专题06：数列（7大题型+55题专训）讲义-2026届高考数学二轮复习（华侨港澳台）

2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题06 数列 题型01：等差数列概念、通项公式与前n项和 1. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 2. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】121 【解析】 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故. 故答案为：121 3. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，再利用公式法求和即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 则，解得，， 可得，故B正确. 故选：B 4. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 5. 已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据成等比数列可得，进而结合等差数列的基本量计算求解即可. 【详解】由成等比数列，则，又， 则，解得. 故选：B． 6. 已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项. 【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 题型02：等比数列概念、通项公式与前n项和 7. 在等比数列中，已知，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质得到，即可求出公比. 【详解】因为，， 所以， 所以，从而. 故选：D. 8. 已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据前项和的定义可得，再结合等比数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为，，则， 可得，解得， 所以数列公比的值为2. 故选：A. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：36. 10. 正项递增等比数列，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的性质解出. 【详解】，解得，或 因为是正项递增的等比数列，所以，即 故答案为： 11. 已知等差数列中，，则（     ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，接着计算，再代入即可求解． 【详解】已知等差数列中，， ， ， 则． 故选：D． 12. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由， 解得，所以，解得， 所以. 故选：B. 13. 在等比数列中，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 14. 记等比数列的前项和为，若则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列前项和的性质，仍成等比数列，再由等比中项的性质列方程求解即可． 【详解】由等比数列前项和的性质，仍成等比数列， 即成等比数列， ，解得． 故答案为：． 15. 等比数列中，若，则（       ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【解析】等比数列中，若，所以， 所以． 故选：C 16. 已知等比数列的前项和为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，用前项和公式化简可得. 【详解】因为，所以.由，得，即，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列基本量.等比数列基本量涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量． 题型03：数列的概念与性质 17. 对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　) A．必要不充分条件　　B．充分不必要条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 答案　B　解析　当an＋1>|an|(n＝1，2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递 增数列时，若该数列为－2，0，1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1，2，…)不一定成立．综上知，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 18. 已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由逻辑用语及数列的性质判定即可. 【详解】若数列是递增数列，则，即，推不出，不满足充分性，比如反例：是各项为正数，公比小于1的等比数列；若，则数列是递减数列，不满足必要性，故数列是递增数列是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 19. 记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an＞0”是“{Sn}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 答案　A　解析　∵“an＞0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an＞0”．∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件． 20. 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞)　　　　　B．(2，＋∞)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞) 答案　D　解析　(单调性)因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对 任意n∈N*，an＋1－an＝<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)． 21. 已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 两式相减可得，则， 当时，可得满足上式，故， 所以， 因数列为单调递增数列，即， 则 整理得， 令，则， 当时，，当时，， 于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得， 所以的取值范围为． 故选：A 22. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【分析】（1）由，解得或，由此能求出结果． （2）对于任意正整数都成立，，即对于任意正整数都成立在上严格减，由此能求出的取值范围． 【解答】解：（1）等比数列的公比，且，． ，解得或， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， ． （2），是严格增数列， 对于任意正整数都成立， ， 即对于任意正整数都成立在上严格减， 的最大值是， 的取值范围是． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型04：用递推公式表示数列 23. 如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值． 【详解】解： ， ， ， ，即为等差数列． ， ，， 为以为首项，为公差的等差数列． ， ． 故选：． 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题． 24．已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【详解】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C 25．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 26．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ． 【答案】 【分析】由可化为，由，可得，可求得，再将的通项展开裂项，利用裂项求和方法计算即得. 【详解】因，设①，展开整理得：， 对照，可得：，解得， 故①式为：， 因时，， 即数列为常数列，故， ， 数列的前项和为：， ． 故答案为：． 27．已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 题型05：数列不等式恒成立 28. 数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，两边同时减2构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求的最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【详解】，，， 故是以为首项，公比为的等比数列， ，， 由恒成立，即恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 故当时，，. 故答案为：. 29.在数列{an}中，a1＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，且a1＝1，若存在n∈N*使得an≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________． 答案　　解析　由题意知，a1＋＋…＋＝2n－1，则n≥2时，有a1＋＋…＋＝2n－1－1，两式作差得，＝2n－2n－1＝2n－1，且＝21－1＝1，所以＝2n－1(n∈N*)，＝，令bn＝，则bn>0，＝＝>＝1，所以bn＋1>bn，数列{bn}是递增数列，数列{bn}的最小项是b1＝，依题意得，存在n∈N*使得λ≥＝bn成立，即有λ≥b1＝，λ的最小值是． 30.记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1 答案　A　解析　a＋＝a＋2＝a＋2，令(n－1)d＝t，则a＋＝(a1＋2t)2＋(a1＋t)2＝2a＋6ta1＋5t2＝52＋a，当t＝时，取到最小值．即(n－1)d＝，即n＝＋1，∵不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，∴m≤，∴实数m的最大值为．故选A． 31.已知数列{an}的通项公式为an＝·3n－1，n∈N*，[an]表示不超过an的最大整数(如[1.2]＝1)．记bn＝[an]，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式λan＋1>Tn＋5n－对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案　　解析　因为an＝·3n－1，所以当n＝1时，a1＝，b1＝0．当n≥2时，3n－1为大于2的奇数，3n－1－1为偶数，所以bn＝，显然b1＝0也满足上式，所以bn＝，n∈N*，所以Tn＝(30＋31＋32＋…＋3n－1)－＝－＝．所以不等式λan＋1>Tn＋5n－，即λ·>＋5n－可化为λ>＋．令f(n)＝＋，n∈N*，则f(n＋1)＝＋，所以f(n＋1)－f(n)＝－＝，所以当n≤4时，f(n＋1)－f(n)>0，f(n)递增，当n≥5时，f(n＋1)－f(n)<0，f(n)递减，即f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)>f(6)>f(7)>…，所以f(n)max＝f(5)＝，故λ>，即实数λ的取值范围是． 题型07：数列的最值与范围问题 32. 设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S7＝S11，且a1>0，则Sn中最大的是(　　) A．S7　　　　　　　　B．S8　　　　　　　　C．S9　　　　　　　　D．S10 答案　C　解析　法一　设数列{an}的公差为d，根据S7＝S11可得7a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1，则Sn＝na1＋d＝na1＋×＝－(n－9)2＋a1，由a1>0可知－<0，故当n＝9时，Sn最大． 法二　根据S7＝S11可得a8＋a9＋a10＋a11＝0，根据等差数列的性质可得a8＋a11＝a9＋a10＝0，由a1>0可知a9>0，a10<0，所以数列{an}的前9项和最大． 34.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S7＝S11，且a1>0，则Sn中最大的是(　　) A．S7　　　　　　　　B．S8　　　　　　　　C．S9　　　　　　　　D．S10 答案　C　解析　法一　设数列{an}的公差为d，根据S7＝S11可得7a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1，则Sn＝na1＋d＝na1＋×＝－(n－9)2＋a1，由a1>0可知－<0，故当n＝9时，Sn最大． 法二　根据S7＝S11可得a8＋a9＋a10＋a11＝0，根据等差数列的性质可得a8＋a11＝a9＋a10＝0，由a1>0可知a9>0，a10<0，所以数列{an}的前9项和最大． 35.若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________． 答案　4　解析　an＋1－an＝－＝，当n≥2时，an＋1－an>0，即an＋1>an，当n＝1时，a2－a1<0，∴数列{an}中，从a2开始是递增的，又a2<a1，∴{an}中最小项是a2＝4． 36.数列是无穷项数列，则“存在，且”是“存在最大项”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意可通过举例特殊数列可知不满足充分性，再由数列可得不满足必要性即可得出结论. 【详解】根据题意可知，若存在，且， 不妨设即数列从第三项起满足， 此时存在满足且，但数列从第三项开始是递增数列，无最大项； 所以充分性不成立； 若存在最大项，不妨设数列，此时的最大项为，且为递减数列； 所以不存在，且，即必要性不成立. 故选：D 题型07：综合压轴 37．已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式及其前n项和； (2)设求数列的前n项和； (3)设集合，求集合M中所有元素的和． 【答案】因为是公差不为零的等差数列，，，成等比数列， 所以，即，又， 所以，，，； （2）， 则数列的前n项和； （3）集合， 故，故集合M中所有元素的和即求数列的前30项和， 则． 38. 已知数列的前项和满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，若成等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将替换得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证明即可； （2）先根据条件求解出的通项公式，然后代入的通项，通过裂项先化简，然后用裂项相消法进行求和. 【小问1详解】 由题可知， 因， 所以时，， 两式相减得， 化简可得，且满足条件， 综上可得，是公差为的等差数列； 【小问2详解】 因为，故，解得， 所以， 所以， 所以 所以. 39. 已知数列的前项和为，，. （1）证明：为等比数列； （2）求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由递推关系化简，根据等比数列的定义得证； （2）由（1）求出，根据错位相减法求和. 【小问1详解】 , ，即 ， 故为等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， ， 40. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系消去得到数列递推式，构造等比数列，即可求得数列通项； （2）依题求出的通项，利用错位相减法即可求得. 【小问1详解】 已知，当时，，故 当时，，，则 又 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 故得，整理得 【小问2详解】 由（1）知，，． ① ② 由①②得 ． 41. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式： （2）设，为数列的前n项和，求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）当时求出，当时，得到，再作差即可得到，再检验时是否成立，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可； 【详解】（1）当时，，∴， 当时，，① ，② ①-②得，∴ 又满足上式，∴ （2）∵ ∴ 【点睛】数列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 42.已知是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列的前8项和为64，公差为2，列方程可求出，从而可求出，根据，列方程求出公比，从而可求出； （2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得结果. 【详解】（1）因为等差数列的公差，且， 所以，解得，所以， 设等比数列的公比为， 因为，，所以，即， 解得(舍去)，或，所以. （2）由（1）得， 所以. 43. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 44. 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； （2）求T2n. 【答案】（1）是等比数列，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由an·an＋1＝推出an＋1·an＋2＝，两式相除得，可得答案； （2）由an＋2＝an得到奇数项以为公比的等比数列；偶数项是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)可得答案. 【详解】（1）是等比数列，理由如下： 因为an·an＋1＝， 所以an＋1·an＋2＝， 所以， 即an＋2＝an. 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以， 因为a1＝1，a1·a2＝， 所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝. 所以{bn}是首项为，公比为的等比数列. 所以bn＝. （2）由（1）可知，an＋2＝an， 所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列， 所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) . 【点睛】本题考查了递推数列求通项及分组求数列的和问题，要求学生有较好的推理能力、计算能力. 45.已知数列的前n项和为，且满足，又知，． （1）求，； （2）求的通项公式； （3），求的前n项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【小问1详解】 ，，， ，解得，故； 同理，解得， ． 【小问2详解】 ①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． 【小问3详解】 ， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 46. 在数列中，，，且对任意的，都有． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等比数列的定义求证数列是等比数列，再构造数列求证其为等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，，所以． 因为，所以， 又，则有，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 小问2详解】 设， 则， 两式相减得， 则. 47. 记为等差数列的前项和，已知公差，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，利用基本量法求得首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 解：由题意可得， 又因为，所以， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 所以. 48. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由与间关系结合题意可得，，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【小问1详解】 由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列； 【小问2详解】 由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 49. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【小问1详解】 对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则分布列如下： 则数学期望为； 【小问2详解】 由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 50. 已知是等差数列的前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可； （2）利用裂项相消的方法求和，结合放缩法即可得 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则由题意得： 即 解得 故， 故 【小问2详解】 ， 51. 已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析；(2)10 【解析】（1）， 是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，即， 所以， 所以， 因为， 所以为递增数列，又. 所以满足的最小正整数为10. 52．设等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 17．（1）设等差数列的公差为，依题意得， 解得，所以； （2）由（1）得， 所以 所以. 由，解得， 因为，所以. 53. 设为数列的前n项和，且. （1）求； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）给n赋值可求得及；利用与的关系将n换为n+1，作差可得，由等差中项的定义证得等差数列，即可利用等差数列的定义求解.. （2）将分离，构造新数列，利用的正负找到最大项，可得所求结果. 【小问1详解】 ，，得 . ，则， 两式相减得， 即   ①   ② ②①得， 即，故数列为等差数列. 因此公差为，则 【小问2详解】 由（I）可得 ， 由得对任意正整数恒成立，， 令， ， 当时，，当时，， ，   . 54. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 55. 已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【思路分析】 （1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【规范答题】 （1）由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时. 综上所述，. （2）由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即， 则实数的最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题06 数列 题型01：等差数列概念、通项公式与前n项和 1. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 2. 已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 3. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 4. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 5. 已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 题型02：等比数列概念、通项公式与前n项和 7. 在等比数列中，已知，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知等差数列的前n项和为，若，则______． 10. 正项递增等比数列，若，，则______． 11. 已知等差数列中，，则（     ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 12. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 13. 在等比数列中，若，则______. 14. 记等比数列的前项和为，若则的值为__________. 15. 等比数列中，若，则（       ） A．2 B．3 C．4 D．9 16. 已知等比数列的前项和为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 题型03：数列的概念与性质 17. 对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　) A．必要不充分条件　　B．充分不必要条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 18. 已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19. 记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an＞0”是“{Sn}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 20. 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞)　　　　　B．(2，＋∞)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞) 21. 已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 题型04：用递推公式表示数列 23. 如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ） A. B. C. D. 24．已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 25．已知数列满足，则 ． 26．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ． 27．已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 题型05：数列不等式恒成立 28. 数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围为__________. 29.在数列{an}中，a1＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，且a1＝1，若存在n∈N*使得an≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________． 30.记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1 31.已知数列{an}的通项公式为an＝·3n－1，n∈N*，[an]表示不超过an的最大整数(如[1.2]＝1)．记bn＝[an]，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式λan＋1>Tn＋5n－对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________． 题型06：数列的最值与范围问题 32. 设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S7＝S11，且a1>0，则Sn中最大的是(　　) A．S7　　　　　　　　B．S8　　　　　　　　C．S9　　　　　　　　D．S10 34.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S7＝S11，且a1>0，则Sn中最大的是(　　) A．S7　　　　　　　　B．S8　　　　　　　　C．S9　　　　　　　　D．S10 35.若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________． 36.数列是无穷项数列，则“存在，且”是“存在最大项”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型07：综合压轴 37．已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式及其前n项和； (2)设求数列的前n项和； (3)设集合，求集合M中所有元素的和． 38. 已知数列的前项和满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，若成等比数列，求数列的前项和. 39. 已知数列的前项和为，，. （1）证明：为等比数列； （2）求. 40. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 41. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式： （2）设，为数列的前n项和，求． 42.已知是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，是公比大于0的等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 43. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 44. 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； （2）求T2n. 45.已知数列的前n项和为，且满足，又知，． （1）求，； （2）求的通项公式； （3），求的前n项和． 46. 在数列中，，，且对任意的，都有． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前n项和． 47. 记为等差数列的前项和，已知公差，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求. 48. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 49. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 50. 已知是等差数列的前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 51. 已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 52．设等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 53. 设为数列的前n项和，且. （1）求； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围. 54. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 55. 已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $