函数及其性质小题常考14大核心题型【知识梳理+高考真题检测】-2026年高考数学三轮冲刺

【函数及其性质小题常考14大核心题型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的定义域】 【解题策略】 知识梳理 1定义域定义：使函数有意义的自变量的取值集合 2常见限制条件： 分式：分母不为0 偶次根式：被开方数非负 对数：真数大于0底数大于0且不等于1 零指数幂：底数不为0 三角函数：正切余切 3复合函数定义域：内层函数的值域是外层函数的定义域 解题方法 1列不等式组：根据限制条件列出不等式求解交集 2复合函数定义域： 已知定义域为求定义域：解 已知定义域为求定义域：求在上的值域 【题型专练】 1．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 4．（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 5．（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型2：函数的值域】 【解题策略】 知识梳理 1值域定义：函数值的集合 2常见方法：观察法配方法换元法分离常数法判别式法单调性法导数法 3常见函数值域： 一次函数：时值域为 二次函数：时时 反比例函数：时值域为 指数函数：时值域为 对数函数：时值域为 三角函数： 解题方法 1配方法：二次型函数配方后结合单调性求值域 2换元法：对含根号或分式的函数换元转化为熟悉的函数 3分离常数法：分式函数分离常数转化为反比例型函数 4判别式法：对分式二次函数转化为一元二次方程利用判别式求值域 5单调性法：分析函数单调性结合端点值求值域 6导数法：对复杂函数求导分析单调性和极值确定值域 【题型专练】 6．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 8．（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 9．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 10．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【题型3：函数的解析式】 【解题策略】 知识梳理 1常见求解析式的方法：待定系数法换元法配凑法方程组法赋值法图像法 2常见函数模型：一次函数二次函数反比例函数指数函数对数函数三角函数 解题方法 1待定系数法：已知函数类型设出一般形式代入已知条件求系数 2换元法：已知令反解代入求 3配凑法：将配凑成的形式直接写出 4方程组法：对与或列方程组消元求 5赋值法：对抽象函数赋值求特殊点的函数值或解析式 6图像法：根据函数图像的形状设出函数形式代入关键点求解析式 【题型专练】 11．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 12．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 13．（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 14．（25-26高三上·福建福州·月考）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【题型4：分段函数】 【解题策略】 知识梳理 1分段函数定义：在定义域的不同部分有不同的对应法则 2关键：分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集 3常见考点：分段求值分段不等式分段函数的单调性奇偶性 解题方法 1分段求值：根据自变量的取值范围代入对应的解析式计算 2分段不等式：对自变量的取值范围分类讨论分别解不等式再求并集 3分段函数的性质：分别分析各段的性质再综合考虑分段点处的情况 4易错点：分段点处的定义和连续性避免漏解或多解 【题型专练】 16．（2026·河北保定·二模）已知函数，则______________． 17．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5：函数的单调性求参数】 【解题策略】 知识梳理 1单调性定义：设若则在上单调递增；若则在上单调递减 2导数法：若在上恒成立则在上单调递增；若在上恒成立则在上单调递减 3常见函数单调性： 一次函数：时单调递增时单调递减 二次函数：时在上单调递减在上单调递增；时相反 指数函数：时单调递增时单调递减 对数函数：时单调递增时单调递减 解题方法 1定义法：根据单调性定义列不等式求解参数范围 2导数法：求导后令或在给定区间上恒成立求解参数范围 3复合函数单调性：同增异减外层函数与内层函数单调性相同则复合函数递增相反则递减 4分段函数单调性：各段单调性一致且分段点处满足单调性要求列不等式组求解 【题型专练】 21．（2026·山东德州·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型6：复合函数的单调性】 【解题策略】 知识梳理 1复合函数定义：设则为复合函数 2单调性法则：同增异减 与单调性相同则单调递增 与单调性相反则单调递减 3定义域：内层函数的值域必须是外层函数的定义域的子集 解题方法 1分解复合函数：将分解为外层函数和内层函数 2分别分析单调性：确定和的单调区间 3利用同增异减法则：确定复合函数的单调区间 4易错点：注意复合函数的定义域单调区间必须是定义域的子集 【题型专练】 26．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·安徽·月考）当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·青海·模拟预测）（多选）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·广东梅州·模拟预测）（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 【题型7：分段函数的单调性】 【解题策略】 知识梳理 1分段函数单调性要求： 各段函数在各自的定义域内单调性一致 分段点处满足单调性要求（递增时左段最大值≤右段最小值递减时左段最小值≥右段最大值） 2常见考点：根据分段函数的单调性求参数范围 解题方法 1分析各段单调性：分别确定每一段函数的单调性列不等式 2分段点处验证：列不等式保证分段点处的单调性 3求解参数范围：解不等式组得到参数的取值范围 4易错点：分段点处的等号是否成立避免遗漏或错误 【题型专练】 31．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·山东济宁·期末）已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________. 33．（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【题型8：函数的最值】 【解题策略】 知识梳理 1最值定义：函数在定义域内的最大值和最小值 2求最值的方法：配方法单调性法导数法换元法基本不等式法 3常见结论： 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值 单调函数在闭区间上的最值在端点处取得 二次函数的最值在顶点或端点处取得 解题方法 1配方法：二次型函数配方后结合定义域求最值 2单调性法：分析函数在定义域内的单调性结合端点值求最值 3导数法：求导后分析函数的极值和端点值确定最值 4换元法：换元后转化为熟悉的函数求最值 5基本不等式法：利用均值不等式求最值注意等号成立条件 【题型专练】 36．（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 37．（2026·湖南·三模）已知函数 且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 38．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 39．（25-26高三上·北京·月考）设函数，若只有一个零点，则的一个取值为___________，若存在最小值，则的最大值为___________． 40．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是__________． 【题型9：函数的奇偶性求参数】 【解题策略】 知识梳理 1奇偶性定义： 奇函数：定义域关于原点对称图像关于原点对称 偶函数：定义域关于原点对称图像关于y轴对称 2常见结论： 若奇函数在处有定义则 奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇 解题方法 1定义法：根据或列方程求解参数 2特殊值法：利用（奇函数）或（偶函数）列方程求参数 3定义域对称：先保证函数的定义域关于原点对称再列方程求参数 4易错点：定义域关于原点对称是奇偶性的前提必须先验证 【题型专练】 41．（2026·甘肃金昌·三模）若定义在上的奇函数满足时，，则________． 42．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 43．（2026·江苏·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 44．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则________. 45．（2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数__________. 【题型10：函数的奇偶性求解析式】 【解题策略】 知识梳理 1已知函数在部分区间上的解析式和奇偶性求对称区间上的解析式 2核心思路：利用奇偶性的定义设对称区间上的自变量转化为已知区间上的自变量代入解析式求解 解题方法 1设对称区间上的自变量：设则（已知时的解析式） 2代入已知解析式：求 3利用奇偶性：奇函数偶函数得到时的解析式 4综合分段：写出完整的分段函数解析式 【题型专练】 46．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 47．（2026·江西·模拟预测）奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 48．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高一上·江西·月考）（多选）已知定义在上的奇函数和偶函数满足， ，则（ ） A．是奇函数 B．是增函数 C．的值域为 D． 50．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为___________． 【题型11：函数的奇偶性单调性解不等式】 【解题策略】 知识梳理 1核心依据：奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反 2利用奇偶性转化不等式：如奇函数可转化为再利用单调性求解 解题方法 1利用奇偶性转化不等式：将不等式转化为与的大小关系 2利用单调性去掉：若函数单调递增则；若单调递减则相反 3注意定义域：解出的结果必须在函数的定义域内 4易错点：偶函数的单调性在对称区间上相反需注意转化后的不等号方向 【题型专练】 51．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 52．（2026·陕西商洛·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 53．（2026·福建漳州·模拟预测）若函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 54．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______． 55．（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，， 若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型12：函数的对称性求参数】 【解题策略】 知识梳理 1轴对称：函数关于直线对称则或 2中心对称：函数关于点对称则或 3常见对称： 关于y轴对称：（偶函数） 关于原点对称：（奇函数） 关于直线对称： 解题方法 1定义法：根据轴对称或中心对称的定义列方程求解参数 2特殊值法：代入对称点的坐标列方程求参数 3图像法：根据函数图像的对称性结合关键点的位置求参数 4易错点：区分轴对称和中心对称的条件避免混淆 【题型专练】 56．（25-26高一上·青海海东·期末）若函数的图象存在对称轴，则常数__________. 57．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________． 58．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 59．（25-26高三上·河北·期中）若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 60．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 【题型13：由函数的奇偶性对称性求函数值】 【解题策略】 知识梳理 1利用奇偶性：奇函数偶函数转化函数值 2利用对称性：轴对称中心对称转化函数值 3常见模型：周期函数与对称性结合如则周期为 解题方法 1利用奇偶性转化：将负自变量转化为正自变量代入已知解析式求函数值 2利用对称性转化：将自变量转化为对称点的自变量求函数值 3周期性转化：若函数具有周期性可将自变量转化为已知区间内的自变量求函数值 4综合应用：结合奇偶性、对称性和周期性多次转化求函数值 【题型专练】 61．（2025·河南郑州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 62．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 63．（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 64．（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 65．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【题型14：函数的性质综合】 【题型专练】 66．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 67．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（   ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 68．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 69．（2024·河南开封·三模）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 70．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（    ） A． B． C． D． 高考真题检测 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 10．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 13．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 16．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 21．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 22．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 23．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则_____________． 24．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 25．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【函数及其性质小题常考14大核心题型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的定义域】 【解题策略】 知识梳理 1定义域定义：使函数有意义的自变量的取值集合 2常见限制条件： 分式：分母不为0 偶次根式：被开方数非负 对数：真数大于0底数大于0且不等于1 零指数幂：底数不为0 三角函数：正切余切 3复合函数定义域：内层函数的值域是外层函数的定义域 解题方法 1列不等式组：根据限制条件列出不等式求解交集 2复合函数定义域： 已知定义域为求定义域：解 已知定义域为求定义域：求在上的值域 【题型专练】 1．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，所以． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 3．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于甲，由得，对于乙，由得，可知甲是乙的充分不必要条件． 4．（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 5．（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需使，解得或， 即函数的定义域为. 【题型2：函数的值域】 【解题策略】 知识梳理 1值域定义：函数值的集合 2常见方法：观察法配方法换元法分离常数法判别式法单调性法导数法 3常见函数值域： 一次函数：时值域为 二次函数：时时 反比例函数：时值域为 指数函数：时值域为 对数函数：时值域为 三角函数： 解题方法 1配方法：二次型函数配方后结合单调性求值域 2换元法：对含根号或分式的函数换元转化为熟悉的函数 3分离常数法：分式函数分离常数转化为反比例型函数 4判别式法：对分式二次函数转化为一元二次方程利用判别式求值域 5单调性法：分析函数单调性结合端点值求值域 6导数法：对复杂函数求导分析单调性和极值确定值域 【题型专练】 6．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 7．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 【详解】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 8．（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 9．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意，，, 令函数， 则， 所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称， 因函数在对称区间上的值域为，故． 10．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 【题型3：函数的解析式】 【解题策略】 知识梳理 1常见求解析式的方法：待定系数法换元法配凑法方程组法赋值法图像法 2常见函数模型：一次函数二次函数反比例函数指数函数对数函数三角函数 解题方法 1待定系数法：已知函数类型设出一般形式代入已知条件求系数 2换元法：已知令反解代入求 3配凑法：将配凑成的形式直接写出 4方程组法：对与或列方程组消元求 5赋值法：对抽象函数赋值求特殊点的函数值或解析式 6图像法：根据函数图像的形状设出函数形式代入关键点求解析式 【题型专练】 11．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数. 【详解】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 12．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 13．（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】令，解得，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得， 所以． 故选：C. 14．（25-26高三上·福建福州·月考）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以 ，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以 ， 又， 所以 或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得： ，. 【题型4：分段函数】 【解题策略】 知识梳理 1分段函数定义：在定义域的不同部分有不同的对应法则 2关键：分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集 3常见考点：分段求值分段不等式分段函数的单调性奇偶性 解题方法 1分段求值：根据自变量的取值范围代入对应的解析式计算 2分段不等式：对自变量的取值范围分类讨论分别解不等式再求并集 3分段函数的性质：分别分析各段的性质再综合考虑分段点处的情况 4易错点：分段点处的定义和连续性避免漏解或多解 【题型专练】 16．（2026·河北保定·二模）已知函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】. 17．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数的取值范围是，即的最小值为. 18．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 19．（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可． 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 【题型5：函数的单调性求参数】 【解题策略】 知识梳理 1单调性定义：设若则在上单调递增；若则在上单调递减 2导数法：若在上恒成立则在上单调递增；若在上恒成立则在上单调递减 3常见函数单调性： 一次函数：时单调递增时单调递减 二次函数：时在上单调递减在上单调递增；时相反 指数函数：时单调递增时单调递减 对数函数：时单调递增时单调递减 解题方法 1定义法：根据单调性定义列不等式求解参数范围 2导数法：求导后令或在给定区间上恒成立求解参数范围 3复合函数单调性：同增异减外层函数与内层函数单调性相同则复合函数递增相反则递减 4分段函数单调性：各段单调性一致且分段点处满足单调性要求列不等式组求解 【题型专练】 21．（2026·山东德州·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】AB可通过特殊值举反例判断，CD可通过构造函数，通过其单调性判断的大小关系，即可判断. 【详解】对于A，取，满足，而，A错； 对于B，取，满足，而，B错； 对于C，D，将原不等式移项变形得： ， 构造函数 ，由解析式可知在定义域上单调递增， 原不等式等价于 ，则， 则，， 即，，故C错，D对. 22．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围. 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. 23．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 24．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 25．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 【题型6：复合函数的单调性】 【解题策略】 知识梳理 1复合函数定义：设则为复合函数 2单调性法则：同增异减 与单调性相同则单调递增 与单调性相反则单调递减 3定义域：内层函数的值域必须是外层函数的定义域的子集 解题方法 1分解复合函数：将分解为外层函数和内层函数 2分别分析单调性：确定和的单调区间 3利用同增异减法则：确定复合函数的单调区间 4易错点：注意复合函数的定义域单调区间必须是定义域的子集 【题型专练】 26．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 27．（25-26高三上·安徽·月考）当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域可得，结合复合函数单调性分别确定函数与函数的单调性，从而得在上的单调性，从而得最值，于是求得的值. 【详解】因为，所以函数在处无定义，所以， 又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 再由，得， 由，可解得． 故选：D. 28．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 29．（2025·青海·模拟预测）（多选）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】令，则在，上单调递减； 对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 30．（2025·广东梅州·模拟预测）（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由定义域判断A，由复合函数的单调性判断B，根据函数的定义域、奇偶性、单调性判断CD. 【详解】的定义域为，不是，不符合题意，故A错误； 令，则在上函数单调递增，且，而单调递减， 由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误； 的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； ，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数， 当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确. 故选：CD 【题型7：分段函数的单调性】 【解题策略】 知识梳理 1分段函数单调性要求： 各段函数在各自的定义域内单调性一致 分段点处满足单调性要求（递增时左段最大值≤右段最小值递减时左段最小值≥右段最大值） 2常见考点：根据分段函数的单调性求参数范围 解题方法 1分析各段单调性：分别确定每一段函数的单调性列不等式 2分段点处验证：列不等式保证分段点处的单调性 3求解参数范围：解不等式组得到参数的取值范围 4易错点：分段点处的等号是否成立避免遗漏或错误 【题型专练】 31．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到相应的不等式组，进而求解即可． 【详解】由在上单调递减，而在上单调递增， 所以在上单调递减， 想要函数 在上单调递减， 即要在上单调递减，且， 即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D 32．（25-26高一上·山东济宁·期末）已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先保证各段单调，再保证衔接点处函数值满足单调. 【详解】当时，， 因为，所以在上单调递增， 又是上的单调函数，当时，， 所以在上单调递增，且. 由在上单调递增可知 （1）因为函数的图象开口向上， 所以需要在上单调递增，且， 即，解得； （2）需要在定义域上单调递增，所以. 由上知，. 由得， 结合得，解得. 综上，，即实数的取值范围是. 33．（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 34．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，分段分析即可，注意分段点出也要满足单调增. 【详解】当时， ，显然为增函数， 当时， ，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴， 即即可， 当时，， 故的取值范围是， 故选：B. 35．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由不等式可以判断函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可. 【详解】或，所以函数单调递增， 二次函数的对称轴为， 要想为实数集上的增函数， 只需， 故答案为： 【题型8：函数的最值】 【解题策略】 知识梳理 1最值定义：函数在定义域内的最大值和最小值 2求最值的方法：配方法单调性法导数法换元法基本不等式法 3常见结论： 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值 单调函数在闭区间上的最值在端点处取得 二次函数的最值在顶点或端点处取得 解题方法 1配方法：二次型函数配方后结合定义域求最值 2单调性法：分析函数在定义域内的单调性结合端点值求最值 3导数法：求导后分析函数的极值和端点值确定最值 4换元法：换元后转化为熟悉的函数求最值 5基本不等式法：利用均值不等式求最值注意等号成立条件 【题型专练】 36．（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值． 【详解】依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， 所以，解得． 故选：A 37．（2026·湖南·三模）已知函数 且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 38．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分、、、四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】①若，则， 因为的图象的对称轴为， 故该函数在上单调递增，所以， 若，则，当时，，则有最小值； 若，因为在上单调递减，所以， 若存在最小值，则，得，舍去； 若，因为在上单调递增，所以， 若存在最小值，则，得； ②若，因为在上单调递增，所以， 因为，则的最小值必在上取得，符合题意； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 39．（25-26高三上·北京·月考）设函数，若只有一个零点，则的一个取值为___________，若存在最小值，则的最大值为___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】结合零点定义分、进行讨论即可得空一；分、、结合单调性讨论即可得空二. 【详解】若，则当时，，即在时无零点， 当时，令，则，则有， 由，则恒成立，故此时只有一个零点； 若，则当时，，为零点， 则当时，无零点，若，符合， 若，则有，解得或， 即有或； 综上可得：若只有一个零点，则或或； 若，，则； 若，当时，单调递增， 当时，，故没有最小值，不符； 若，当时，单调递减，， 当时，， 故或，解得， 综上可得，故的最大值为. 故答案为：（答案不唯一）；. 40．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】当时，，则当时，，利用导数研究函数的单调性和最大值即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以当时，， 当时，，所以， 令有：或，由或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，令，即， 解得或，所以，    要使当时，，只需，即， 故答案为：. 【题型9：函数的奇偶性求参数】 【解题策略】 知识梳理 1奇偶性定义： 奇函数：定义域关于原点对称图像关于原点对称 偶函数：定义域关于原点对称图像关于y轴对称 2常见结论： 若奇函数在处有定义则 奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇 解题方法 1定义法：根据或列方程求解参数 2特殊值法：利用（奇函数）或（偶函数）列方程求参数 3定义域对称：先保证函数的定义域关于原点对称再列方程求参数 4易错点：定义域关于原点对称是奇偶性的前提必须先验证 【题型专练】 41．（2026·甘肃金昌·三模）若定义在上的奇函数满足时，，则________． 【答案】 【分析】由奇函数的性质求出a， 再利用函数的奇偶性及题中所给解析式进行求解. 【详解】由题意知，解得， 因为，所以． 故答案为： 42．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 43．（2026·江苏·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数性质求出，然后利用和差公式化简即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得或， 因为，即，所以，可得， 则， 显然为奇函数，满足题意， 当时，取得最大值. 44．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，由列出关于与的方程，求解即得的值． 【详解】因为函数为奇函数， 当时,，由可得， 即 因是任意非零实数，则,解得,，故. 故答案为：. 45．（2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数__________. 【答案】1 【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解. 【详解】， 所以， 因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 所以， 所以，解得， 此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意. 故答案为：1. 【题型10：函数的奇偶性求解析式】 【解题策略】 知识梳理 1已知函数在部分区间上的解析式和奇偶性求对称区间上的解析式 2核心思路：利用奇偶性的定义设对称区间上的自变量转化为已知区间上的自变量代入解析式求解 解题方法 1设对称区间上的自变量：设则（已知时的解析式） 2代入已知解析式：求 3利用奇偶性：奇函数偶函数得到时的解析式 4综合分段：写出完整的分段函数解析式 【题型专练】 46．（2026·重庆·模拟预测）（多选）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 【答案】BCD 【分析】本题可根据奇函数的性质以及函数极值的求法，对选项逐一进行分析即可判断． 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，故A错误； 当时，，则 ， 根据奇函数的性质 ，故B正确； 当时，，则有， 又因为是奇函数，即， 所以 ，故C正确； 当 时， ， 令，即 ，解得； 当时，单调递减；当 时， 单调递增. 所以是在上的极小值点，. 当 时，可得：， 令，解得. 当时，单调递增；当 时， 单调递减. 所以是在上的极大值点， ，即 的极大值为 ，故D正确. 47．（2026·江西·模拟预测）奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 【答案】 【分析】先求出当时的解析式，然后由导数的几何意义求解即可. 【详解】当时，则，所以， 因为是奇函数，所以， 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 48．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合偶函数定义证明为偶函数，设，结合奇函数性质求，由此可得结论. 【详解】 已知， 令，则， 原式可化为，因此是偶函数， 设，由题知是奇函数， 故，即 ，又， 所以 代入得： . 49．（25-26高一上·江西·月考）（多选）已知定义在上的奇函数和偶函数满足， ，则（ ） A．是奇函数 B．是增函数 C．的值域为 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合选项，逐项计算，进行判断，即可求解. 【详解】对于A，由，因为为奇函数，为偶函数， 可得，联立方程组，解得， 所以，可得， 所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B，因为为偶函数，所以函数不可能为单调增函数，所以B错误； 对于C，由函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，可得，， 则 ， 且 ， 所以， 所以D正确. 故选：ACD. 50．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】因为偶函数，则①， 又为奇函数，则②， 由①－②，整理得，则，其中， 故当时，即时，的最大值为. 故答案为：. 【题型11：函数的奇偶性单调性解不等式】 【解题策略】 知识梳理 1核心依据：奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反 2利用奇偶性转化不等式：如奇函数可转化为再利用单调性求解 解题方法 1利用奇偶性转化不等式：将不等式转化为与的大小关系 2利用单调性去掉：若函数单调递增则；若单调递减则相反 3注意定义域：解出的结果必须在函数的定义域内 4易错点：偶函数的单调性在对称区间上相反需注意转化后的不等号方向 【题型专练】 51．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 52．（2026·陕西商洛·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致，即可求出的解集. 【详解】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致， 所以在上单调递增，且， 由可得：且,或且, 所以或时， 故不等式的解集为. 53．（2026·福建漳州·模拟预测）若函数是定义在上的奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是奇函数求出，由复合函数单调性判断的单调性，由奇函数性质和单调性求解不等式. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得，所以， 令，则， 因为，所以，所以恒成立， 即在上单调递增，又是增函数，所以在上单调递增. 因为，所以． 又是增函数，所以，解得． 故选：A． 54．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解. 【详解】函数， 令，解得，故函数的定义域为， ， 故函数是奇函数. 而函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ， 所以所求不等式的解集为． 故答案为:. 55．（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，， 若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和偶函数的性质求出时， ，再根据的范围，解不等式. 【详解】当时，则，由题意得，因为函数是定义域为的偶函数，所以，即时，； 又因为，所以当时，，解得；当，，解得，综上所述的取值范围是， 故选：B. 【题型12：函数的对称性求参数】 【解题策略】 知识梳理 1轴对称：函数关于直线对称则或 2中心对称：函数关于点对称则或 3常见对称： 关于y轴对称：（偶函数） 关于原点对称：（奇函数） 关于直线对称： 解题方法 1定义法：根据轴对称或中心对称的定义列方程求解参数 2特殊值法：代入对称点的坐标列方程求参数 3图像法：根据函数图像的对称性结合关键点的位置求参数 4易错点：区分轴对称和中心对称的条件避免混淆 【题型专练】 56．（25-26高一上·青海海东·期末）若函数的图象存在对称轴，则常数__________. 【答案】 【分析】求出函数的定义域，从而求出对称轴为，由即可求解 【详解】由题意得：，即，解得或， 若函数的图象存在对称轴，则对称轴为. 所以，即， 即，所以，解得. 故答案为： 57．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________． 【答案】2 【分析】由题意得到，代入解析式即可求解. 【详解】由可得: ， 即恒成立， 得到恒成立，即， 即，恒成立， 因为在定义域内不恒为0， 所以， 即恒成立， 展开可得，即或， 当时，定义域为空集，舍去， 所以，所以． 故答案为：2 58．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 59．（25-26高三上·河北·期中）若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数过点，求出点关于直线对称点，进而求得，设函数图象上的点关于点的对称点为，点在函数的图象上，代入求解即可. 【详解】函数过点， 而点关于直线对称的点为， 因为函数的图象关于直线对称， 所以点在函数的图象上， 则，即，则， 设函数图象上的点关于点的对称点为， 所以，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，所以. 故选：B 60．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，再求证，即可结合对称性得出求出值. 【详解】令函数， 可得 ， 即，所以函数的图象关于直线对称， 因为函数与恰有一个交点，所以， 可得，解得. 故选：C. 【题型13：由函数的奇偶性对称性求函数值】 【解题策略】 知识梳理 1利用奇偶性：奇函数偶函数转化函数值 2利用对称性：轴对称中心对称转化函数值 3常见模型：周期函数与对称性结合如则周期为 解题方法 1利用奇偶性转化：将负自变量转化为正自变量代入已知解析式求函数值 2利用对称性转化：将自变量转化为对称点的自变量求函数值 3周期性转化：若函数具有周期性可将自变量转化为已知区间内的自变量求函数值 4综合应用：结合奇偶性、对称性和周期性多次转化求函数值 【题型专练】 61．（2025·河南郑州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为是奇函数，，所以， 因为函数的图象关于对称，所以， 即. 故选：D. 62．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 63．（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称. 当时，，则. 64．（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 65．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得. 【详解】由，可知关于对称，又，则， 又，则， ，. 故选：A. 【题型14：函数的性质综合】 【题型专练】 66．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 67．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（   ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 【答案】D 【分析】根据条件变形得到，再结合条件求得，再通过赋值求的值. 【详解】由条件，可知，，，以上三个式子相加得：， 又，所以， ，，，…，， 以上式子相加得， 所以. 故选：D 68．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 69．（2024·河南开封·三模）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 【答案】ABC 【分析】利用赋值法求判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得，化简得，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B. 【详解】由， 令，，有，可得,故A正确； 令，则，则， 函数是偶函数， 而为奇函数，故D错误， ，令， 则， 所以， 则， ， 所以，则周期为6，C正确． 由于为偶函数且周期为6，故，B正确， 故选：ABC 70．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对称性即可判断A，根据，，的值即可排除B,根据可求解C，根据即可求解D. 【详解】因为的图象关于中心对称，则,故A正确； 由，可得，则，取得， 在中取可得，则， 由，得，故B错误； 由，得 ①②， ②-①得，又，故C正确； 又由① ，故D正确. 故选：ACD. 高考真题检测 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 7．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 9．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 10．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 11．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 13．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 16．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、多选题 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 三、填空题 20．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 21．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 22．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 【答案】 / 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以 ， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 23．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则_____________． 【答案】 【分析】根据指数函数图象可得的图象，写出其对称轴，由特殊推一般，可得的对称轴，即可求出的值. 【详解】因为的对称轴为， 的对称轴为相当于y＝向右平移1个单位，所以. 故答案为：. 24．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 25．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $