10.1-10.2·复数【知识梳理+7个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【10.1-10.2·复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的有关概念】 【练方法】 知识梳理 1复数的定义：形如（）的数其中为实部记为为虚部记为为虚数单位且 2分类： 实数：时 虚数：时 纯虚数：且时 3共轭复数：实部相等虚部互为相反数 4复数相等：且 5复数的模： 解题方法 1纯虚数判断：实部为0且虚部不为0列方程组求解参数 2复数相等：利用实部和虚部分别相等列方程求解 3共轭复数：直接交换虚部符号即可注意虚部的符号 （25-26高一下·新疆喀什·期中）若实数满足，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）经典例题2例题 A． B．2 C． D． （25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________.小试牛刀1 （25-26高一下·江苏徐州·期中）已知复数，则的虚部为（    ）小试牛刀2 A．-1 B．1 C． D．0 （25-26高一下·山东青岛·月考）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ）小试牛刀3 A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 【题型2：复数的加减乘除混合运算】 【练方法】 常考公式 1加减运算： 2乘法运算：注意 3除法运算：分母实数化分子分母同乘分母的共轭复数 4虚数单位的幂：周期为4 解题方法 1加减运算：实部与实部合并虚部与虚部合并 2乘法运算：按多项式乘法展开再合并同类项注意 3除法运算：先分母实数化再分别计算分子和分母分母变为实数 4高次幂运算：利用的周期性将指数除以4取余数计算 （2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______.经典例题1例题 （2026·甘肃金昌·三模）设复数z满足，则（    ）经典例题2例题 A． B．i C． D．1 （2026·陕西榆林·三模）已知复数满足，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知，，是虚数单位，若，则______.小试牛刀2 （山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题）___________．小试牛刀3 【题型3：复数对应点的象限】 【练方法】 知识梳理 1复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应 2各象限条件： 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 实轴上： 虚轴上：且 解题方法 1求复数的实部和虚部：将复数化为的形式 2根据实部和虚部的符号判断点所在的象限 3易错点：注意纯虚数的点在虚轴上不属于任何象限 （25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （25-26高一下·安徽合肥·期中）已知复数，其中为虚数单位．经典例题2例题 (1)若为纯虚数，求复数； (2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． （25-26高一下·河北保定·期中）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件?小试牛刀1 (1)在虚轴上； (2)位于第四象限. （2026·安徽淮南·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （25-26高一下·天津红桥·期中）已知复数，i是虚数单位，根据下列条件求实数m的值.小试牛刀3 (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【题型4：求复数的模长】 【练方法】 常考公式 1基本公式：其中 2运算性质： （） 解题方法 1直接公式法：将复数化为的形式代入计算 2性质法：利用复数模的运算性质简化计算如乘积的模等于模的乘积 3共轭复数法：利用求复数与其共轭复数的乘积再开方 （25-26高一下·安徽安庆·月考）已知复数，.经典例题1例题 (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. （山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题）已知复数在复平面上对应的点分别为．为坐标原点，是虚数单位．经典例题2例题 (1)若是关于的方程的一个根，求出该方程的另一个复数根； (2)计算和； (3)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． （25-26高一下·上海·期中）已知复数（，是虚数单位）小试牛刀1 (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值． （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知复数（为虚数单位）.小试牛刀2 (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值. （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数z＝a＋bi（a，bR）满足．小试牛刀3 (1)求复数z； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【题型5：一元二次方程的复数根】 【练方法】 知识梳理 1判别式：一元二次方程判别式 2根的情况： ：两个不相等的实数根 ：两个相等的实数根 ：两个共轭的复数根 3韦达定理：复数根也满足 解题方法 1判别式法：先计算判别式判断根的类型实数根或复数根 2求根公式：复数根直接用计算 3韦达定理：利用根与系数的关系解决根的和差积问题 4易错点：复数根是共轭的实部相同虚部互为相反数 （25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.经典例题2例题 （25-26高一下·上海青浦·期中）若复数和复数满足，，，则________.小试牛刀1 （24-25高二下·上海静安·月考）若，则______．小试牛刀2 （2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ）小试牛刀3 A．1 B． C． D．2 【题型6：复数的模长及对应的轨迹问题】 【练方法】 知识梳理 1复数的几何意义：复数对应复平面内的点模 2常见轨迹： ：以原点为圆心为半径的圆 ：以对应的点为圆心为半径的圆 ：线段的垂直平分线 ：椭圆 ：双曲线 解题方法 1转化为直角坐标：设将模的条件转化为关于的方程 2几何法：利用复数模的几何意义直接判断轨迹形状 3常见轨迹结论：直接套用常见轨迹的条件快速判断 （25-26高二下·河北承德·月考）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________．经典例题1例题 （25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．经典例题2例题 （25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ）小试牛刀1 A．[4，6] B． C． D． （25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________．小试牛刀2 （25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________．小试牛刀3 【题型7：复数的综合题型】 【练方法】 知识梳理 1综合考点：复数的概念运算几何意义模轨迹的综合应用 2常见模型：复数的混合运算模的最值轨迹问题方程根的问题 3核心思路：将复数问题转化为代数运算或平面几何问题 解题方法 1代数法：将复数化为的形式转化为实数的运算 2几何法：利用复数的几何意义转化为平面几何问题如距离轨迹 3性质法：利用复数模共轭复数的运算性质简化计算 4易错点：注意虚数单位的幂次运算以及复数相等的条件 （山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C．若，则 D．若，则 （25-26高一下·重庆·期中）（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则为实数 D． （25-26高一下·宁夏·期中）（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B．复数的模为 C．复数的共轭复数 D．已知复数满足， 则的最小值为 （25-26高一下·江苏淮安·期中）（多选）若复数，则下列选项正确的有（    ）小试牛刀2 A． B．z的共轭复数为 C．为虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 （25-26高一下·云南德宏·期中）（多选）下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·河南·期中）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（25-26高一下·重庆·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川泸州·模拟预测）在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 7．（25-26高一下·广东广州·期中）已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 二、多选题 8．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内所对应的点位于第二象限 D． 9．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知复数，则下列说法正确的有（    ） A．的虚部为 B． C． D． 10．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 11．（25-26高一下·广东深圳·期中）设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第三象限 B．若复数，则z的虚部为 C．若，则的最大值为2 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高一下·上海·期中）已知是虚数单位，则__________. 13．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z在复平面上对应的向量，则______． 14．（25-26高一下·天津和平·期中）已知复数满足，则______． 15．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数，，则__________． 16．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 四、解答题 17．（25-26高一下·重庆·期中）复数满足：且是实数． (1)求； (2)若不是纯虚数．且在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 18．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知复数.为虚数单位. (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【10.1-10.2·复数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的有关概念】 【练方法】 知识梳理 1复数的定义：形如（）的数其中为实部记为为虚部记为为虚数单位且 2分类： 实数：时 虚数：时 纯虚数：且时 3共轭复数：实部相等虚部互为相反数 4复数相等：且 5复数的模： 解题方法 1纯虚数判断：实部为0且虚部不为0列方程组求解参数 2复数相等：利用实部和虚部分别相等列方程求解 3共轭复数：直接交换虚部符号即可注意虚部的符号 （25-26高一下·新疆喀什·期中）若实数满足，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，解得 （25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）经典例题2例题 A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：的共轭复数 ， 所以的虚部为. （25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________.小试牛刀1 【答案】0 【详解】因为为实数，且复数是纯虚数， 所以，且，解得（舍去）. （25-26高一下·江苏徐州·期中）已知复数，则的虚部为（    ）小试牛刀2 A．-1 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】解题的关键在于先根据i的幂次规律化简，最后根据虚部的定义确定的虚部. 【详解】，故，故，虚部为0. （25-26高一下·山东青岛·月考）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ）小试牛刀3 A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 【答案】C 【详解】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则 若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确； 对于D，由题意，解得，故D错误. 【题型2：复数的加减乘除混合运算】 【练方法】 常考公式 1加减运算： 2乘法运算：注意 3除法运算：分母实数化分子分母同乘分母的共轭复数 4虚数单位的幂：周期为4 解题方法 1加减运算：实部与实部合并虚部与虚部合并 2乘法运算：按多项式乘法展开再合并同类项注意 3除法运算：先分母实数化再分别计算分子和分母分母变为实数 4高次幂运算：利用的周期性将指数除以4取余数计算 （2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______.经典例题1例题 【答案】 【详解】由可得， 则， 故的虚部为. （2026·甘肃金昌·三模）设复数z满足，则（    ）经典例题2例题 A． B．i C． D．1 【答案】D 【详解】因为， 所以． （2026·陕西榆林·三模）已知复数满足，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法及共轭复数求解即可. 【详解】由， 得， 所以． （25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知，，是虚数单位，若，则______.小试牛刀2 【答案】 【详解】若，则， 即， 所以，解得. 所以. （山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题）___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】先通过分母实数化对复数分式进行化简，将原式化为最简虚数单位 i，再利用虚数 i 的幂的周期性质，对高次指数作除以 4 取余数降幂运算，即可求出式子的值. 【详解】因为 所以. 【题型3：复数对应点的象限】 【练方法】 知识梳理 1复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应 2各象限条件： 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 实轴上： 虚轴上：且 解题方法 1求复数的实部和虚部：将复数化为的形式 2根据实部和虚部的符号判断点所在的象限 3易错点：注意纯虚数的点在虚轴上不属于任何象限 （25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的模的公式结合可求出的取值范围，确定复数实部和虚部的符号，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】由，则，得， 复数化简得， 由可得，， 则复数对应的点在第三象限. （25-26高一下·安徽合肥·期中）已知复数，其中为虚数单位．经典例题2例题 (1)若为纯虚数，求复数； (2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念建立关于的方程组，解之即可求解； （2）根据复数的几何意义建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）若为纯虚数， 则，解得， 所以. （2）， 在复平面内所对应的点为，位于第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. （25-26高一下·河北保定·期中）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件?小试牛刀1 (1)在虚轴上； (2)位于第四象限. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据复数与复平面内点的对应关系建立关于的方程并求解； （2）根据复平面内第四象限的点的实部大于0，虚部小于0，需列出不等式组并求解. 【详解】（1）因为复数在复平面内对应点在虚轴上， 则有，解得或，所以或时， 复平面内表示复数的点在虚轴上. （2）复平面内，复数对应的点为， 依题意， 即，解得或， 所以当或时，复数对应的点位于第四象限. （2026·安徽淮南·二模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先对复数进行化简，将分母实数化，得到复数的代数形式，再根据实部和虚部的正负确定对应点所在象限即可. 【详解】因为， 所以复数 在复平面内对应的点为 ， 因为点 的横坐标为正、纵坐标为负，因此位于第四象限. （25-26高一下·天津红桥·期中）已知复数，i是虚数单位，根据下列条件求实数m的值.小试牛刀3 (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)2或3 (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数时，虚部为0的性质，列出方程，求出参数值； （2）根据复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0的性质，列出方程组，求出参数值； （3）根据复数对应的点在第三象限，实部虚部为负的性质，列出不等式组，求出参数范围； 【详解】（1）由题意可知复数为实数，即，解得或. （2）由题意可知复数为纯虚数， 则，解得. （3）当在复平面内对应的点在第三象限，则，解得， 即实数m的取值范围为. 【题型4：求复数的模长】 【练方法】 常考公式 1基本公式：其中 2运算性质： （） 解题方法 1直接公式法：将复数化为的形式代入计算 2性质法：利用复数模的运算性质简化计算如乘积的模等于模的乘积 3共轭复数法：利用求复数与其共轭复数的乘积再开方 （25-26高一下·安徽安庆·月考）已知复数，.经典例题1例题 (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. （山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题）已知复数在复平面上对应的点分别为．为坐标原点，是虚数单位．经典例题2例题 (1)若是关于的方程的一个根，求出该方程的另一个复数根； (2)计算和； (3)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2)，. (3)． 【分析】（1）由题意得到．将代入关于的方程，得到的值，从而得到的方程，解出此方程的另一根． （2）利用复数的乘法运算得到，利用向量的数量积求出． （3）利用复数的加法运算求出，得到的对应点坐标，由复数在复平面上对应的点在第四象限，得到，计算得解. 【详解】（1）由题意知． 又是关于的方程的一个根， 则，即， 所以，解得：， 则，则方程另一根为． （2）由，得到， 又，所以， 所以． （3），对应点坐标为， 由复数在复平面上对应的点在第四象限，得到，解得． （25-26高一下·上海·期中）已知复数（，是虚数单位）小试牛刀1 (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用它在复平面内对应的点落在第二象限，构造不等式求解； （2）根据实系数一元二次方程，虚根共轭成对出现的性质，结合韦达定理求出，进而对分母有理化，最后利用复数模的公式求解． 【详解】（1）， ，对应复平面点为， 在复平面内对应的点落在第二象限， ，解得． （2）已知是实系数一元二次方程的一个虚根， 则其共轭也是该方程的一个虚根， 由韦达定理得，解得， ， ， ． （25-26高一下·山东菏泽·期中）已知复数（为虚数单位）.小试牛刀2 (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，借助复数运算法则计算即可得，再利用共轭复数定义与模长公式计算即可得解； （2）将代入方程计算即可得解. 【详解】（1）设， 则， ， 则，解得，即， 则复数的共轭复数为，； （2）由题意可得， 化简得， 即有，解得. （25-26高一下·浙江宁波·期中）已知复数z＝a＋bi（a，bR）满足．小试牛刀3 (1)求复数z； (2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）    先设，代入条件得到，根据复数相等的条件求解即可； （2）    将代入方程，然后根据复数相等的条件列出方程组，进而求解实数p，q的值. 【详解】（1）已知（a，bR），，， 已知代入可得：， 所以，解得，因此，复数. （2）把代入方程中，得到 整理得， 所以，解得. 【题型5：一元二次方程的复数根】 【练方法】 知识梳理 1判别式：一元二次方程判别式 2根的情况： ：两个不相等的实数根 ：两个相等的实数根 ：两个共轭的复数根 3韦达定理：复数根也满足 解题方法 1判别式法：先计算判别式判断根的类型实数根或复数根 2求根公式：复数根直接用计算 3韦达定理：利用根与系数的关系解决根的和差积问题 4易错点：复数根是共轭的实部相同虚部互为相反数 （25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. （2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.经典例题2例题 【答案】 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. （25-26高一下·上海青浦·期中）若复数和复数满足，，，则________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. （24-25高二下·上海静安·月考）若，则______．小试牛刀2 【答案】 【分析】通过设将两个复数的问题转化为单个复数的问题，再利用复数模的性质列方程求解可得. 【详解】设，因为，所以. 又因为，所以，即. 设，由得：记作①， 再由得：记作②， ②①相减得，即，解得. 再将代入①得，，解得. 因此. （2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ）小试牛刀3 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 【题型6：复数的模长及对应的轨迹问题】 【练方法】 知识梳理 1复数的几何意义：复数对应复平面内的点模 2常见轨迹： ：以原点为圆心为半径的圆 ：以对应的点为圆心为半径的圆 ：线段的垂直平分线 ：椭圆 ：双曲线 解题方法 1转化为直角坐标：设将模的条件转化为关于的方程 2几何法：利用复数模的几何意义直接判断轨迹形状 3常见轨迹结论：直接套用常见轨迹的条件快速判断 （25-26高二下·河北承德·月考）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________．经典例题1例题 【答案】3 【分析】先求出满足题目要求的复数在复平面内的轨迹，再求所求复数模长的最小值. 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. （25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．经典例题2例题 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. （25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ）小试牛刀1 A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． （25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，分别求得和在复平面内对应点的轨迹，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数，分别满足， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 设，则， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 如图所示，可得， 所以， 所以的取值范围为. （25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 【题型7：复数的综合题型】 【练方法】 知识梳理 1综合考点：复数的概念运算几何意义模轨迹的综合应用 2常见模型：复数的混合运算模的最值轨迹问题方程根的问题 3核心思路：将复数问题转化为代数运算或平面几何问题 解题方法 1代数法：将复数化为的形式转化为实数的运算 2几何法：利用复数的几何意义转化为平面几何问题如距离轨迹 3性质法：利用复数模共轭复数的运算性质简化计算 4易错点：注意虚数单位的幂次运算以及复数相等的条件 （山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】设 ，根据复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】设 ， 对于A项，由，所以A项正确； 对于B项，， 得， ， 则，故B项正确； 对于C项，举反例：，，，但，故C项错误； 对于D项，若，由，得，故D项正确． （25-26高一下·重庆·期中）（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则为实数 D． 【答案】BD 【详解】选项A：反例：设，满足，但，故A错误. 选项B：由模的性质可得，故B正确. 选项C：当时，，符合题意，此时是纯虚数，故C错误. 选项D：设，则， 此时，得到，故D正确. （25-26高一下·宁夏·期中）（多选）已知为虚数单位，下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B．复数的模为 C．复数的共轭复数 D．已知复数满足， 则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，，故B正确； 对于C项，，则，故C错误； 对于D项，由复数模的三角不等式得到 ， 当时等号成立，故D正确. （25-26高一下·江苏淮安·期中）（多选）若复数，则下列选项正确的有（    ）小试牛刀2 A． B．z的共轭复数为 C．为虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【详解】， 选项A：； 选项B：，则的共轭复数为； 选项C：，是一个实数； 选项D：，对应的点为位于第四象限. （25-26高一下·云南德宏·期中）（多选）下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 【答案】CD 【详解】A选项：因为，4次为一个周期，且，故，故A错误； B选项：因为虚数不能比较大小，故B错误； C选项：设；；根据复数的模长计算公式：；故，故C正确； D选项：若是关于的方程的根，则也是方程的根，则，故；故D正确． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·河南·期中）设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数在复平面内对应点的坐标为，对应象限即可作出判断. 【详解】解：由， 则在复平面内对应的点为，位于第二象限. 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 由模长公式得. 3．（25-26高一下·重庆·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【详解】根据题意是方程的另一根， 由，可得， 又， 所以. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 5．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 因为该复数为纯虚数，因此且，解得. 6．（2026·四川泸州·模拟预测）在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，可得，根据运算法则，结合求模公式，即可得答案. 【详解】由题意知，，则， 所以. 7．（25-26高一下·广东广州·期中）已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算得，再求复数的模即可. 【详解】由题意知， 所以 二、多选题 8．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内所对应的点位于第二象限 D． 【答案】BCD 【详解】化简复数 选项A：的虚部为，不是，A错误； 选项B：复数的共轭复数为，的共轭复数为，B正确； 选项C：对应复平面内的点为，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，C正确； 选项D：先求， ， ， ，D正确. 9．（25-26高一下·新疆喀什·期中）已知复数，则下列说法正确的有（    ） A．的虚部为 B． C． D． 【答案】CD 【详解】，的虚部为，则选项A错误；，则选项B错误； ，则选项C正确；，则选项D正确. 10．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【详解】， A：的虚部为，正确. B：的共轭复数为，错误. C：，正确. D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，错误. 11．（25-26高一下·广东深圳·期中）设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第三象限 B．若复数，则z的虚部为 C．若，则的最大值为2 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A，在复平面内对应的点在第三象限，A正确； 对于B，复数的虚部为2，B错误； 对于C，表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而圆心到原点距离为1，因此的最大值是该圆上的点到原点距离最大值，它是，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 三、填空题 12．（25-26高一下·上海·期中）已知是虚数单位，则__________. 【答案】0 【详解】 13．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z在复平面上对应的向量，则______． 【答案】5 【详解】因为复数z在复平面上对应的向量，所以， 所以，所以. 14．（25-26高一下·天津和平·期中）已知复数满足，则______． 【答案】1 【分析】结合题意得，再根据复数除法运算求解得，最后求复数的模即可. 【详解】因为复数满足， 所以，整理得， 所以 所以 15．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数，，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求解即可． 【详解】依题意可得． 16．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数，对任意的实数，的最小值为，在复平面内，复数，所对应的向量分别为，，向量，的夹角为锐角，则______；若复数满足，则的最大值为______． 【答案】 2 【详解】令，， 因为，所以， ， 令，所以当时，有最小值3，即，， 因为向量，的夹角为锐角，故，即； 所以 ， 因为，所以，故的最大值为. 四、解答题 17．（25-26高一下·重庆·期中）复数满足：且是实数． (1)求； (2)若不是纯虚数．且在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2)或． 【分析】（1）设复数，由及是实数得到方程，求解得到； （2）根据不是纯虚数确定，计算其共轭复数并整理的实部与虚部，结合第四象限点的坐标特征列不等式组求解的范围. 【详解】（1）设，则， 又因为 所以，即． 代入，得，即，解得或2． 当时，，； 当时，，． （2）因为不是纯虚数，由（1）可知，所以． 因为在第四象限，所以，解得或． 18．（25-26高一下·北京大兴·期中）已知复数.为虚数单位. (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据共轭复数的概念及复数的模列出方程求解； （2）利用复数的除法化简后，根据复数为实数列方程求解； （3）根据复数的乘法运算化简后，根据复数对应点所在的象限列出不等式组求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得. （2）因为为实数， 所以  ，解得； （3）， 因为在复平面上对应的点在第二象限， 所以，即，解得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $