椭圆的离心率、焦点三角形、参数范围与最值问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

椭圆的离心率问题、焦点三角形问题、参数范围与最值问题专项训练 椭圆的离心率问题、焦点三角形问题、参数范围与最值问题专项训练 考点目录 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 椭圆的参数范围与最值问题 考点一 椭圆的离心率问题 例1．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·江西·月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 例5．（2026·江西·一模）已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率___________ 例6．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 变式1．（2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东广州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·安徽淮北·月考）已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，为坐标原点，是椭圆上一点，过点向外角的平分线作垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为___________. 变式5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______. 变式6．（25-26高二上·广东深圳·月考）已知椭圆，直线过坐标原点并交椭圆于，两点（P在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为_________． 考点二 椭圆的焦点三角形问题 例1．（2026·四川广安·二模·多选）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）已知椭圆的两个焦点为，P为C上不与共线的点，则下列选项正确的是（   ） A．椭圆C的焦距为1 B．的周长为8 C．的最小值为2 D．椭圆C上不存在点P，使得 例3．（2026·湖南邵阳·二模·多选）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（   ） A．的周长为8 B． C．的最小值为 D．存在直线，使得 变式1．（2026·河北邢台·一模·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，H是C上异于左、右顶点的点，则（   ） A．的周长为12 B．存在点H，使得 C．当内切圆的半径为时， D．当直线l被C所截得线段AB的中点是时，直线l的方程为 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模·多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 变式3．（25-26高二上·四川宜宾·期末·多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．若，则的面积为 考点三 椭圆的参数范围与最值问题 例1．（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 例2．（2026·宁夏·一模）已知椭圆：（）的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； 例3．（2026·青海西宁·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． (1)求C的方程； (2)已知M，N是直线上的两点，且满足，记直线，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线的距离的最大值． 变式1．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：直线恒过定点； (2)求面积的取值范围． 变式2．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． (1)求的方程； (2)若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； (3)求的最小值． 变式3．（2026·四川雅安·二模）已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆的离心率问题、焦点三角形问题、参数范围与最值问题专项训练 椭圆的离心率问题、焦点三角形问题、参数范围与最值问题专项训练 考点目录 椭圆的离心率问题 椭圆的焦点三角形问题 椭圆的参数范围与最值问题 考点一 椭圆的离心率问题 例1．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线斜率为，得， 由在上的射影点恰为的中点，得，为等边三角形， 由对称性，得为椭圆的上顶点，则， 所以椭圆的离心率为. 例2．（25-26高三下·江西·月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线与椭圆联立，得到坐标，根据为锐角三角形，写出向量关系，即可求解. 【详解】不妨假设在第一象限，设，由得 ，，， 易知恒为锐角， 则 得. 例3．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解三角形求得点的坐标，代入方程求出，进而可求离心率. 【详解】因为，所以点在轴左侧， 如图，作轴，垂足为．由，得， 所以，即， 则，， 所以，即，则，则点的坐标为或， 结合，将代入到椭圆方程有， 解得，则，则. 例4．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 【答案】 【分析】由题意得，结合已知通径长及得，进而有，根据离心率公式即可得. 【详解】由题意， 在中，令，可得，所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则， 其中，所以，则， 所以，则. 例5．（2026·江西·一模）已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率___________ 【答案】 【分析】利用三角形中位线的性质得到，利用椭圆的定义得到，利用离心率的公式得解. 【详解】如图：延长交直线于．由题可知， 则，， 因为，，所以，则. 故答案为：. 例6．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 变式1．（2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，记的中点为点M，则的中点也为点M，如下图： 显然直线的斜率一定存在，设直线，，， 则，，于是， 则，，， 由，，两式相减可得， 即，得. 又，所以E为的中点，则，可得. 又因为，即， 所以，可得，即 解得离心率. 变式2．（2026·广东广州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，， 在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 变式3．（25-26高三下·安徽淮北·月考）已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的顶点为， 依题意，椭圆的焦点为， 则椭圆的半焦距为，半短轴长为， 因，则椭圆的离心率为． 变式4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，为坐标原点，是椭圆上一点，过点向外角的平分线作垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】设与交于点，进而根据椭圆的定义得，再根据是的中位线得，，求出即可求得离心率. 【详解】设与交于点， 由题意，平分，则，是中点， ， 而是中点，故是的中位线，， 因为，焦距为 所以，，即， 所以， 故答案为： 变式5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用椭圆与双曲线的性质、以及余弦定理，求得，得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值，即可得到答案. 【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 故答案为：1. 变式6．（25-26高二上·广东深圳·月考）已知椭圆，直线过坐标原点并交椭圆于，两点（P在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【分析】设，则由直线恰好是以为直径的圆的切线，可得，再利用点差的方法可得，即得，从而可得的关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】依题意，设， 直线的斜率一定存在，分别为， 直线恰好是以为直径的圆的切线，则，则， 则，∴， ∵，两式相减得， ∴，即， ∴，∴，∴， ∴椭圆的离心率， 故答案为：. 考点二 椭圆的焦点三角形问题 例1．（2026·四川广安·二模·多选）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【分析】由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项. 【详解】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）已知椭圆的两个焦点为，P为C上不与共线的点，则下列选项正确的是（   ） A．椭圆C的焦距为1 B．的周长为8 C．的最小值为2 D．椭圆C上不存在点P，使得 【答案】BD 【详解】解法1：由椭圆方程可知，则，焦距，故A错误； ，则的周长为，故B正确； 若P为椭圆上任意点，则，即， 当P为椭圆长轴端点时取等号，但P为C上不与共线的点，所以等号不成立，故C错误； 椭圆的焦点三角形中，当点P为椭圆短轴端点时，最大，取，此时， 在中，由余弦定理得，所以椭圆C上不存在点P，使得，故D正确． 对CD，解法2：设，，，，因为P在椭圆C上，所以， 则，故C错误； 若，则点P在以为直径的圆上，联立， 消去得：，无实数解，所以椭圆C上不存在点P，使得，故D正确. 对CD，解法3：设，，则，故C错误； 若，则，即， 展开得：，则，无实数解，所以椭圆C上不存在点P，使得，故D正确． 例3．（2026·湖南邵阳·二模·多选）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（   ） A．的周长为8 B． C．的最小值为 D．存在直线，使得 【答案】ABD 【分析】由椭圆的定义即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据椭圆弦长公式即可判断C；根据的最大角即可判断D． 【详解】A，根据椭圆的定义，， 所以的周长为，故A正确； B，根据基本不等式，，当且仅当时等号成立，故B正确； C，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立得，， ，， ， 当时，最小为1，故C错误； D，当直线过短轴顶点时，最大， 此时，即最大为， 所以存在直线，使得，故D正确． 变式1．（2026·河北邢台·一模·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，H是C上异于左、右顶点的点，则（   ） A．的周长为12 B．存在点H，使得 C．当内切圆的半径为时， D．当直线l被C所截得线段AB的中点是时，直线l的方程为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可判断A，由，得到在以 为直径的圆上，联立椭圆方程求解即可判断B，由三角形面积公式（三角形周长），确定坐标，进而由向量数量积的坐标表示可判断C，由点差法可判断D. 【详解】 由已知椭圆 ，得 ， 左右焦点 ， 由椭圆的定义得 ，， A，的周长为 ，故A正确 B，若 ，则 在以 为直径的圆上， 联立圆与椭圆方程： ，消去 得： ，无解， 不存在这样的点 ，故B错误； C，设内切圆半径为，又的周长为12， 又三角形的面积（三角形周长），所以 ， 又 ，得 ， 则， 代入 ，得 ，C正确 D，设 ，则​， 两式相减得 ， 又点 ，故 ， 斜率 ， 直线方程：整理得 ， 经验证符合题意，D正确. 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模·多选）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且， 则的周长是，故A正确； 对于B，由椭圆的定义得，， 由余弦定理得，， 则，即，则， 所以的面积为，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为. 联立，得， 点在椭圆上，， ，即， ， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点， 则椭圆上的一点处的切线方程为. 设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为， 令，得，令，得，即， 又，则， 即，当且仅当时等号成立， 则面积为， 即的面积的最小值为，故D正确. 变式3．（25-26高二上·四川宜宾·期末·多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】对A、B和C，利用椭圆的定义、性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可求解. 【详解】A，由题知，则的周长为，故A正确； B，因为椭圆的离心率为，故B错误， C，易知，即，当且仅当为椭圆长轴顶点时取等号，所以C正确， D，在中，由余弦定理得， 所以，得到， 所以的面积为，故D正确. 考点三 椭圆的参数范围与最值问题 例1．（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据已知列方程组求得即可求出椭圆的方程； （2）①直线与圆相切得到，再利用直线与椭圆相交利用韦达定理得到即可求证； ②利用结合①可得答案. 【详解】（1）依题意，解得， ∴椭圆的方程为． （2）①∵直线与相切， ∴，即． 联立消去得， 设，则， 所以 ， ∴． ②直线与椭圆交于不同的两点，∴， ∴， 由①知，∴，即， ∴，又，∴的取值范围为． 例2．（2026·宁夏·一模）已知椭圆：（）的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定条件联立方程组，求出即可； （2）由（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积即可求解. 【详解】（1）依题意可得，解得：，所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令， 则，当且仅当，即， 也就是时等号成立，此时的面积达到最大值为. 例3．（2026·青海西宁·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． (1)求C的方程； (2)已知M，N是直线上的两点，且满足，记直线，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意列方程，求解，即可得到椭圆方程； （2）（i）利用斜率公式及两直线垂直的条件化简即可求解； （ii）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合，进而得出直线过定点，当直线的斜率不存在时，求出直线，与椭圆的方程联立，得出坐标，得出直线过定点即可求解. 【详解】（1）由题意知 解得，，， 所以C的方程是． （2）（i）由题意知，设，，因为， 所以，即， 所以． （ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得， 所以，，， 所以，整理得， 所以，整理得， 所以或． 当时，直线的方程为，过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，过定点． 当直线斜率不存在时，，，，直线的方程是与椭圆方程联立得， 同理得，此时直线的方程是，过定点． 综上，直线过定点，该定点坐标是， 当时，点B到直线的距离取得最大值，最大值为. 变式1．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：直线恒过定点； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将椭圆与直线方程联立可得，，直线的方程为：，继而求出，结合韦达定理求证即可； （2）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）设，依题意，得， ，，， 所以，即得直线的方程为：① 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上，所以令代入①， 可得，由（*）得， 所以，得， 所以直线恒过定点． （2）由（1）可知直线恒过定点， 所以， 将代入得， 设，则． 因为，所以，所以． 变式2．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． (1)求的方程； (2)若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据长轴长及离心率求出，，进而求出，即可得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程求出点，坐标，联立直线与椭圆方程求出点，坐标，利用两点式求出直线，方程，联立求解即可. （3）设出点，，及直线方程，利用三点共线得到，联立直线与椭圆方程，得到及，得到点所在直线，结合点关于直线对称求解最小值即可. 【详解】（1）设的半焦距为． 由题可得，解得， 所以的方程为． （2）由题意得的方程为，即， 联立，整理得，即， 解得或． 将和分别代入的方程，可得和， 又点在点的上方，所以，． 由题意得的方程为， 将代入的方程，可得，解得， 又在第二象限，可得，． 所以直线：，直线：， 联立直线，的方程，可得， 故点的坐标为． （3），，，的斜率为，则其方程为． 由，，三点共线可得， 因此， 同理，可得， 故． 令，则，，即， 与的方程联立，可得，， 则，， 所以， 所以，即， 化简得， 代入，可得点在直线：上． 作点关于的对称点，则，当且仅当为与的交点时等号成立． 设，由对称及垂直关系可得，解得，即， 于是， 故的最小值为． 变式3．（2026·四川雅安·二模）已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据椭圆过的点，代入方程求出即可得解； （2）设，利用三角形面积比求出即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，由斜率公式及韦达定理化简即可得出，据此求出范围. 【详解】（1）将点和点代入（）得， 解得，，所以的方程为． （2）由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． （3）设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $