广东广州市增城中学、协和中学、华侨中学三校联考2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

2025-26学年第二学期期中考试 高二数学试题2026年4月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟。 第一部分选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系，则该运动员在t=2s时的瞬时速度为（ ） A.-17m/s B.17m/s C.-6m/s D.6m/s 2.已知从甲地直接到丙地有2条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地中转到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（ ） A.9条 B.14条 C.20条 D.24条 3.已知，若-1，a，b，c，-4成等比数列，则实数a，b，c的乘积的值为（ ） A.-4 B.4 C.-8 D.8 4.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论不正确的有（ ） -1 0 3 4 5 1 2 0 2 1 A.函数的极大值点有2个 B.函数在是减函数 C.对任意， D.当时，函数有4个零点 5.若，则的值是（ ） A.-5 B.-3 C.3 D.5 6.汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（ ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低. A.60千米/小时 B.80千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时 7.在4×4的棋盘中，放入2颗黑子和2颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（ ）种不同的放法. A.24 B.36 C.72 D.144 8.已知函数，.设和的零点分别为m和n，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.等差数列的公差为d，前n项和为，当首项和d变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有（ ） A. B. C. D. 10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ） A. B.只有第3项的二项式系数最大 C.若，则展开式中常数项为15 D.若展开式中各项系数之和为64，则 11.已知函数，直线：，则下列说法正确的是（ ） A.若的极大值点为1，则 B.若在区间上为单调函数，则 C.当时，曲线恒在直线的下方 D.若点P是曲线上任意一点，点Q是直线上任意一点.设点P，Q间的距离为d，则当时，d的最小值为 第二部分非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线在点处的切线方程为_______. 13.6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况），甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有____不同的情况.（用数字作答） 14.已知数列的前n项积为，，，则______（连乘积用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知数列的前n项和为，且，数列为正项等比数列，且，. （1）求和的通项公式； （2）求的前n项和. 16.（15分） 已知在处取得极值. （1）求实数的值，并求出的极值； （2）求在上的最值. 17.（15分） 设甲袋中有3个白球、2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球、3个红球和m个黑球，这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. （1）求m的值； （2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； （3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙箱取出的是白球或黑球的概率. 18.（17分）教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，，且数列满足. （1）求和； （2）证明数列是等比数列，并求； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19.（17分） 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，设. （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：. 2025-2026学年第二学期期中考试高二数学答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C C A B D A BC AC ACD 填空题 12. 13.144 14.；2 解答题 15.（1）当时，. 当时，，也符合上式， 所以； 设的公比为q，则，又，， 所以，即， 解得， 所以. （2）设的前n项和为，由（1）得，， . 16.（1）因为，所以， 因为在处取得极值，所以，即，解得. 当时，，令，解得或， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 所以符合题意； 时，， 所以的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 且在上有极小值为， 又，，， 所以函数的最小值为，最大值为. 17.（1）从乙袋中任取一球，有种等可能得取法，即， 设“从乙袋中取出一球是红球”，则， 根据古典概型概率计算公式，， 解得. （2）设“取出的第一个球是白球”，“取出的第二个球是红球”， 法一：，， 所以. 即在取出的第一个球是白球的条件下，第二个球是红球的概率为. 法二：，，. 所以，， 所以. 即在取出的第一个球是白球的条件下，第二个球是红球的概率为. 法三：在取出的第一个球是白球的条件下，第二次取球时甲袋中剩余9球，其中有2个红球， 所以， 即在取出的第一个球是白球的条件下，第二个球是红球的概率为. （3）设“从甲袋中取出一个球为白球或黑球”， 则“从甲袋中取出一个球为红球”， 设“从乙袋中取出一个球为白球或黑球”， 则，， ，， 由全概率公式， . 18.略 19.（1）当时，，， ①当时，恒成立，在单调递减； ②当时，令0，解得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上所述，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间， 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i）当，时，， 所以，其定义域为. 所以，. 令，得或， 设，所以在上恒成立， 所以在上单调递减. 又，， 所以存在唯一，使. 故时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值. （ii）因为的极小值点为，所以. 又，且在上单调递增， 所以； 又由（i），使，所以， 两边取自然对数得，即，即. 所以， 设，， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即. 综上所述：. 学科网（北京）股份有限公司 $