第10章 复数 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 p(s要+m),·t (-1-i)2(-1+i) 4:[(停++）+in(肾++】 2[o(管+)+in(受+】 (子+晋+子-受-平)（告+警+晋-警-要）门 =2()+im(x月-+ [例3】[解]欲求∠2,0Z1,可计算1.：4=1+2i 27+√5i (1+2③i)(7-3)i_1十i (7+√3i)(7-√3i) 4 (os晋+n晋）∠20%=吾且g-多 1OZ21 由余弦定理，设1OZ1=k,OZ2=2k(k>0),则|Z1Z212 =k2+(2k)2-2k·2k·c0s=3k2,Z22=k,而 k2十（√3k)2=(2k)2,∴.△OZ1Z2为有一锐角为60°的直 角三角形 变式训练 3.解：依题唐知(-1+i)·(os誓+isin智) 之2 cos+isn x六2=（-1+i) (os誓+isin）(eas平+ian） 随堂步步夯实 1B[喝为吉智-，所以（吉白”=护为实数，将以” 的最小值为2.] cos0°+isin0° 1 2.解标。2c0820+in202Lc0s(-20)+ isin(-20°)]. 答案：7[cos(-20)+iin(-20°] 3.解析：法一（√5+i)(cos60°+isin60)=2(cos30°+ isin 30)(cos 60+isin 60)=2(cos 90+isin 90)=2i. 法二5+(cas60+isin0=5+(2+) 答案：2i 4.解：2(cms5r+isin5)×4cos30+isin309)×号(cos25 +isim259)=8(cos35°+isn35)×7(c0s25°+isin25) =4(cos60°+isin60)=2+2√3i 5.解：2i÷ (cosin con [分cas30+isn30】 =4(cos60°+isin60°)= 2+2√5i 章末归纳提升 [例1][解](1)当m2+2m-1=0且m-1≠0， 即m=-1士√2时，之∈R. (2)当m2+2m-1≠0且m-1≠0. 即m≠一1士√2且m≠1时，之为虚数. .10 （3)当m(m+2=0且m2+2n-1≠0. m-1 即m=0或一2时，之为纯虚数. 变式训练 1.解：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， x2-3.x-3>0, 所以log2(x-3)=0, （x-3>0, 解得x=4,所以当x=4时，之∈R. (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以 1x2-3x-3>0, l0g2(r-3)≠0，解得x>3+√@且x≠4. 2 (x-3>0, 所以当>3+，②且≠4时，为虚数. 2 [例2][解]设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi. 又(x+y)2-3xyi=4-6i,.4a2-3(a2+b2)i=4-6i, …2,“8或名8 a=-1, 6=-1, x=1+i, 或 x=1-i, y=1-i (y=1+i 或 {=-1ti或{x=-1 {y=-1-i{y=-1+i. 变式训练 2.解：(1)=(1+2i)(-2+iD-3+iD1-D (1+i)(1-i) =-4-3i-42i=-4-3i-(2-iD=-6-2i 2 (2).(-6-2i)2+(2a-1)(-6-2i)-(1-i)b-16=0, .∴.32+24i-6(2a-1)-2(2a-1)i-b+bi-16=0, .22-12a-b+(26-4a+b)i=0, 六货+。公4 [例3][解]|之+3-√3i=√5表示以 一3十√i对应的点P为圆心，以√3为半 径的圆，如图所示， 则OP|=|-3+√3i=√12=2√3，显 然z|max=|OA|=|OP|十√3=3V3, |zmim=|OB|=|OP|-√3=√5. 变式训练 3.解：因为之=1，所以之·之=1， 所以之2-之十1=22-之十2=2（之十之-1）， 所以x2-之+1=z(2十之-1)川=x·之十之-1 =之十之-1. 设之=x十yi(x,y∈R),那么|之十z-1=|2x-1|, 又因为|z=1,所以x2+y2=1. 所以-1≤x≤1，所以-3≤2x-1≤1， 则0≤|2x一1|≤3. 所以|2-之十1的最小值为0，最大值为3. [例4][解](1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为 (1,3),(0,2),(2,1), 设D的坐标为(x,y),由于AD=BC, .(x-1y-3)=(2,-1), x-1=2,y-3=-1,解得x=3,y=2,故D(3,2), 则点D对应的复数之=3十2i. (2)3十2i是关于x的方程2x2-px十g=0的一个根， .3-2i是关于方程2x2-px十q=0的另一个根， 则3+2i+3-2i=号，(3+2D·(3-2D=号 即p=12,g=26. 变式训练 4.解：（1)由题意得之=2-之1=-c0s20-sin0十 (cos20-1)i=-1+(-2sin20)i. (2)由(1)知，点P的坐标为(-1，-2sin). 由点P在直线y=7上得-2sim0=-7, ∴sim20=子又9e0mn9>0, 因此n0=名0=晋或0=要 6 第十一章立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 课前预习学案 情境引入 提示由斜二测画法画出空间图形的直观图 知识梳理 知识点一、空间形状大小几何体 知识点二、(1)垂直45°135°(2)平行(3)不变一半 [思考] 1.[提示]“斜”是指斜投影，具体说是在已知图形的xOy 平面内垂直于x轴的线段在直观图中均与x'轴成45°或 135°：“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x'轴或平行于之'轴的线段长度不变；平行于y轴的线段 长度变为原来的一半. 2.[提示]不一定.如图，正方形ABCD的直观图为平行四 边形A'B'C'D',∠A=∠C,∠A'=∠C',同样∠A=∠B, 但∠A'≠∠B'. 知识点三、(3)平行(4)不变一半 [思考] 3[提示]不一定唯一，作直观图时，由于选轴不同，所画 直观图就不一定相同. 4.[提示]三视图和直观图都是呈现空间几何体的一种方 法，三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视 图，我们就可以得到一个精确的空间几何体，正是因为三 视图的这个特点，使它在生产活动中得到广泛应用（零件 图纸、建筑图纸等都是三视图).直观图是对空间几何体 的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实物的 形象. 预习自测 1.A 2C「正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边 长之比为2：1.] 3.解析：因为A'B′∥y轴，B'C∥x轴，所以∠A'B'C'=45, 所以在△ABC中∠ABC=90°，故△ABC为直角三角形. 答案：直角 玉解折：麦移的西积为2×等×4=8后，所以其宜现因的 面积为区×85=26. 4 答案：2√6 5.解：按照斜二测画法的规则，把如图(1)等边△ABC的平 面直观图△A'B'C'还原为如图(2)等边△ABC. ·1 参考答案 C (2) 设AB=,则BC'=x,等边△ABC的高为 , 所以△ABC的高为导×号-号。 8x, 所以△A'B1C'的面积为号×发xXx=影 161 解得x=1, 所以△ABC的面称为号×X9-9-华 -4 课堂互动学案 [例1][解]画法：(1)在已知的正五边形ABCDE中，取 正五边形的中心O为坐标原点，对称轴FA为y轴，过O 与y轴垂直的直线为x轴.分别过点B,E作BG∥Oy、 EH∥Oy,与x轴分别交于G,H.画对应的O'x',Oy',使 ∠x0'y'=45°. (2)以点O为中，点，在x'轴上取G'H'=GH,分别过G, H'在x'轴的上方作G'B'∥Oy',H'E∥Oy',并使GB =2GB,HE=合HE:在y轴上x轴的上方，取0A =0A,在轴的下方，取0F'=20F,并以点F为中 点画C'D'∥Ox',且CD'=CD (3)连接A'B',BC,DE',EA',所得的五边形 A'B'C'D'E'就是正五边形ABCDE的直观图. A E B' E' B' E G 0 G07x' D' C F D CF D' 变式训练 1.解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴；以BC 边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系. B ② (2)画对应的x轴，y轴，使∠xO'y=45°. 在x'轴上截取O'B'=O'C'=2cm,在y轴上截取O'A'= 0A,连接AB,AC,则三角形ABC即为正三角形 ABC的直观图，如图②所示， [例2][解]画法：(1)先画出边长为3cm的正六边形的 水平放置的直观图，如图①所示： (2)过正六边形的中心O建立之轴，画出正六棱锥的顶点 V,在z轴上截取V=3cm,如图②所示； (3)连接VA'、VB'、V'C'、V'D'、V'E、V'F',如图③ 所示： (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥 的直观图，如图④所示. 3数学B版·必修第四册 章未归纳提升 [网络构建] 数系的扩充 虚数单位 复数的实部和虚部 数系的扩 实数(b=0) 的概念 复数的分类 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数） 和复 复数相等：a+bi=c+di台a=c,b=d 共轭复数：z=a+bi与z=a-bi互为共轭复数 的概念 复数x=a+bi 数系的扩充与复数的引 复数的几何意义 复平面内的点Z(a,b) 平面向量0Z 复数z=a+bi的模lzl=la+bi=/a2+b 复数代数形 加法法则：(a+bi)+(c+di) 几何意义：复数的加法可 复数代数形 以按照向量的加法进行 式的加、减 (a+c)+(b+d)i 运算及其几 何意义 减法法则：(a+bi)-(c+di) 几何意义：复数的减法可 (a-c)+(b-d)i 以按照向量的减法进行 四则运算 复数代数 乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 形式的乘 除运算 除法法则：(a+bi)÷(c+di)= ac+bd be-ad c2+d i(c+di≠0) c2+d2 乘法法则：模数相乘，辐角相加 复数的三角表示* 复数乘、除运算的三角表示 除法法则：模数相除，辐角相减 归纳提升] 题型一 有关复数的概念 ◇[变式训练] 复数常设为之=a十bi(a,b∈R),之∈R=b=0;之为 1.复数之=1og(x2-3x-3)十ilog2(x-3),当x为何 虚数台b≠0；z为纯虚数台a=0且b≠0， 实数时： (1)之∈R;(2)x为虚数， [例1]已知m∈R,复数之=m(m+2)+(m2十2m m-1 1)i,当m为何值时： (1)x∈R;(2)x是虚数；(3)x是纯虚数， [尝试解答] 题型二 复数相等 复数的代数形式z=x十yi(x,y∈R),从实部、虚部 来理解一个复数，把复数之满足的条件转化为实数 x,y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用 待定系数法和方程思想来处理复数问题」 ·30· 第十章复数 [例2]已知x,y为共轭复数，且(x+y)2一3xyi= ⊙[变式训练] 4-6i,求x,y. 3.已知x∈C且|x=1,求z2-之十1的最值. [尝试解答] ◇[变式训练] 2.已知复数x=1+2)(-2+i)-8。 1+i (1)化简复数x; (2)若z2+(2a-1)x-(1-i)b-16=0,求实数a,b 题型四复数与其他知识的综合应甫 的值. 复数具有代数形式，且复数x=a十bi(a,b∈R)与复 平面内的点Z(a,b)之间建立了一一对应关系，复 数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、 函数等知识的交汇. [例4]四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A,B, C,D四点对应的复数分别为1+3i,2i,2+i,x (1)求复数x: (2)之是关于x的方程2.x2一px十q=0的一个根， 求实数p,g的值. [尝试解答] ⊙[变式训练] 4.已知复平面内点A,B对应的复数分别是之1=sin0 题型目复数的模及其几何意文 十i,x2=-cos20+ic0s20,其中0∈(0，元)，设AB对 1.≠0，之为纯虚数台z=一 应的复数为之 2.复数模的计算公式：若之=a十bi(a,b∈R),则|z= (1)求复数z; √a十b,在解答有关复数模的问题时应重视以下 结论的运用：2·2=x2=22,11·x2=x1· (2)若复数x对应的点P在直线y=,上，求9的值。 [例3]复数x满足之十3一√3=√5，求引的最大 值和最小值. [尝试解答] ·31·