精品解析：广东广州市第六中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

2026广州市第六中学高二下学期开学考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算计算即可. 【详解】由，得，所以，则. 又， 所以，，，不是的子集. 故选：. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据复数的概念，即可求解． 【详解】因为，所以其虚部为． 故选：D． 3. 甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解. 【详解】设这份密码被破译出为事件， 所以, 所以, 故选:D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得，进而，结合两角和的正切关系计算即可求解. 【详解】由，得， 等式两边同时除以，得， 即，又，所以， 所以. 故选：A 5. 在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，因为平面的法向量既垂直于平面内的向量，也垂直于平行于平面的向量，求得法向量，由点到面的距离公式即可求得结果. 【详解】如图，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， ∵，，∴，， 即， 令则， 即为平面的一个法向量， ∴点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到面的距离可以由点与平面上一个点的向量在这个平面的法向量上的投影长得到，所以本题需要求出平面的其中一个法向量，平面的法向量可以通过平面内的向量和平行于平面的向量来求得. 6. 已知，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数，指数函数，幂函数单调性，换底公式，基本不等式可比较大小. 【详解】注意到，则，从而； ，因，，则， 注意到， 又，从而； ，因， ，则， 从而； 综上可得：. 故选：A 7. 已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可. 【详解】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 8. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合对勾函数的性质即可得答案． 【详解】设椭圆与双曲线的焦距，， 由题意， ，， ，， ， ， ，则 ， ， ，解得， 设，则，， ， 在上单调递增， ． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知中直线的方程，易求出直线斜率的取值范围，再根据直线斜率与倾斜角之间的关系，即可判断A；根据圆的性质结合两点间的距离公式可得，解不等式即可得r的取值范围，即可判断B；根据两直线垂直的充要条件得的值，结合充分与必要条件即可判断C；分截距为0和不为0两种情况进行求解，即可判断D． 【详解】对于A，直线的斜率为 由正弦型函数的性质，得，故直线的倾斜角的取值范围是，故A错误； 对于B，若圆上恰有两点到点的距离为1， 则圆心到点的距离满足：， 则，解得，故r的取值范围是，故B正确； 对于C，由直线与直线互相垂直可得，解得或， 所以“直线与直线互相垂直”是“”的必要而不充分条件，故C错误； 对于D，当直线在x轴、y轴上的截距均为0时，过点的直线方程为， 当直线在x轴、y轴上的截距相等不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，故直线方程为， 综上，直线方程为或，故D错误. 故选：ACD. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，．若在第一象限，且在的右支上，，到轴的距离为，过作动直线与的左支交于，两点，则（ ） A. B. 的一条渐近线的倾斜角为 C. 直线与的交点在直线上 D. 的内切圆的圆心坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】由到轴的距离为，将的坐标代入的方程，因为，所以，求解即可判断A；求出双曲线的渐近线即可得出夹角即可判断B；将直线特殊化，设，，再联立两条直线求解即可，即可判断C；由已知及双曲线的定义得，内切圆的圆心在直线，由求解，即可判断D. 【详解】不妨设在第一象限，由到轴的距离为，设， 将的坐标代入的方程得，所以，因为，所以， 所以，解得，所以A正确； 所以C的渐近线方程为，倾斜角分别为，，所以B错误； 将直线特殊化：设的方程为，不妨设， 所以的方程为，的方程为， 联立解得，的交点坐标为，不在直线上，所以C错误； 由已知及双曲线的定义得，内切圆的圆心在直线，即上， 又，，， 设内切圆的半径为，则，解得， 所以的内切圆的圆心坐标为，所以D正确． 故选：AD． 11. “0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛．设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”， 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列．例如数列：1，0，则数列．已知数列，且数列，记数列中0的个数为的个数为，数列的所有项之和为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得，，两式相加、相减即可判断AB，进一步，，，由此可判断CD. 【详解】记数列中0的个数为的个数为，则，， 两式相加得，又， 所以数列是以5为首项、3为公比的等比数列，故A正确； 两式相减得，又， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列，故B正确； 而，， ，，， ，故C正确； ， 设，所以， 但，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：判断CD选项的关键是得到，，，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，，证明是奇函数，由奇函数的对称性求结论． 【详解】设，， 则， ， 所以是奇函数， 又，， 所以，． 故答案为：． 13. 已知函数，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，令，则，利用二次函数性质求解最大值即可. 【详解】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 故答案为： 14. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有__________个，的所有可能取值构成的集合是__________. 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数； 【详解】①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是； 故答案为：7； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）若在点处的切线为，求，的值； （2）求的解集. 【答案】（1），. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）含参讨论的正负解不等式即可. 【小问1详解】 易知的定义域为， 因为， 因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：. 即，的值为：，. 【小问2详解】 . ①当时，在上恒成立，所以的解集为； ②当时，令，解得：. 综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． （1）若，证明：平面； （2）已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）因为平面，平面，所以 ，是直角三角形， 因为是的中点，所以，因为 ，所以，可得， 因为 平面，，所以 ， 因为 ，，，平面，，所以平面； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直得到直角三角形，利用直角三角形的性质和线面垂直的判定定理可证结论； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用平面夹角得出的长，结合条件公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，因为两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面PCD的一个法向量为， 又由，， 有，又由平面和平面的夹角的余弦值为，有， 解得， 故，所以． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 19. 已知点是抛物线上一点，点，． （1）求的坐标和抛物线C的方程； （2）连接交C于另一点，令为关于x轴的对称点，连接交C于另一点，令为关于x轴的对称点……，如此不断循环，即连接交C于另一点，令为关于x轴的对称点，得到点列和，设，． （i）证明：数列为等差数列； （ⅱ）记四边形的面积为，求并证明：． 【答案】（1）； （2） （i）由题意可知共线，且，， 由在抛物线上，则，即， 由共线以及三点所在直线斜率存在，则， 可得，化简可得， 整理可得，即，所以数列是等差数列. （ii），证明： 当时，，可得， 故 . 【解析】 【分析】（1）根据两点距离公式，结合抛物线方程，建立方程，可得答案. （2）（i）根据斜率公式，结合共线的三点坐标，利用等差数列的概念，可得答案；（ii）利用分割法，结合三角形面积公式，结合等差数列的通项公式，再利用放缩法，可得答案. 【小问1详解】 由在抛物线上，则，即， 可得，化简可得，解得， 所以抛物线. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知数列是等差数列，公差为，且， 则，即， 由题意可得，，，， 即，，， 则四边形的面积 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026广州市第六中学高二下学期开学考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，，，则（     ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D. 过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，．若在第一象限，且在的右支上，，到轴的距离为，过作动直线与的左支交于，两点，则（ ） A. B. 的一条渐近线的倾斜角为 C. 直线与的交点在直线上 D. 的内切圆的圆心坐标为 11. “0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛．设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”， 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列．例如数列：1，0，则数列．已知数列，且数列，记数列中0的个数为的个数为，数列的所有项之和为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 13. 已知函数，则的最大值是______． 14. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有__________个，的所有可能取值构成的集合是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）若在点处的切线为，求，的值； （2）求的解集. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． （1）若，证明：平面； （2）已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 19. 已知点是抛物线上一点，点，． （1）求的坐标和抛物线C的方程； （2）连接交C于另一点，令为关于x轴的对称点，连接交C于另一点，令为关于x轴的对称点……，如此不断循环，即连接交C于另一点，令为关于x轴的对称点，得到点列和，设，． （i）证明：数列为等差数列； （ⅱ）记四边形的面积为，求并证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $