2024年高考数学抛物线知识点总结+大题跟踪训练

2024年高考数学抛物线知识点总结+大题跟踪训练 知识点总结 定义 平面内与一定点和一条定直线( 不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 图形 标准方程 顶点 离心率 对称轴 轴 轴 范围 焦点 准线方程 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 参数的几何意义 参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔 跟踪训练 1．已知直线与抛物线交于两点，． （1）求； （2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值． 2．设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，. （1）求的方程； （2）过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点. 3．已知抛物线的焦点为. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积. 4．已知抛物线的焦点为，是上的动点，点不在上，且的最小值为2． （1）求C的方程； （2）若直线AP与C交于另一点B，与直线l交于点Q，设，且，求直线l的方程． 5．已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. （1）求抛物线的方程； （2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 6．已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、． （1）求抛物线的方程； （2）设直线、、的斜率分别为、、，求证：． 7．已知抛物线. （1）直线与交于A、B两点，O为坐标原点. 从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分. ①证明：. ②若，求的值； （2）已知点，直线与交于C、D两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由. 8．设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ． （1）求C的方程： （2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB的方程． 9．已知抛物线，点在抛物线上. （1）求抛物线的准线方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值. 10．如图，曲线是以原点为中心、，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，. （1）求曲线和的方程； （2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于，，，四点，若为中点，为中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 答案解析部分 1．【答案】（1）由题意可设，， 联立，消y整理得：，其中， 解得或， ，， ，解得或（舍去）， ∴． （2）由(1)得，C： ，，如图， 设：，，， 直线与x轴交点为， 联立，消y整理得，， ∴，，， ，，， ， 化简得 代入上式整理得，即 解得或 则 ， 当且仅当时，即m=0时，取得最小值. 2．【答案】（1）解：当l的斜率为时，设直线的方程为， 与的方程联立消去，得， 当与相切时，，整理有， 此时或（舍去）. 故， 所以， 故 所以的方程为. （2）证明：设直线的方程为， 与的方程联立，得， 当与相切时，，则，故， 设直线的方程为，与的方程联立有， 设，则 ， 所以， 所以，所以的方程为 令，则， 所以，所以直线过定点. 3．【答案】（1）解：由已知可得，解得， ∴拋物线的方程为； （2）解：如图所示： 设，，， 若轴，由得，，或，， 此时不满足，∴不满足题意； 设直线的方程为，直线的方程为， 将代入抛物线方程得，， ∴， . 将代入抛物线方程得，∴①. 直线的斜率为，同理直线的斜率为. ∵，∴， ∴，即②. 由①②解得，将其代入①可得， 解得或， 当时，直线的方程为，，. ∵，满足，∴， . ∴， ∴. 同理可得，当时，直线的方程为，，， ∵，满足，∴， . ∴， ∴， ∴的面积为32. 4．【答案】（1）解：当P在C的内部时，因为等于点A到准线的距离， 所以的最小值为P到准线的距离，可得，解得； 当P在C的外部时，， 解得，则C的方程为，此时P在C的内部，所以， 故抛物线C的方程为． （2）解：依题意可知，直线AP的斜率不为0，则可设， 联立方程组，可得， 设，则， 设，由，可得， 又由由，可得， 所以， 即，即， 所以，即， 因为点Q在直线AP上，所以． 消去m得，即， 故直线l的方程为． 5．【答案】（1）解：设点，由已知，则，即. 因为，则，所以抛物线的方程是. （