北京市首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 考生1.本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟。 须知2.本试卷共5页，各题答案均答在本题规定的位置。 第一部分选择题（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1.在数列(an)中，a=1,anam1=-2（n=1,2,3,L),那么a=（) A.-2 B C.1 D.2 2.已知等比数列{an}的通项公式a.=-2×3”,则数列{an}的公比为（) A.3 B.2 C.-3 D.-6 3.已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人 是否中靶相互独立.若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为() A.0.24 B.0.14 C.0.56 D.0.94 4.等差数列(an)中，a6=4,ag=1,则ao=（) A.-5 B.-2 C.7 D.10 5.在等差数列{an}中，a,+a6+a,=36,设数列{an}的前n项和为Sn,则S,=（) A.12 B.99 C.132 D.198 6.若某地区60岁及以上人群的疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针) 的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此 人完成了加强免疫接种的概率为() A.0.6 B.0.375 C.0.36 D.0.216 7.已知数列{an}的前n项和Sn=2m2,则{an}是() A.公差为4的等差数列 B.公差为2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为3的等比数列 8.设Sn为无穷等比数列{a}的前n项和，则“{a}有最大值”是“{Sn}有最大值”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 9.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是乏，当你会做的时候，又能选对正确 答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻， 你答对题目的概率为() A.0.625 B.0.75 c.0.5 D.0 10.已知{an}是公比不为1的等比数列，a2o2s=-2026,若a2,44,a成等差数列，则a2o6= () A.-4052 B.-1013 C.4052 D.1013 11.某公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收 入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用 比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是（)万元， A.8 B.10 C.12 D.14 12.设数列{an}的前n项和S,若Sn=n2+n+3,则() A.数列{an}满足2an=an-+a+1(n≥2)B.数列{an}为递增数列 C.a,+丹的最小值为号 D.S4-S2,S6-S,Sg-S不成等差数列 第二部分非选择题（共90分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13.在等差数列{a}中，若a2=2,a,=4,则d= 14.若数列{an}满足a,=1,a1=2an(n∈N),则a= 前5项的和S= 15.一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表 示抽到的次品件数，则E(X)= 16.设等比数列(a,)的公比g=2,前n项和为S,则三= 17.能说明“数列{an}的前n项和Sn,对于任意的n∈N,若an1>an,则S1>Sn”为假命题的一 个等比数列是 (写出数列的通项公式) 18.设数列{an}前n项和为Sa,满足(an-)2=4(100-Sn),neN且a>0,an+a-*0(n≥2)，则 下列命题正确的是 ①an=-2n+21: ②数列：}为等差数列： ③当n=11时，Sn有最大值： ④设bn=ana1a2,则当n=8或n=l0时，数列{b}的前n项和取最大值. 三、解答题：本大题共4个小题，共60分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 19.（本小题15分)等差数列{an}满足a+a2=10,a4-a=2. (1)求{an}的通项公式： (2)设等比数列{b,}满足b2=a,b=a,问：b与数列{a}的第几项相等？ (3)求数列{an+bn}的前n项和Sm 20.（本小题15分)近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重 驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出国内某 科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐 机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率： (2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率： (3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为5,52,5，直接写出方 差D5,D52,D5的大小关系. 21.(本小题15分)习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要 驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融 合、共创分享的智能时代随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应 用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、 制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： 2021-2023年中国人工智能行业渗透度 ●…2021年"-2022年-4-2023年 100% 90% 89%.」 80% 83%. 6A54% 70% 60% --........ 50% 225o50%.2 40% 购926二0子 30% 20% …………… .25%15 10% 0% 互联网电信政务金融制造业交通服务教育 (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于50% 的概率： (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于60%的 行业个数为X,求X的分布列及数学期望： (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“Y=0”表示人工智能行业渗透度在区间 [30%,a]内，用“y=1”表示人工智能行业渗透度在区间(a,89%]内，若方差D(Y)取得最大值，请 写出实数a的取值范围.（结论不要求证明） 22.（本小题15分)已知数列(a)是无穷数列，其前n项和为Sm若对任意的正整数m≥2，存 在正整数k,1(1≤k≤)使得Sm=a.+a,则称数列(an)是“S数列" (1)若an=2n(n=1,2,L),判断数列(an)是否是“S数列”，并说明理由； （2)设无穷数列(an)的前n项和Sn=g”(n=1,2,L)且9>2，证明数列(an)不是“S数列"； (3)证明对任意的无穷等差数列a,】,存在两个“S数列，)和c),使得a,=b-c,n=1,2L)成 立