精品解析：广东广州市增城区增城中学2025-2026学年第二学期开学适应性训练高二数学

2025-2026学年度第2学期开学适应性训练 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，，则 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可． 【详解】由题意知，所以. 故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题． 2. 在三棱锥中，点M是中点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】表达出和，得出，，的值，即可求出的值. 【详解】由题意， 在三棱锥中，点M是中点， 连接，， 在中， ， 在中， ， ∴, ∴，， ∴， 故选：A. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 4. 已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 5. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可. 【详解】由题意得，由等比中项性质得， 故. 故选：C 6. 椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ） A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a，b，c的值，即可列出方程，从而求得m的值． 【详解】由题意知椭圆焦距为2，即c＝1， 当焦点在x轴上时，则，，即， 当焦点在y轴上时，则，，即， m的值为5或3. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的理解，属于基础题. 7. 在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 8. 已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3 C. 4或5 D. 3或5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且， 因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆， 又因为点P在圆上， 可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或， 即或，解得或. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可得正确的选项. 【详解】对于A，；对于B，，故A错B对， 对于C，，故C对； 对于D，，故D对， 故选：BCD. 10. 已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. D. 存在实数，使得为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据等比数列的定义，判断A，再求通项公式，判断C，再代入B选项，判断B，最后假设存在，设，则，求出后，再验证，判断D. 【详解】，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； ，所以，故C正确； ， ，，所以数列是等比数列，故B错误； 因为，所以， 设， ，，， 若是等比数列，则， 即 解得：， 所以， ，，所以数列不是等比数列， 即不存在实数，使数列是等比数列，故D错误. 故选：AC 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 存在直线与交于，两点，且为的中点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：利用点差法运算求解. 【详解】由双曲线的方程可知：，，，且焦点在x轴上， 则，，双曲线的渐近线方程为， 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当，，三点共线时，取得等号，故B正确； 对于选项C：当过的直线与双曲线相切时，有两条与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，也有两条与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：设，， 若为的中点，可得，， 因为，两式相减可得， 即为，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 则， 即直线与双曲线相交，可得直线存在，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，检验首项即得参数值. 【详解】由，当时，；当时，， 因是等比数列，故时，，解得,此时，，符合题意. 故答案为：. 13. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的坐标，根据空间点到平面的距离的向量求法，即可求得点到平面的距离. 【详解】由题意可得， 又是平面的法向量， 则点到平面的距离为， 故答案为： 14. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【小问1详解】 解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1） 证明：在中，，， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得，再由面面垂直性质定理得平面，从而利用线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量法求解两平面夹角的余弦值，进一步求出夹角 【小问1详解】 证明：在中，，， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 由（1）知，平面，， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，，，，， 设平面的法向量为， 则，可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可得平面一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以平面与平面的夹角为. 17. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线过点，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的方程； （2）利用点到直线距离公式即可求得直线l的方程. 【小问1详解】 设圆C的标准方程为， 因为圆心C在直线上，①， 因为圆经过点，将A，B两点代入圆方程可得： ②，③， 联立①②③解得，，，， 圆C的方程为. 【小问2详解】 因为圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1， 圆心C到直线l的距离， 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为， 圆心C到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率不存在时，设直线l的方程为，即， 圆心C到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线l的方程为或. 18. 已知数列的首项且满足. （1）证明：是等比数列； （2）数列满足，，求数列的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 【答案】（1） 由得：，， ，，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可得，由等比数列定义可得结论； （2）利用累乘法可求得； （3）由等比数列通项公式求法可求得，由此可得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 当时，； 当时，满足； 综上所述：. 【小问3详解】 由（1）得：，，又， ； ， ， ， . 19. 如图，已知分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，若，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点P坐标为，设不过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为，记直线，PB，的斜率分别为k，，，若，求证：直线的斜率k为定值. 【答案】（1） （2）证明:设直线的方程为，代入得， 则， 设，则， 于是. ， 又，所以，即，即， 即， 所以，. 将代入整理得， 即， 所以或 当，即时，直线的方程为，则直线过点，舍去， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）将两边平方可得为直角三角形，然后根据直角三角形的面积及勾股定理计算可得的值，进而可得椭圆C的标准方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，通过计算及可得到，结合韦达定理计算可得斜率k的值. 【小问1详解】 由两边平方得， 所以. 因为，所以，即. 由得，即 又， 即，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第2学期开学适应性训练 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，若，，则 A. B. 1 C. D. 2. 在三棱锥中，点M是中点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 6. 椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ） A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 8 7. 在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3 C. 4或5 D. 3或5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. D. 存在实数，使得为等比数列 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 存在直线与交于，两点，且为的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，则__________. 13. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________. 14. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的大小. 17. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线过点，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，求直线的方程. 18. 已知数列的首项且满足. （1）证明：是等比数列； （2）数列满足，，求数列的通项公式； （3）记，求数列的前项和. 19. 如图，已知分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，若，. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点P坐标为，设不过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为，记直线，PB，的斜率分别为k，，，若，求证：直线的斜率k为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $