精品解析：浙江省温州市龙湾中学2025年10月自招考试数学试卷

龙湾中学自招试卷 1. 从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即，从1、2、3、4中随机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即可． 本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零”是解题的关键． 【详解】解：由于选取顺序不同，和的有序对共有、、、、、、、、、、、共12种； 二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式， 即， 解得， 满足的有序对有、、、共4种， 则二次函数与轴有两个不同交点的概率为； 故答案为：． 2. 设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，再利用根与系数的关系列出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， △， 解得：， ，，， ，， ， ， 即， 当时，解得； 当时，不等式无解， ∴， 又， 的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程判断式和根与系数的关系的应用，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键． 3. 方程组的有理数解的个数为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】题目主要考查解三元方程组，分两种情况分析：当时，当时，分别求出有理数解即可得出结果，关键是对分析时，化简注意解的情况． 【详解】解：当时，方程组为：， 解得：或； 当时， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 将②代入整理得：③， 由①得：， 代入③整理得：， 当时， 整理得：， ∴方程无有理数根， ∴即， ∴由①得：， ∴由②得：（不符合题意，舍去）， ∴方程组有两组有理数解：或， 故答案为：2． 4. 正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，正方形的边长为2，则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，易得，平行面积转化，推出的面积等于正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵正方形，正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴． 5. 如图所示，在中，，D为斜边上一动点，垂足分别为E、F，当线段最小时，的值等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，求角的余弦值；连接，证四边形是矩形，可得，再由垂线段最短可得时线段的长最小，利用勾股定理求出，再求出，由余弦的定义进而解答即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得：时，线段的长最小， 在中，，， ， 当时， 的面积， ， 的最小值为， 此时，， 的面积， ， ． 故答案为：． 6. 如图，正方形内接于，为劣弧上一点，交于点，交于点，记，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形．设的半径为，分别表示出，根据得出，再化简即可求解． 【详解】解：如图，连接，设的半径为， ∵是直径， ∴， 在中，， ∵正方形内接于， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 7. 若可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为__________． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查利用公式法求解一元二次方程，此题中涉及的公式有：．设这k个连续正整数第一个正整数是n，则第个正整数是，根据题意进行分析求解即可． 【详解】解：设这k个连续正整数第一个正整数是n，则第个正整数是， ∵ ∴， 整理得： ∵n是正整数，即, ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当时， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴故k的取值不超过66， ∵的正约数中，小于等于66的最大约数为， 验证：当时， ， 解得，14是正整数，符合条件， 故答案为：54． 8. 数列的第2025项的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列规律，数字出现次，到数字的总项数为等差数列前项和，通过计算该和与的大小关系，确定第项所在的数字组． 【详解】解：由数列规律可知，数字出现次，到数字的总项数为 ． 当时，，． 当时，，． 由此可知，第项到第项均为，故第项的值是． 故答案为． 9. 如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数__． 【答案】6或 【解析】 【分析】先确定是方程的一个根，再由有两个相等的根或有一个根是2，分别求解的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：方程可变形为：， 即， ∴， ∴或， ∴是方程的一个根， 方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长， 有两个相等的根或有一个根是2， 当有两个相等的根时，△， 解得， 此时方程的根为， 三角形的三条边长分别为2，，； 当有一个根是2时，， 此时方程的根为或， 三角形的三条边长分别为2，2，3； 综上所述：的值为6或， 故答案为：6或． 【点睛】本题是一元二次方程的综合题，主要考查了解一元二次方程、根的判别式以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，求出是方程的一个根是解题的关键． 10. 设均为正整数，且，，则当的值最大时，的最小值是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】 【详解】解：先证明． 用反证法，若， 又，则 ， 即，于是，，，，，矛盾． 由，即，，于是当，，，，，取最大值110，而取最大值20. 由，得，，且当，，，，，，，，时，取最大值110，而取最小值29，取最大值20． 因此的最小值是． 11. 如图，在平行四边形中，过点B作轴，且，D为中点，连接、、，反比例函数的图象经过D、E两点，若的面积为3，则k的值为 _____． 【答案】##6.75 【解析】 【分析】过点D作轴，交于点F，交轴于点G，延长交轴于点H，连接，根据的面积为3，求出的面积，设D点坐标为，则E点坐标为，根据面积列方程即可求出k的值． 【详解】解：过点D作轴，交于点F，交轴于点G， 延长交轴于点H，连接， E为的四等分点（），的面积为3， 的面积为9， 轴， 四边形是平行四边形， ， ， D为中点， ， 由平行四边形得，，， ， ， 设D点坐标为，则E点坐标为， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程． 12. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，，，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设AC，BD交与点F，过点B作，交EA的延长线于点G，利用直角三角形的边角关系得到，设，则，利用勾股定理，相交弦定理，平行线分线段成比例定理求得BF，DF，AE，利用勾股定理求得线段CE，利用矩形的判定与性质和勾股定理求得BE，则结论可得． 【详解】解：设AC，BD交与点F，过点B作，交EA的延长线于点G，如图， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形AFBG为矩形， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相交弦定理，熟练掌握圆的相关性质，利用勾股定理求得对应相等的长度是解题的关键． 13. 如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OP，OM，根据切线长定理可知，因为，故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出OP长，在Rt△PMO中求出PM即可解答． 【详解】解：连接OP，OM， ∵PM、PN相切于点M、N， ∴，， ∴， 又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直径， ∴， ∴故当OP最小（即OP垂直AC时），最大， 延长DC交直线AE于点G， ∵E是BC的中点，BC=6， ∴BE=EC=3, ∵在矩形ABCD中，， ∴， ∵在矩形ABCD中，， ∴， ∴， ∴EG=5，CG=3， ∴OG=OC+CG=2+4=6， 又∵OP垂直AC时，最大， ∴， 在Rt△PMO中，， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在Rt△PMO中最大，此时最大，得出OP垂直AC时，最大． 14. 在中，若为三角形外一点，满足，线段与线段交于，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，相似三角形的性质与判定．通过圆周角定理的逆定理证明点为外接圆的圆心，再利用平方差公式计算所求乘积，证明得出，即可求解． 【详解】解：因为线段与线段交于点，所以点与点在线段的同侧（若在两侧则线段与无交点）． 已知，，根据圆周角定理的逆定理（同弧所对的圆心角是圆周角的倍），可得点是外接圆的圆心，的半径为． 设直线与的另一交点为，则， ． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 因此． 故答案为：． 15. 已知正实数x、y、z满足方程组，求该方程组所有的实数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程；根据方程组的关系可得，进而解关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设函数，整理得， 当时，增大则增大，因此是正实数集上的增函数． 原方程组可写为：． 若，由增函数性质得：，；， ∴，矛盾； ∴ 将代入方程得：，，整理得：， 两边除以得： 整理得：， 解关于的一元二次方程，取正根得， 平方得：． 综上，方程组的所有实数解为． 16. 已知、、均为正整数，且、、均为正整数，则的最大值和最小值之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意容易判断出、、的下限均为，此时恰好符合各式均为正整数的要求，因此的最小值为．在计算最大值时，先假设是最小的数，容易得出是的因数，是的因数，是的因数，则，从而得出、、的上限，经检验此时也符合各式均为正整数的要求，将最小值和最大值相加即可． 【详解】解：由题意可得，、、均为正整数，且，，， ∴，，， 当时，，符合题意， ∴的最小值为； 下面计算的最大值，由于、、的结构对称，不妨设三个数中最小的数为，即，， ∵， 又∵、是正整数， ∴是的正因数， ∵， ∴， ∴， 同理，是的正因数，是的正因数， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 当，，时， ，，，符合题意， ∴的最大值为； 综上所述，的最小值为，最大值为，最小值与最大值之和为． 17. 在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内心和外心的性质，角平分线以及三角形内角和定理的应用，根据三角形的内心和外心得到对应的角相等，再结合角平分线得到对应角关系，结合三角形内角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设，如图， ∵点E为的内心， ∴，， ∵点F为的外心， ∴，， ∵的内心与的外心重合， ∴， ∵平分， ∴， ∵点E为的内心， ∴ ， 则， 解得， 那么，， 故答案为：． 18. 已知为实数，若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先分析的情况，此时函数为一次函数，结合一次函数的单调性，根据不等式的解集列方程组求解；再分析的情况，此时二次函数开口向上，由不等式解集确定的两根为和，利用韦达定理求出、与的关系式，再根据二次函数的对称轴求出其最小值，结合不等式恒成立的要求让最小值大于，解出此情况下的范围；接着分析的情况，此时二次函数开口向下，同理确定的两根为和，利用韦达定理得到、与的关系式，根据对称轴求出函数最大值，结合不等式恒成立的要求让最大值小于，解出此情况下的范围；最后整合三种情况的结果，即可得到的取值范围． 【详解】解：设． ①当时，是一次函数， ∵的解集为， ∴若随着的增大而增大，则直线过，两点， ∴， 解得，符合条件； 同理若随着的增大而减小，解得，符合条件， 故满足条件． ②当时，二次函数开口向上， ∵的解集为， 的解集为，即的两根为和， ∴，解得， ， 又当时，二次函数取得最小值， ∴当时，，解得， ． ③当时，二次函数开口向下， ∵的解集为， 的解集为，即的两根为和， ∴，解得， ， 又当时，二次函数取得最大值， ∴当时，，解得， ． 综上，的取值范围是． 19. 如图，已知二次函数. （1）求证:它的图象与x轴必有两个不同的交点； （2）这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,O)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A,B,C三点,求扇形MAC的面积S； （3）在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由. 【答案】 （1）证明：∵△=（m+3）2>0， ∴与x轴有两个不同的交点. （2）； （3）P为（2，-3）或（，）. 【解析】 【分析】(1)计算判别式△=（m+3）2>0，即可判断抛物线与x轴有两个不同的交点. （2）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积． （3）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑： ①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标； ②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴ ∴m=1 ∴ ∴A（-1,0），B（3,0），C（0.3） ∴M（1,1） ∴R=，n=90° ∴ （3）设P为（t, ），则D为（t，0） 因为,所以DP与BC的交点Q为（t，t-3） 当△PBD被BC分为1：2两部分时， 即 解得t1=2，t2=3（舍），t3=3（舍），t4= 综上，P为（2，-3）或（，） 【点睛】本题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大． 20. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2） 证明：如图，延长交于M，设R为的外接圆半径，交于点O． ∵， 同理有：，， 代入， 得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，进而可以解决问题； （2）延长交于M，由于交于点O．然后由，可以求得结论． 【小问1详解】 解：由于交于点O， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙湾中学自招试卷 1. 从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 2. 设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么取值范围是__． 3. 方程组的有理数解的个数为__________． 4. 正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，正方形的边长为2，则的面积为__________． 5. 如图所示，在中，，D为斜边上一动点，垂足分别为E、F，当线段最小时，的值等于__________． 6. 如图，正方形内接于，为劣弧上一点，交于点，交于点，记，若，则的值为__________． 7. 若可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为__________． 8. 数列的第2025项的值是__________． 9. 如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数__． 10. 设均为正整数，且，，则当的值最大时，的最小值是_________． 11. 如图，在平行四边形中，过点B作轴，且，D为中点，连接、、，反比例函数的图象经过D、E两点，若的面积为3，则k的值为 _____． 12. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，，，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若，则的值为 _____． 13. 如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为__________． 14. 在中，若为三角形外一点，满足，线段与线段交于，且，则__________． 15. 已知正实数x、y、z满足方程组，求该方程组所有的实数解． 16. 已知、、均为正整数，且、、均为正整数，则的最大值和最小值之和为__________． 17. 在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________． 18. 已知为实数，若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 19. 如图，已知二次函数. （1）求证:它的图象与x轴必有两个不同的交点； （2）这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,O)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A,B,C三点,求扇形MAC的面积S； （3）在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由. 20. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $