2026年初升高数学衔接专题训练·韦达定理与根的分布

初升高数学衔接专题训练·韦达定理与根的分布 知识要点归纳 1. 韦达定理（根与系数的关系） 对于一元二次方程，当判别式时，设其两根为 ，则： 2. 常用推论 3. 根的分布（以 为例） 设 为两实数根. 分布情况 充要条件 两正根 两负根 一正一负 两根均大于 对称轴 两根均小于 对称轴 一根在 内，另一根在外 两根分别在 和 内 且 4. 注意要点 (1) 使用韦达定理的前提：必须先验证判别式； (2) 根的分布问题：结合二次函数图象（开口方向、对称轴、端点函数值）综合分析； (3) 整体代换思想：利用对称式（如 ）表示 、等。 训练试题 一、选择题（共 10 题） 1. 已知方程的两个实数根为 ，且，则m的值为（ ） A. B.   C.   D. 答案：B 详解：由韦达定理得，又，故 ，，，. 2. 若方程的两根为，则以为两根的二次方程是（ ） A. B. C. D. 答案：A 详解：由韦达定理得 则 故所求方程为 . 3. 关于 x的方程有两个正实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：A 详解：方程有两个正根，则 ，解得或；两根之和 ，即 ；两根之积 恒成立。取交集得。 4. 已知方程的两根为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：B 详解：设 ，则故. 5. 已知关于 的方程的两个实数根满足，则k的值为（ ） A.   B.   C.  D. 任意实数 答案：D 详解：方程可化为.判别式，恒有两个不相等的实数根。由韦达定理，则 ，恒成立。故k 取任意实数均满足。 6. 设 是方程 的两个实数根，且 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A.   B.   C.   D. 答案：B 详解：方程 的根为 ，故 ，，得 ，则 ，，。 7. 已知 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A.   B.   C.   D. 答案：C 详解：由韦达定理得 ，，则 。 8. 关于 的方程 的两根为 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 或 答案：C 详解：方程可化为 ，根为 ，，由 得 ，解得 。 9. 若方程 的两个实数根为 ，且 ，则 的值为（ ） A.   B.   C.   D. 答案：A 详解：由韦达定理得 ，，则 ，解得 。 10. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 答案：D 详解；由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 二、填空题 11. 若关于 的方程 的一根是另一根的 倍，则________。 答案：8 详解：设两根为 ，则，得 ，两根为 ，故 。 12. 方程 的两根为 ，则 ________。 答案：18 详解：原式，，，，故原式。 13. 已知 是方程 的两个实数根，则 的最小值为________。 答案：4 详解：，，，当 时取最小值 。 14. 关于 的方程 有两个不相等的实数根，且两根均大于 ，则 的取值范围是________。 答案： 三、解答题 15. 已知关于 的方程 有两个实数根 。 （1）求实数 的取值范围； （2）若 ，求 的值； （3）求 的表达式。 解：（1） 方程有两个实数根， 解得 。 （2）由韦达定理得：， 由 ，得 ，即 ，解得 或 。 又 ，。 （3） 16. 已知方程 的两根为 ，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）。 解 由韦达定理得：，。 （1） （2） （3） （4） 17. 设二次函数 。 （1）若方程 的两个实数根 满足 ，求实数 的取值范围； （2）若方程 的两个实数根 满足 ，且 ，求 的值； （3）若函数 在区间 上有且仅有一个零点，求实数 的取值范围。 解：（1）令 ，即 ，解得 ，。 由 ，得 ，解得 。 （2）由 ，得且 ，即 。 此时 ，与 矛盾， 故不存在满足条件的实数 。 （3）函数 的零点为 ，。 函数在 上有且仅有一个零点，分两种情况： ① 且 ，解得 ； ② 且 ，解得 。 综上， 的取值范围是 。 18. 已知方程 的两个实数根为 ，且满足 ，。 （1）求 的值； （2）以为两根作一个新的一元二次方程，求这个方程。 解（1）由韦达定理得：，解得 ；。 解得 。 （2）由 ，，得 故所求方程为 ，整理得 。 19. 已知实数 满足 ，，且 。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值。 解 由题意可知， 是方程 的两个不相等的实数根， 由韦达定理得：，。 （1） （2） （3） 20. 已知函数. (1) 当时，解不等式； (2) 若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3) 若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 解：（1）当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 初升高数学衔接专题训练·韦达定理与根的分布 知识要点归纳 1. 韦达定理（根与系数的关系） 对于一元二次方程，当判别式时，设其两根为 ，则： 2. 常用推论 3. 根的分布（以 为例） 设 为两实数根. 分布情况 充要条件 两正根 两负根 一正一负 两根均大于 对称轴 两根均小于 对称轴 一根在 内，另一根在外 两根分别在 和 内 且 4. 注意要点 (1) 使用韦达定理的前提：必须先验证判别式； (2) 根的分布问题：结合二次函数图象（开口方向、对称轴、端点函数值）综合分析； (3) 整体代换思想：利用对称式（如 ）表示 、等。 训练试题 一、选择题（共 10 题） 1. 已知方程的两个实数根为 ，且，则m的值为（ ） A. B.   C.   D. 2. 若方程的两根为，则以为两根的二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 关于 x的方程有两个正实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程的两根为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于 的方程的两个实数根满足，则k的值为（ ） A.   B.   C.  D. 任意实数 6. 设 是方程 的两个实数根，且 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A.   B.   C.   D. 7. 已知 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A.   B.   C.   D. 8. 关于 的方程 的两根为 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 或 9. 若方程 的两个实数根为 ，且 ，则 的值为（ ） A.   B.   C.   D. 10. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11. 若关于 的方程 的一根是另一根的 倍，则________。 12. 方程 的两根为 ，则 ________。 13. 已知 是方程 的两个实数根，则 的最小值为________。 14. 关于 的方程 有两个不相等的实数根，且两根均大于 ，则 的取值范围是________。 三、解答题 15. 已知关于 的方程 有两个实数根 。 （1）求实数 的取值范围； （2）若 ，求 的值； （3）求 的表达式。 16. 已知方程 的两根为 ，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）。 17. 设二次函数 。 （1）若方程 的两个实数根 满足 ，求实数 的取值范围； （2）若方程 的两个实数根 满足 ，且 ，求 的值； （3）若函数 在区间 上有且仅有一个零点，求实数 的取值范围。 18. 已知方程 的两个实数根为 ，且满足 ，。 （1）求 的值； （2）以为两根作一个新的一元二次方程，求这个方程。 19. 已知实数 满足 ，，且 。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值。 20. 已知函数. (1) 当时，解不等式； (2) 若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3) 若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $