精品解析：重庆市永川中学校2026届高三第二次模拟考试数学试卷

永川中学高2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 3. 已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设复数，根据题意可得，，即可解决. 【详解】设复数， ∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为， ∴，， ∴． 故选:D. 4. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 【答案】D 【解析】 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 5. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离公式代入等式，化简整理得，所以点的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积． 【详解】设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，，令， 得，则的对称中心为， 结合选项可知，图象的一个对称中心为，其它选项不满足. 7. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，则（ ） A. 不垂直 B. ，使得共线 C. 当时， D. 当时，在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，可通过向量的数量积进行判断；对于选项B，根据向量的共线性质进行判断；对于选项C，首先求出的坐标，然后求其和的模；对于选项D，首先求出的坐标，然后根据向量的投影公式进行求解. 【详解】因为， 则， 所以不垂直，所以选项A 正确. 假设，则，所以， 所以当时，共线，所以选项B正确. 当时，， 所以，所以，所以选项C错误. 当时，， 所以在方向上的投影向量为. 故选：. 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可推理A项正确，利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可推理D项正确，B , C两项可以通过举反例说明其错误. 【详解】对于A项，因，经过直线可作平面，使，则，因，则，又，故得，即A项正确； 对于B项，若，则与可能相交、平行或异面，故B项错误； 对于C项，若，则或，故C项错误； 对于D项，因，经过直线可作平面，使，则，又，，则，故得，即D项正确． 故选：AD． 11. 设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（ ） A. 若对任意的正整数n均有，则为和谐数列 B. 若为和谐数列，则对任意的正整数n均有 C. 若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值 D. 一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先证明等价于.对于选项A，由条件结合数列前项和的定义证明即可判断；对于选项C，设等差数列的公差为，先证明数列是公差为的等差数列，再结合和谐数列的定义证明，根据等差数列求和公式即可判断；对于选项D，举例说明满足条件的数列存在即可判断；对于选项B，根据选项D中所举数列即可判断. 【详解】. 对于选项A，，， ∴数列为和谐数列，故选项A正确； 对于选项C，设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式可知：， ， ∴数列是公差为的等差数列. ∵等差数列是和谐数列， ，， ∴关于的二次函数的图象开口向上，则在上一定存在最小值，故选项C正确； 对于选项D，对等比数列，取，， 则由等比数列的通项公式及求和公式可知， . 要证等比数列是和谐数列，只需证， 即证， 即证， 即证. 当，时，上式中左边，不等式显然成立； 当，时， 要证，即证， 即证. 设， ， 在定义域上单调递增， ，， 综上，存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，故选项D正确； 对于选项B，由选项D可知存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，此时，，，不满足，故选项B错误. 故选：ACD. 【点睛】解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解． 【详解】由二项式的展开式的通项为， 其中含项的系数为0，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为． 13. 已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设与直线l平行的直线为，与椭圆联立，根据判别式，可得t值，结合两平行线间距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值， 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为， 联立，得， 判别式，解得， 当时，切线为，与直线l的距离， 当时，切线为，与直线l的距离. 所以的最小值为. 故答案为： 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 由，显然不可能是零点，则有且仅有一个根， 当或，则， 令， 当，则， 令，则，即在上单调递增， 由， 即使，则， 所以上，即，则在上单调递减， 上，即，则在上单调递增， 而在上恒成立， 所以在上恒成立，且其最小值， 此时，时，在上无解，即不存在， 时，在上有1或2个解，与或唯一性矛盾， 当，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，，则； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 16. 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，进而根据面面平行的判定求证， （2）证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以． 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面． 【小问2详解】 因为三角形为正三角形，，F为的中点， 所以，， 所以为二面角的平面角， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面． 作平面于O，则O在直线上． 又二面角的平面角为， 所以O在线段的延长线上．由已知得，则，． 以F为原点，所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 因为， ，所以， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则由，，得， 令，得． 易得平面的一个法向量， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知是函数的极值点. （1）求满足的等量关系式； （2）若，求在上最值. 【答案】（1），且 （2）， 【解析】 【分析】（1）求导数，由是的极值点，可知，即，令，解得两根，再根据与3的大小关系，讨论两根的关系，进而验证是的极值点是否成立，进一步明确对的限制； （2）当时，得到的解析式，求导数，令，解得两根，再列表，判断在各区间的单调性，计算出极值和端点值，即可求出在上最值. 【小问1详解】 . 因为是的极值点， 所以，即，即， 所以， 令，解得或， ①当时，， 所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，符合题意； ②当时，恒成立，所以在上单调递减， 此时无极值，不符合题意； ③当时，， 所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极大值，符合题意. 综上，所以，且； 【小问2详解】 因为，所以当时，，， . 令，解得或， 0 1 2 0 0 0 -2 所以，. 18. 高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． （1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； （2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【答案】（1） （2）（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项 【解析】 【分析】（1）按照古典概型公式计算； （2）（ⅰ）按照全概率公式计算；（ⅱ）分别按照选1个选项、选2个选项、选3个选项得分的所有可能结果，然后求出对应的概率，分别计算这3种情况的学期望进行比较即可. 【小问1详解】 记“随机选择2个选项得6分”为事件A． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． 【小问2详解】 （ⅰ）记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”为事件B． 则有，， ，， ，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分X的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分Y的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分Z的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 19. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. （1）求的方程； （2）记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】（1） （2）（i），（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解； （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解． 【小问1详解】 由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 3. 已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 5. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，则（ ） A. 不垂直 B. ，使得共线 C. 当时， D. 当时，在方向上的投影向量为 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，则 D. 若，则 11. 设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（ ） A. 若对任意的正整数n均有，则为和谐数列 B. 若为和谐数列，则对任意的正整数n均有 C. 若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值 D. 一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 13. 已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知是函数的极值点. （1）求满足的等量关系式； （2）若，求在上最值. 18. 高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． （1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； （2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 19. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. （1）求的方程； （2）记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $