广东实验中学2025-2026学年高一下学期中段模块考试数学试题

广东实验中学2025-2026学年（下）高一级中段模块考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，是上的一点，若是的角平分线，，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的值域为 C. D. 的零点小于 10. 下列四个命题中错误的是（ ） A. 如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B. 如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C. 如果直线，和平面满足，，，那么 D. 如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 若Q，M，N，P四点共面，则 C. 过点有且仅有一条直线与，都相交 D. 点在侧面上（包括边界），且平面，则三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 13. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 14. 已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且恒成立. （1）求的解析式； （2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 16. 如图所示，在扇形广场中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段，上，，，记. （1）当时，求； （2）草地为阴影部分，求面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值. 17. 如图，在棱长都为4的直三棱柱中，D，E，F，G，H分别为，，，，的中点. （1）求直三棱柱的体积； （2）证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与平行； （3）证明：，，三线共点. 18. 已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足 （1）求证：； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的最大值. 19. 已知为虚数单位，定义的解称为次单位根或单位根，这个单位根分别为.复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记对应的复数为，将绕原点O逆时针旋转得到，则对应的复数为. （1）方程在复数域上的两根为，，将，对应的向量，逆时针旋转后得到，，记，对应的复数为，，求，，，（用代数形式表示）； （2）若把平面直角坐标系中的点绕原点逆时针旋转弧度后得到点，请用、、分别表示出、；（其中、、、均为实数） （3）定义在整数集上的函数，若，其中，，，令求的所有可能取值； 广东实验中学2025-2026学年（下）高一级中段模块考试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 连接， ∵E，F分别为，的中点，且四边形是矩形， ∴// ，且 . ∵G，H分别为，的中点， ∴// ，且 ， ∴// ∴E，F，G，H四点共面. 取的中点，连接，分别交于点，则点分别是的中点. 连接，则// . ∵平面，平面， ∴// 平面. （3） 由（2）知// ，且， 所以四边形是梯形，所以直线与是两条相交直线，记. 平面，平面， ∴平面，平面， ∵平面平面， ∴. ∴，，三线共点. 【18题答案】 【答案】（1） 因为O为的外心， 所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以： ， 由于 所以， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，则 所以， ， 所以由化简得： 所以. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） ，，. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $