精品解析：重庆市永川中学校2026届高三第二次模拟考试数学试卷

永川中学高2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 3. 已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 5. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，则（ ） A. 不垂直 B. ，使得共线 C. 当时， D. 当时，在方向上的投影向量为 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，则 D. 若，则 11. 设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（ ） A. 若对任意的正整数n均有，则为和谐数列 B. 若为和谐数列，则对任意的正整数n均有 C. 若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值 D. 一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 13. 已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知是函数的极值点. （1）求满足的等量关系式； （2）若，求在上最值. 18. 高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． （1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； （2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 19. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. （1）求的方程； （2）记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 3. 已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设复数，根据题意可得，，即可解决. 【详解】设复数， ∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为， ∴，， ∴． 故选:D. 4. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 【答案】D 【解析】 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 5. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积． 【详解】设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，，令， 得，则的对称中心为， 结合选项可知，图象的一个对称中心为，其它选项不满足. 7. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，则（ ） A. 不垂直 B. ，使得共线 C. 当时， D. 当时，在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，可通过向量的数量积进行判断；对于选项B，根据向量的共线性质进行判断；对于选项C，首先求出的坐标，然后求其和的模；对于选项D，首先求出的坐标，然后根据向量的投影公式进行求解. 【详解】因为， 则， 所以不垂直，所以选项A 正确. 假设，则，所以， 所以当时，共线，所以选项B正确. 当时，， 所以，所以，所以选项C错误. 当时，， 所以在方向上的投影向量为. 故选：. 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可推理A项正确，利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可推理D项正确，B , C两项可以通过举反例说明其错误. 【详解】对于A项，因，经过直线可作平面，使，则，因，则，又，故得，即A项正确； 对于B项，若，则与可能相交、平行或异面，故B项错误； 对于C项，若，则或，故C项错误； 对于D项，因，经过直线可作平面，使，则，又，，则，故得，即D项正确． 故选：AD． 11. 设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（ ） A. 若对任意的正整数n均有，则为和谐数列 B. 若为和谐数列，则对任意的正整数n均有 C. 若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值 D. 一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先证明等价于.对于选项A，由条件结合数列前项和的定义证明即可判断；对于选项C，设等差数列的公差为，先证明数列是公差为的等差数列，再结合和谐数列的定义证明，根据等差数列求和公式即可判断；对于选项D，举例说明满足条件的数列存在即可判断；对于选项B，根据选项D中所举数列即可判断. 【详解】. 对于选项A，，， ∴数列为和谐数列，故选项A正确； 对于选项C，设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式可知：， ， ∴数列是公差为的等差数列. ∵等差数列是和谐数列， ，， ∴关于的二次函数的图象开口向上，则在上一定存在最小值，故选项C正确； 对于选项D，对等比数列，取，， 则由等比数列的通项公式及求和公式可知， . 要证等比数列是和谐数列，只需证， 即证， 即证， 即证. 当，时，上式中左边，不等式显然成立； 当，时， 要证，即证， 即证. 设， ， 在定义域上单调递增， ，， 综上，存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，故选项D正确； 对于选项B，由选项D可知存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，此时，，，不满足，故选项B错误. 故选：ACD. 【点睛】解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解． 【详解】由二项式的展开式的通项为， 其中含项的系数为0，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为． 13. 已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设与直线l平行的直线为，与椭圆联立，根据判别式，可得t值，结合两平行线间距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值， 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为， 联立，得， 判别式，解得， 当时，切线为，与直线l的距离， 当时，切线为，与直线l的距离. 所以的最小值为. 故答案为： 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 由，显然不可能是零点，则有且仅有一个根， 当或，则， 令， 当，则， 令，则，即在上单调递增， 由， 即使，则， 所以上，即，则在上单调递减， 上，即，则在上单调递增， 而在上恒成立， 所以在上恒成立，且其最小值， 此时，时，在上无解，即不存在， 时，在上有1或2个解，与或唯一性矛盾， 当，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，，则； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 16. 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）因为四边形为平行四边形，F、G分别为 的中点， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面， 平面，所以平面， 又H、G分别为 的中点，所以． 平面， 平面，所以平面， 因为FD、 平面 ，， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，进而根据面面平行的判定求证， （2）证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三角形为正三角形，，F为的中点， 所以，， 所以为二面角 的平面角， 又，平面 ， 所以 平面 ，因为 平面，所以平面平面． 作 平面于O，则O在直线上． 又二面角 的平面角为， 所以O在线段的延长线上．由已知得，则，． 以F为原点，所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于 的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 因为， ，所以， 则，，，，， 则，， 设平面 的一个法向量为， 则由，，得， 令，得． 易得平面的一个法向量， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知是函数的极值点. （1）求满足的等量关系式； （2）若，求在上最值. 【答案】（1），且 （2）， 【解析】 【分析】（1）求导数，由是的极值点，可知，即，令，解得两根，再根据与3的大小关系，讨论两根的关系，进而验证是的极值点是否成立，进一步明确对的限制； （2）当时，得到的解析式，求导数，令，解得两根，再列表，判断在各区间的单调性，计算出极值和端点值，即可求出在上最值. 【小问1详解】 . 因为是的极值点， 所以，即，即， 所以， 令，解得或， ①当时，， 所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，符合题意； ②当时，恒成立，所以在上单调递减， 此时无极值，不符合题意； ③当时，， 所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极大值，符合题意. 综上，所以，且； 【小问2详解】 因为，所以当时，，， . 令，解得或， 0 1 2 0 0 0 -2 所以，. 18. 高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． （1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； （2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【答案】（1） （2）（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项 【解析】 【分析】（1）按照古典概型公式计算； （2）（ⅰ）按照全概率公式计算；（ⅱ）分别按照选1个选项、选2个选项、选3个选项得分的所有可能结果，然后求出对应的概率，分别计算这3种情况的学期望进行比较即可. 【小问1详解】 记“随机选择2个选项得6分”为事件A． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． 【小问2详解】 （ⅰ）记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”为事件B． 则有，， ，， ，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分X的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分Y的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分Z的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 19. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. （1）求的方程； （2）记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】（1） （2）（i）， （ii）证明：设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解； （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解． 【小问1详解】 由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $