专题02：平面向量与复数（10大题型+50题专训）讲义- 2026届高考数学二轮复习（华侨港澳台）

2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题02 平面向量与复数 题型01：向量的概念与线性运算 1.下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误； 对于C：若，则方向相同，C 正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 2.在中，是边上的中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】在中，是边上的中点， 则 ． 故选：． 3.已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解. 【详解】如图， 因为，所以是线段的四等分点，且, 所以, 故A,B错误； 由，可得，故C正确，D错误， 故选:C. 题型02：共线向量定理及应用 4.已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ． 【答案】或. 【解析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，单位向量与向量共线， 则向量，即向量的坐标是或. 5.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而， 存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件， 若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件， 故选：C 6.已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论. 【详解】充分性：由得， 故，则，故三点共线，所以充分性成立， 必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以， 所以必要性成立. 综上所述：”是“三点共线”的充要条件. 故选：C 7. 如图，在矩形中，为的中点，为的中点.若，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，结合，求得的值，即可求解. 【详解】在矩形中，为的中点，为的中点， 由向量的线性运算法则，可得， 因为，所以，所以. 故答案为：. 8. 如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先把向量用表示出来，再根据平面向量基本定理可得到的值，即得答案. 【详解】由题意，设 ，， 取  中点 ，则 ， 重心  在中线  上，且 ， 故，  为  边上靠近  的四等分点， 即 ，而 ， 所以， 由，得： 因此： 故答案为： 题型03：向量的数量积及应用 9.已知向量，，则　　． 【解析】向量，， ． 故答案为：4． 10.已知非零向量，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当且，则，但与不一定相等， 故不能推出， 则“”是“”的不充分条件； 由，可得， 则，即， 所以可以推出， 故“”是“”的必要条件． 综上所述，“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 11.如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律，将作转化，再应用数量积的定义求结果. 【详解】由题设 . 故选：C 12.三角形中，是中点，，，，则　　． 【解析】在中，，，， 由余弦定理得，， ，且是的中点， ． 故答案为：． 13.已知向量，满足，，则　　． 【解析】，， ，， ，， ． 故答案为：． 14.已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件计算出以及，结合夹角余弦公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故选：D． 15.已知平面向量，，且，则（ ） A．1 B．14 C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，所以， 所以.故选：B 16.已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： . 【答案】 【分析】与所成的角为钝角即且与不平行，列式求解即可. 【详解】与所成的角为钝角即且与不平行， 即， 所以. 故答案为：. 17.已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据数量积为正可求参数的取值范围，注意与不共线同向. 【详解】因为与所成的角为锐角，故且不共线同向. 故即. 若共线，则即， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 题型04：向量的投影向量与数量投影 18. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【详解】根据题意可得， 所以，则 所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 19.如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ . 【答案】 【分析】由已知可求得，，进而得出，然后根据即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，， 所以，向量在上的投影向量为. 故答案为：. 20.设两个单位向量，的夹角为，若在上的投影向量为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果. 【详解】因为在上的投影向量为，所以， 又是两个单位向量，即，所以，所以. 故选：B. 21.已知向量，，.若在方向上投影向量模长为，则实数为（    ） A．-2 B．-1 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】先将化简，然后利用投影向量模长公式列出方程即可求解. 【详解】由题意可知：， 因为在方向上投影向量模长为， 所以， 题型05：向量的基本定理与坐标表示 22.在中，点在边上，．记，，则　　 A． B． C． D． 【解析】如图， ， ，即． 故选：． 23.在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果. 【详解】由，得出， 由得 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 24.在平行四边形中，点，，．若与的交点为，则的中点的坐标为__________, 【答案】 【分析】利用平行四边形法则表示出向量，利用坐标运算计算出向量的坐标，由为坐标原点，所以即可得的坐标 【详解】在平行四边形中， 因为与的交点为，且为的中点， 所以 ， 由为坐标原点，所以向量的坐标即为的坐标， 故点的坐标为． 故答案为：. 25.已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形可得进而即得． 【详解】因为，，，由平行四边形可得， 设，则， 所以，即的坐标为. 故选：B. 26.已知两点、，点满足，则的坐标为___________. 【答案】 【分析】设点，利用平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可求得点的坐标. 【详解】设点，由可得， 所以，，解得，故点. 故答案为：. 题型06：向量的平行与垂直问题 27. 已知两个向量，，且，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得存在实数使得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，，且，所以存在实数使得，即，即，解得，所以 故答案为： 28. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，求得的充要条件，结合集合之间的包含关系，判断即可. 【详解】根据题意，等价于，解得或； 又是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 29. 已知向，，若向量与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出、的值，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，则，， 因为向量与垂直，则，解得. 故选：C. 30. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求得值，进而可求得，利用向量的夹角公式可求得 【详解】因为，所以，所以，则，， 所以，所以，， 故. 故选：C. 31. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得. 故选：C. 题型07：复数的概念与分类、共轭复数 32.已知，若为虚数单位）是实数，则　　 A．1 B． C．2 D． 【解析】，若为虚数单位）是实数， 可得，解得． 故选：． 33. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 34.已知i是虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数运算化简复数，再求共轭复数即可. 【详解】，． 故选：B． 【点睛】本题考查复数的运算以及共轭复数的求解，属基础题. 35.若，则　　 A． B． C．1 D．2 【解析】由，得， ，则， ． 故选：． 36.已知，则　　 A． B． C． D． 【解析】， ． 故选：． 37.已知（其中为虚数单位），则　　． 【解析】，则，所以． 故答案为：． 38.已知复数满足，则的实部为　　． 【解析】设，． 复数满足， ， 可得：，，解得，． 则的实部为2． 故答案为：2． 题型08：复数的运算 39.已知，则　　 A． B． C．0 D．1 【解析】， 则， 故． 故选：． 40.　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 41.已知，为虚数单位），则　　 A． B．1 C． D．3 【解析】因为，即， 由复数相等的定义可得，，即． 故选：． 42.已知，且满足，求　　． 【解析】由，得，即． 故答案为：． 43.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法和减法法则计算出答案. 【详解】 故选：B. 题型09：复数的几何意义 44.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算进行化简，再根据复数的几何意义即可判断. 【详解】， 故复数对应点为，在第四象限， 故选：D 45.复数在复平面内对应点所在的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】， 在复平面内，复数对应的点的坐标为，，位于第一象限． 故选：． 46.在复平面内，复数＋（1＋i）2对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用复数的除法及乘法法则化简复数，利用复数的几何意义求出复数对应的点，据点坐标的符号判断所在象限． 解：∵ = = ∴复数对应的点为（﹣） ∴该点在第二象限 故选项为B 题型10：复数的模及其几何意义 47.已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算确定复数，再根据复数模的概念求. 【详解】因为， 所以. 故选：B 48.若复数z满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数四则运算化简可得复数，再根据模长公式可得解. 【详解】由，得， 所以， 故选：D. 49.已知复数，，那么__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，则， 所以， 故答案为：. 50. 表示复数z的共轭复数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以. 51.如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 52.已知，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. 【解析】设，则有，即， 则在复平面中的点在以为圆心，为半径的圆周上， ， ，表示与点的距离， 如图所示： 由图可知，， 即的最大值为7. 故答案为：7 53.已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】设先分析出点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.利用几何法求出的最小值. 【解析】设（是虚数单位）.则. 因为，所以表示点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上. 而表示圆上任意一点到（0，1）的距离. 由几何法可知：的最小值为（0，1）到圆心（-4，-2）减去圆的半径，即为. 故选：A 54.如果复数z满足，那么的最大值是 ． 【答案】 【分析】由复数模的几何意义得出对应的点的性质，设，计算模可得最大值． 【解析】，则复数对应的点在和1两个数对应点的连线段上， 即设，则，， ，时，得最大值为． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题02 平面向量与复数 题型01：向量的概念与线性运算 1.下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.在中，是边上的中点，则　　 A． B． C． D． 3.已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 题型02：共线向量定理及应用 4.已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ． 5.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7. 如图，在矩形中，为的中点，为的中点.若，则_____ 8. 如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________. 题型03：向量的数量积及应用 9.已知向量，，则　　． 10.已知非零向量，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11.如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 12.三角形中，是中点，，，，则　　． 13.已知向量，满足，，则　　． 14.已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 15.已知平面向量，，且，则（ ） A．1 B．14 C． D． 16.已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： . 17.已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 . 题型04：向量的投影向量与数量投影 18. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 19.如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ . 20.设两个单位向量，的夹角为，若在上的投影向量为，则（    ）. A． B． C． D． 21.已知向量，，.若在方向上投影向量模长为，则实数为（    ） A．-2 B．-1 C．±1 D．±2 题型05：向量的基本定理与坐标表示 22.在中，点在边上，．记，，则　　 A． B． C． D． 23.在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 24.在平行四边形中，点，，．若与的交点为，则的中点的坐标为__________, 25.已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 26.已知两点、，点满足，则的坐标为___________. 题型06：向量的平行与垂直问题 27. 已知两个向量，，且，则的值为______________. 28. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 29. 已知向，，若向量与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 30. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 31. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 题型07：复数的概念与分类、共轭复数 32.已知，若为虚数单位）是实数，则　　 A．1 B． C．2 D． 33. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 34.已知i是虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 35.若，则　　 A． B． C．1 D．2 36.已知，则　　 A． B． C． D． 37.已知（其中为虚数单位），则　　． 38.已知复数满足，则的实部为　　． 题型08：复数的运算 39.已知，则　　 A． B． C．0 D．1 40.　　 A． B． C． D． 41.已知，为虚数单位），则　　 A． B．1 C． D．3 42.已知，且满足，求　　． 43.已知，则（ ） A. B. C. D. 题型09：复数的几何意义 44.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 45.复数在复平面内对应点所在的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 46.在复平面内，复数＋（1＋i）2对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 题型10：复数的模及其几何意义 47.已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 48.若复数z满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 49.已知复数，，那么__________. 50. 表示复数z的共轭复数，若，则（ ） A. B. C. D. 51.如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 52.已知，则的最大值是 ． 53.已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 54.如果复数z满足，那么的最大值是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $