区问： (2)若xe(-),求y=f()的值域。 19、(本题满分14分)本趣共有2个小题，第1小趣满分7分，第2小题满分7分 如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y(m)关于时间t(min)的函数表达式为： y=Asin(wt+p)+b,(A>0,ω>0，lpl≤π).已知摩天轮的半径为30m,其中心 点0距地而40m,摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位 置在摩天轮的最低点处， (1)根据条件具体写出y关于t的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面超过 55m？ 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心.过点G的直线I与线段AB交于 点D,与线段AC交于点E.设AD=AB,AE=AC·(1≠O,H≠0) (1)求+的值： (2②)设△ADE的周长为C,△ABC的周长为C2,设t=,记号的表达式为f(因， 求f(t): (3)在(2)的条件下，设g(t)=f(t)-t,求g(t)的取值范围， 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数 与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：sinh()=,双曲余弦函数：cosh()= 号.(e是自然对数的底数e=2.71828 〔1)计算cosh(2)-2cosh2(1)的值： 〔2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：cosh(x+y)=,并加 以证明： (3)若对任意t的[0，ln2,关于x的方程sinh(t)+cosh(x)=a有解，求实数a的 取值范围.