重庆市永川中学校2026届高三下学期考前预测数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷聚焦主干知识与核心素养，通过晚会节目安排、工厂质检等现实情境，结合分层设问（如解答题分基础与综合），适配高考命题趋势，提升学生数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、函数性质等|基础巩固，如第3题充要条件考查逻辑推理| |多选题|3/18|统计、椭圆、函数性质|数据分析，如第9题统计量计算培养数据意识| |填空题|3/15|二项式定理、等比数列、圆|几何直观，如第14题圆上动点问题体现空间观念| |解答题|5/77|数列、立体几何、概率统计等|综合应用，如第17题工厂质检方案决策考查数学建模，第19题双曲线综合题培养创新意识|

高2026届高三春期第三次调研检测（数学）试题 命题人：蒋丛碧 黄仁勇 审题人：蒋丛碧 黄仁勇 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 3．已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 4．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 5．设随机事件A，B相互独立，已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（    ）    A．2 B． C． D．1 8．函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9．某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（    ） A．有效数据的极差是10 B．有效数据的平均数是80 C．有效数据的第80百分位数是86 D．有效数据的方差是50 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（     ） A．的周长为 B．若，则的最小值为 C．满足是直角三角形的点有 8 个 D．的最大值为 11．已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分 12．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 13．已知等比数列 ，且 ， 则 的值为_____. 14．在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且． （1）若，则=_____， （2）若的最大值为，此时的最小值为_____． 四、解答题： 15．（13分）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 16．（15分）已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 (1)求该棱柱的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 18．（17分）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 19．（17分）已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为1，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高2026届高三春期第三次调研检测（数学）试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C C D B C BC ACD 题号 11 12 13 14 答案 ABD 4 ， 7． B 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为 ， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 8．C 【详解】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得， 点是图象与轴的交点，可得， 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 10．ACD 【详解】对于A：易知，，则. 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故A正确； 对于B：，. 当时，，故B错误； 对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时点共有4个； 以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为， 故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的点有4个； 综上，满足是直角三角形的点有 8 个，故C正确； 对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率. 设该直线的方程为. 联立，整理得， ， 由，得，即，解得. 所以的最大值为，故D正确. 11．ABD 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 14． 【详解】由圆，可得圆心 又由，可得点的坐标为，即， 所以，则； 因为点为圆上的动点，可设， 又因为点的坐标为，可得， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 则，解得， 因为，所以，此时的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题 15．【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 16．【详解】（1）解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ； （2）解：由（1）知平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 17．【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 18．【详解】（1）当时，，． ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． ②令，则． 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． （2）． 令，则， ． 若，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时，，， 所以，在上单调递减． 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围为． 19．【详解】（1）因为焦点到一条渐近线的距离为1，即. 又点在双曲线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为. 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，. 所以. 设，因为是双曲线上的动点，所以. 所以. 当时，取得最小值，此时. 所以. （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得：. 且. 设，则. 直线的方程为. 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即. 整理得. 即. 整理得，即. 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点. 所以为定值，又，在中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $