精品解析：重庆市永川中学校2026届高三下学期考前预测数学试题

高2026届高三春期第三次调研检测（数学）试题 命题人：蒋丛碧 黄仁勇 审题人：蒋丛碧 黄仁勇 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 4. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 5. 设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 7. 如图， 向一个高为 且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为 时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 8. 函数对应的图象如图，点 为图象与 轴的交点，点 为图象的最高点，点 为图象的最低点， 若，则的值为（    ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（ ） A. 有效数据的极差是10 B. 有效数据的平均数是80 C. 有效数据的第80百分位数是86 D. 有效数据的方差是50 10. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为，， 是椭圆 上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若，则的最小值为 C. 满足是直角三角形的点 有 8 个 D. 的最大值为 11. 已知是定义在 上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分 12. 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 13. 已知等比数列 ，且 ， 则 的值为_____. 14. 在平面直角坐标系 中，点 为圆上的动点，点 的坐标为，其中 为常数且． （1）若，则=_____， （2）若的最大值为 ，此时的最小值为_____． 四、解答题： 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求的通项公式； （2）证明：． 16. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． （2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 18. 已知函数． （1）设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． （2）若在上单调递减，求 的取值范围． 19. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为1，点在双曲线 上； （1）求双曲线 的标准方程； （2）设点 是双曲线 上的动点，是圆上的动点，且直线 与圆 相切，求的最小值； （3）如图， 是双曲线 上两点，直线与 轴分别交于点，点 在直线 上；若关于原点对称，且，是否存在点 ，使得为定值；若存在，求出该定点 的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高三春期第三次调研检测（数学）试题 命题人：蒋丛碧 黄仁勇 审题人：蒋丛碧 黄仁勇 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由，则， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把集合 具体化，然后利用集合的运算法则可得答案. 【详解】由题意得，， 故. 3. 已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别由和是偶函数求解，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】由， 代入得： ， 展开整理：， 消去同类项后得，即， 解得：， 由是偶函数，即对任意 恒成立， 代入得： ， 展开整理得：，对任意 恒成立， 因此，解得：，甲和乙推出的完全等价， 因此甲是乙的充要条件. 4. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 5. 设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件概率公式求得，再根据独立事件乘法公式求出，进而由根据和事件概率计算公式即可求得结果. 【详解】因为，， 由，得. 因为事件A，B相互独立， 所以，即，所以. 所以. 故选：C. 6. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切化弦后，结合二倍角正余弦公式可构造方程求得，由可求得结果. 【详解】由得：， ，，，解得：， . 故选：D. 7. 如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为 时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为 ，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为 ， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为 ， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 8. 函数对应的图象如图，点 为图象与 轴的交点，点 为图象的最高点，点 为图象的最低点， 若，则的值为（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将函数化简为标准正弦型，确定最高点、最低点的纵坐标，再利用对称性得到中点在 轴上，结合向量垂直条件推出直角三角形，利用 “斜边上的中线等于斜边的一半” 建立关系，最后用周期表示线段长度，解方程求出周期，进而得到 的值. 【详解】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点 为图象的最高点，可得，点 为图象最低点，可得， 点 是图象与 轴的交点，可得， 设 的中点为 ，因为 和 的纵坐标互为相反数，所以， 所以点 和点 都在 轴上， 在 中，因为，所以，且 为 的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点 分别作的平行线，交于点 ，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（ ） A. 有效数据的极差是10 B. 有效数据的平均数是80 C. 有效数据的第80百分位数是86 D. 有效数据的方差是50 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意先求有效数据，再逐项验证即可求解. 【详解】根据题意有效数据为： 所以有效数据的极差为，故A错误； 有效数据的平均数为，故B正确； 由，所以有效数据的第80百分位数为，故C正确； 有效数据的方差为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为，， 是椭圆 上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若，则的最小值为 C. 满足是直角三角形的点 有 8 个 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得的周长，判断A；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断B；分、、三种情况得到 点个数，判断C；将看作是椭圆上的点与点连线的斜率 ，设直线的方程为，由直线与椭圆有交点，求得 取值范围，从而得到的最大值，判断D. 【详解】 对于A：易知， ，则. 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故A正确； 对于B：，. 当时，，故B错误； 对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时 点共有4个； 以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为， 故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的 点有4个； 综上，满足是直角三角形的点 有 8 个，故C正确； 对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率 . 设该直线的方程为. 联立，整理得， ， 由，得，即，解得. 所以的最大值为，故D正确. 11. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时， ，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分 12. 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于 对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 13. 已知等比数列 ，且 ， 则 的值为_____. 【答案】4 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 则由可得①， 由可得，即②， 联立①②，，即， 故. 14. 在平面直角坐标系 中，点 为圆上的动点，点 的坐标为，其中 为常数且． （1）若，则=_____， （2）若的最大值为 ，此时的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，得到的坐标，求得的值，设，利用向量的数量积的坐标运算公式，求得，结合的最大值为 ，求得，代入即可求解. 【详解】由圆，可得圆心 又由，可得点 的坐标为，即， 所以，则； 因为点 为圆上的动点，可设， 又因为点 的坐标为，可得， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 则，解得， 因为，所以，此时的最小值为. 故答案为： ； . 四、解答题： 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 【解析】 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前 项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设 的中点为 ，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面 ，接着用体积公式求解即可； （2）以 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【小问1详解】 解：设 的中点为 ，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面 ，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又 平面平面 ，平面平面， 平面 ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知平面 ，， 如图，以 为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取 ，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 17. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． （2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 【答案】（1） （2）应该选择方案一 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【小问1详解】 每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. 【小问2详解】 由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 18. 已知函数． （1）设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． （2）若在上单调递减，求 的取值范围． 【答案】（1）①；②． （2）． 【解析】 【分析】（1）①求导，确定切线斜率即可求解，②通过二次求导，确定函数单调性，即可求解； （2）通过二次求导，结合，讨论，即可. 【小问1详解】 当时，，． ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． ②令，则． 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． 【小问2详解】 ． 令，则， ． 若，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时，，， 所以，在上单调递减． 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上， 的取值范围为． 19. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为1，点在双曲线 上； （1）求双曲线 的标准方程； （2）设点 是双曲线 上的动点，是圆上的动点，且直线 与圆 相切，求的最小值； （3）如图， 是双曲线 上两点，直线与 轴分别交于点，点 在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点 ，使得为定值；若存在，求出该定点 的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为1以及点 在双曲线上，列出 的方程，求解出 ，即可写出双曲线 的标准方程. （2）根据切线的性质可得，将问题转化成求的最小值问题，结合两点间距离公式将表示成的函数表达式，求解出最小值即可. （3）设出 坐标以及直线的方程，联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，再写出直线方程，可求得坐标，利用关于原点对称列出方程，找出之间的关系，从而可得直线所过定点，再借助直角三角形判断是否为定值即可. 【小问1详解】 因为焦点到一条渐近线的距离为1，即. 又点在双曲线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 圆的圆心，半径为. 因为是圆 上的动点，直线 与圆 相切，所以，. 所以. 设，因为 是双曲线 上的动点，所以. 所以. 当时，取得最小值，此时. 所以. 【小问3详解】 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得：. 且. 设 ，则. 直线的方程为. 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即. 整理得. 即. 整理得，即. 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若 ，则直线方程为，恒过定点. 所以为定值，又，在中，为斜边， 所以当 为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $